2024学年辽宁海城市三中高二数学上学期12月考试卷附答案解析

学年辽宁海城市三中高二数学上学期12月考试卷一、单选题（本大题共8小题）1．点关于点的对称点的坐标是（

）A． B． C． D．2．关于空间向量，以下说法错误的是（

）A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B．若，则与的夹角是锐角C．已知向量是不共面的向量，则也是不共面的向量D．若对空间中任意一点，有，则四点共面3．已知两条直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知双曲线（，）的离心率为，则其渐近线方程是（

）A． B．C． D．5．已知直线与圆交于两点，且，则（

）A．4 B． C．2 D．6．在棱长为2的正方体中，E，F分别是和的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．7．已知直线与椭圆相交于A，B，且AB的中点为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．8．已知为抛物线上任意一点，为抛物线的焦点，为圆上任意一点，则的最小值为（

）A．6 B．10 C．4 D．8二、多选题（本大题共3小题）9．下列说法正确的是（

）A．直线的倾斜角为B．方程与方程可表示同一直线C．经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为D．过两点的直线都可用方程表示10．已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的有（

）A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的渐近线为C． D．点P到抛物线的焦点的距离为411．在长方体中，，E为的中点，点P满足，则（

）A．若M为的中点，则三棱锥体积为定值B．存在点P使得C．当时，平面截长方体所得截面的面积为D．若Q为长方体外接球上一点，，则的最小值为三、填空题（本大题共3小题）12．下列说法正确的是.①直线恒过定点②直线在轴上的截距为1③直线的倾斜角为④已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为13．椭圆（）的右顶点为，上顶点为，右焦点为，若直线与以为圆心半径为的圆相切，则椭圆离心率等于.14．已知抛物线、分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，且与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则b＝.四、解答题（本大题共5小题）15．已知圆C的圆心在y轴上，并且过原点和.(1)求圆C的方程；(2)若线段的端点，端点B在圆C上运动，求线段的中点M的轨迹方程.16．如图，已知平面平面，为等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，，.(1)求二面角的余弦值；(2)线段QB上是否存在点M，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.17．已知椭圆：（），离心率，且点在椭圆上.(1)求该椭圆的方程；(2)直线交椭圆于，两点，直线，的斜率之和为0，且，求的面积.18．如图，PC是圆台的一条母线，是圆的内接三角形，AB为圆的直径，．

(1)证明：；(2)若圆台的高为3，体积为，求直线AB与平面PBC夹角的正弦值．19．已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线．(1)求的方程，并说明是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点．（ⅰ）证明：以为直径的圆必然经过点．（ⅱ）求的取值范围，并求当取得最小值时的直线的方程．

参考答案1．【答案】B【详解】设点坐标为，则由题意可得，解得，所以点坐标为,故选：B2．【答案】B【详解】选项A：根据共线向量的概念可知，空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，A说法正确；选项B：若，则与的夹角是锐角或与同向，即夹角为0，B说法错误；选项C：假设是共面向量，则存在使得，因为向量是不共面的向量，所以无解，则也是不共面的向量，C说法正确；选项D：因为，且，所以四点共面，D说法正确；故选：B3．【答案】A【分析】由两直线平行求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】当时，，则，所以“”是“”的充分不必要条件.故选A.4．【答案】D【详解】因为双曲线（，）的离心率为，所以，所以，所以，所以，所以双曲线的渐近线方程是.故选：D5．【答案】D【详解】由题意可得圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离．因为，所以，即，解得.故选：D.6．【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，根据题意，求得向量和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】由空间直角坐标系中有棱长为2的正方体，点分别是和的中点，可得，则，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，设直线与平面所成角，则，即直线与平面所成角的正弦值为.故选B.

