2024-2025学年四川省成都市高三上册11月期中考试数学检测试题（含解析）

2024-2025学年四川省成都市高三上学期11月期中考试数学检测试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若命题，则命题为（）A.B.C.D.2.在中，“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知向量的夹角为，且，则在方向上的投影向量为（）A.B.C.D.4.已知等差数列和的前项和分别为，若，则（）A.B.C.D.5.遗忘曲线由德国心理学家艾宾浩斯研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律，某同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：，则记忆率为时经过的时间约为（）（参考数据：）A.80小时B.90小时C.100小时D.120小时6.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，面积为的扇形，则该圆锥的外接球的表面积为（）A.B.C.D.7.若次多项式满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式.例如，由可得切比雪夫多项式，同理可得.利用上述信息计算（）A.B.C.D.8.函数，不等式对恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设为复数，且，则下列结论正确的是（）A.B.C.若，则D.10.下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（）A.数据的第25百分位数是1；B.已知随机变量，若，则；C.若事件的概率满足且，则与相互独立；D.若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为；11.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯省所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（）A.若点，则；B.若对于三点，则“”当且仅当“点A在线段上”；C.若点在圆上，点在直线上，则的最小值是；D.若点在圆上，点在直线上，则的最小值是；三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中，含的项的系数为__________.（用数字作答）13.已知椭圆的右焦点和上顶点分别为和，连接并延长交椭圆于，若，则陏圆的离心率为__________.14.设数列的前项和为.对任意恒成立，则的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）锐角的内角所对的边分别为，若，且.（1）求边的值；（2）求内角的角平分线的长.16.（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，，底面为正方形，分别为的中点.（1）求点到平面的距离；（2）求直线与平面所成角的余弦值.17.（本小题满分15分）某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作如下的列联表：产品合格不合格合计调试前451560调试后35540合计8020100（1）根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联；（2）现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析，记抽取的3件中合格的件数为，求的分布列和数学期望；（3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为，求使事件“”的概率最大时的取值.参考公式及数据：，其中.0.0250.010.0050.0015.0246.6357.87910.82818.（本小题满分17分）已知双曲线的实轴长为4，渐近线方程为.（1）求双曲线的标准方程；（2）双曲线的左､右顶点分别为，过点作与轴不重合的直线与交于两点，直线与交于点，直线与交于点.（i）设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求的值；（ii）求的面积的取值范围.19.（本小题满分17分）已知定义：函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，如果一个连续函数在区间上的二阶导函数，则称为上的凹函数；二阶导函数，则称为上的凸函数.若是区间上的凹函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.若是区间上的凸函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.已知函数.（1）试判断在为凹函数还是凸函数？（2）设，且，求的最大值；（3）已知，且当，都有恒成立，求实数的取值集合.数学试题答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1-8CBBBCAAD8【详解】因为，所以，令，则，可得为奇函数，又因为，，当且仅当，即时等号成立；，当且仅当，即时等号成立；所以，可得在R上为增函数，因为，所以在R上恒成立，当时，显然成立；当，需满足，解得，综上，，故D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.ABD10.ABC11.AD11【详解】对于A选项：由定义可知，故A选项正确；对于B选项：设点则显然，当点A在线段上时，，成立，如图：过点作轴，过点作轴，且相交于点，过点A作与，过点作与，由图可知显然此时点不在线段上，故B选项不正确；对于CD选项：当时，想要最小，点到直线距离最小时取得，过原点作直线交圆于，如图：设，则设点，则又当①当时，由②当时，由又；的最小值为.故C选项错误，D选项正确.故选：AD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.9913.14.14【详解】由得，又，所以数列是以2为公比，1为首项的等比数列，所以，则，进而数列是以2为公比，1为首项的等比数列，可得，不等式恒成立，即.设，则，当时，为递减数列，所以，所以，解得.故答案为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）【小问1详解】因为，由正弦定理可得：，即，又因为，则，可得，又因为，所以.余弦定理可得，即，则，解得：，或，由于三角形为锐角三角形，故，故，进而只取，故.【小问2详解】根据面积关系可得，即，解得.16.（本小题满分15分）【详解】（1）因为，底面为正方形，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，因为分别为中点，所以，则，设平面的法向量为，由，即，令，则，所以，则，根据点到平面的距离公式.（2）首先设平面的法向量，由，即，令，则，所以，设直线与平面所成角为，则，所以，因为，所以，则直线与平面所成角的余弦值.17.（本小题满分15分）【小问1详解】零假设为：假设依据的独立性检验，认为参数调试与产品质量无关联；则，故依据的独立性检验，没有充分证据说明零假设不成立，因此可认为成立，即认为参数调试与产品质量无关联；【小问2详解】依题意，用分层随机抽样法抽取的8件产品中，合格产品有件，不合格产品有2件，而从这8件产品中随机抽取3件，其中的合格品件数的可能值有.则.故的分布列为：123则；【小问3详解】依题意，因随机抽取调试后的产品的合格率为，故，则，由，故由可解得，因，故当时，单调递增；由可解得，即当时，单调递减.故当事件“”的概率最大时，.18.（本小题满分17分）【小问1详解】由题意知：，解得，双曲线方程为.【小问2详解】因为直线斜率不为0，设直线方程为，易知，设，联立，得，则，且，（i）（ii）由题可得：联立可得：，即，同理.，故