7．【答案】B【分析】利用过椭圆上两点的直线方程为，结合中点及直线方程，化简得到，利用即可求解.【详解】设两点坐标分别为，因为AB的中点为，所以，因为在椭圆上，所以①，，两式相减，得，根据，上式可化简为，整理得，又，所以，即，所以.故选B.8．【答案】D【详解】如图，过点作垂直准线于点，连接交于点.由题意可得的准线方程为.因为，所以，当三点共线时，取得最小值，最小值为，所以的最小值为.故选：D9．【答案】AD【分析】对于A项，先求斜率，进而可得倾斜角；对于B项，注意区分方程与方程的不同之处；对于C项，设直线l：，进而可得截距，根据题意进行求解即可；对于D项，根据两点式方程的变形进行判断即可.【详解】对于A项，直线的斜率，倾斜角为，所以A正确；对于B项，表示过点斜率为k的直线，但不含点，而表示过点斜率为k的直线，且含点，所以B错误；对于C项，经过点，斜率存在，设直线为，若在，轴上截距互为相反数，则，解得或，所以直线方程为或，所以C错误；对于D项，方程为直线两点式方程的变形，可以表示经过任意两点Px1,y1、故选AD.10．【答案】ACD【详解】双曲线的离心率为，故A正确；双曲线的渐近线为，故B错误；由有相同焦点，即，即，故C正确；抛物线焦点为，点在上，则，故或，所以P到的焦点的距离为4，故D正确．故选：ACD．11．【答案】ACD【详解】对于A：因为M为的中点，E为的中点，所以，所以面，则P到面的距离为定值，所以体积为定值，所以A正确．对于B：AP在平面的投影在线段上，若，又，且，所以平面，又平面，所以，因为四边形为正方形，所以与BE不垂直，所以B错误．对于C：平面与平面重合，平面与平面重合，所以延长会与直线有交点N，因为，又，所以，即N为点E，又平面平面，所以平面和平面的交线与平行，取中点F，则平面截长方体所得截面为矩形，所以面积为，所以C正确．对于D：易知长方体的外接球半径为，球心是的中点O，由，得，，，则点P在球外，点E在球内，，如图，建立空间直角坐标系，设，则，所以，即，所以，所以D正确．故选：ACD．12．【答案】①③【详解】对于①，因为，所以，所以直线过定点，故①对；对于②，令x=0得y=−1，所以直线在轴上的截距为，故②错；对于③，直线可变形为，设其倾斜角为，所以斜率，因为，所以，故③对；对于④，当直线的截距为0时，可设，代入可得，解得，此时直线，即；当直线的截距不为0时，因为直线在轴上的截距相等，可设，代入得，解得，此时直线，即，故④错.故答案：①③13．【答案】【分析】求出直线的方程为：，根据点到直线的距离得到方程，求出，求出离心率即可.【详解】依题意，，，，所以直线的方程为：，又直线与以为圆心半径为的圆相切，故，即，，方程两边同除以得，解得或，又椭圆的离心率，所以.故答案为：.14．【答案】【详解】如图所示，因为抛物线所以，因为抛物线的准线过双曲线的左焦点，所以，所以，又因为双曲线的一条渐近线，所以，因为，所以即，化简得，又因为，联立解得故答案为：.15．【答案】(1)(2)【详解】（1）设圆C方程：，由已知，解得，∴圆C的方程为.（2）设点Mx,y，.∵，∴.整理得，，∵点B在圆C上，∴，∴点M的轨迹方程为.16．【答案】(1)(2)【详解】（1）取的中点为.平面平面平面，平面平面，平面.以点为坐标原点，分别以直线为轴，轴，过且平行的直线为轴，建立如图的空间直角坐标系，，，，，设平面的法向量为即令，则.又平面的法向量为，则，设二面角的平面角为，由图形知为锐角，，即二面角的余弦值为.（2）设，，.又平面的法向量为平面，∴，∴，，即.∴，故在线段上存在点，使平面，且的值是.17．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意得，解得，故椭圆C：.（2）如图，设直线的倾斜角为，由，，得，，，即AP：，AQ：，联立，解得或2（舍），故，联立，解得或2（舍），故，又，，，故.18．【答案】(1)证明见详解；(2).【详解】（1）由题知，因为为圆的直径，所以，又，所以，因为为的中点，所以，由圆台性质可知，平面，且四点共面，因为平面，所以，因为是平面内的两条相交直线，所以平面，因为平面，所以.（2）圆台的体积，其中，解得或(舍去).由（1）知两两垂直，分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，则，所以.设平面的一个法向量为，则解得于是可取.设直线与平面的夹角为，则，故所求正弦值为.19．【答案】(1),曲线C是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆(2)（ⅰ）证明过程见解析（ⅱ），满足题意的直线