2024-2025学年江西省赣州市高二上册期末数学检测试题（附解析）

2024-2025学年江西省赣州市高二上学期期末数学检测试题考试范围：选择性必修第一册考试本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分第I卷（选择题共58分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个正确选项）1.已知变量与之间的一组数据如表：24568305070若与的线性回归方程为，则的值为（）A.60 B.70 C.100 D.110【正确答案】C【分析】首先求出，根据回归直线方程必过样本中心点，即可求出，再由平均数公式计算可得.【详解】因为，又与的线性回归方程为，所以，即，解得.故选：C.2.如图，四棱柱的底面为平行四边形，为与的交点，若，则（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】根据空间向量的线性运算即可得到答案.【详解】因为为与的交点，则故选：C.3.已知双曲线的焦距为8，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】结合焦距定义与渐近线方程定义计算即可得.【详解】由题意可得，解得（负值舍去），则该双曲线的渐近线方程为.故选：C.4.某学校有，两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.4．计算王同学第2天去餐厅用餐的概率（）A.0.24 B.0.36 C.0.5 D.0.52【正确答案】C【分析】根据题意结合全概率公式可直接求得.【详解】设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，根据题意得，，，由全概率公式，得，因此，王同学第2天去餐厅用餐的概率为0.5.故选：C.5.在一个具有五个行政区域的地图上（如图），用5种颜色给这五个行政区着色，若相邻的区域不能用同一颜色，则不同的着色方法共有（）A.420种 B.360种 C.540种 D.300种【正确答案】A【分析】先分类，再分步进行.先分颜色种类为3,4,5，再分步计算.【详解】选用三种颜色时，必须1,5同色，2，4同色，此时有种；选用四种颜色时，必须1,5同色或2，4同色，此时有种；选用五种颜色时，有种，所以一共有种，故选：A.6.已知样本9，，10，，11的平均数是10，标准差是2，则的值为（）A.96 B.97 C.91 D.87【正确答案】C【分析】由平均数得，由标准差得，联立可得.【详解】依题意得，则①.，则②.由①②得，所以.故选：C.7.已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为A，，则的最大值为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】由题意可得，可知当OP最小时，最大，结合点到直线的距离公式运算求解.【详解】由题意可知：圆的圆心为O0,0，半径为1，则圆心到直线的距离为，可知直线与圆相离，因，且，当OP最小时，则最大，可得最大，即最大，又因为OP的最小值即为圆心到直线的距离为，此时，所以取得最大值．故选：C．8.如图所示，在顶角为圆锥内有一截面，在圆锥内放半径分别为1，4的两个球与圆锥的侧面、截切，两个球分别与截切于E，F，则截面所表示的椭圆的离心率为（）（注：在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于点B，C，由相切的几何性质可知，，于是，为椭圆的几何意义）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】设两球的球心分别为，设圆锥的顶点为S，取两球与圆锥同一母线上的切点分别为G，H，连接，连接交于点K，则根据题意易得，，再由，可得，从而可得，从而可得，，再根据椭圆离心率的定义，即可求解．【详解】如图，设两球的球心分别为，设圆锥的顶点为S，取两球与圆锥同一母线上的切点分别为G，H，连接，连接交于点K，∵顶角为，，又两球的半径分别为1，4，，，，，，，又，∴，又，∴，∴，∴，∴，∴该椭圆的离心率为．故选：C．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分）9.下列说法中正确的是（）A.样本数据的第80百分位数是7.5B.随机变量，若，则C已知随机事件，且，若，则事件相互独立D.若随机变量服从正态分布，且，则【正确答案】BCD【分析】求出第80百分位数判断A；利用二项分布的方差公式计算判断B；利用条件概率化简判断C；利用正态分布对称性求出概率判断D.【详解】对于A，由，所以数据的第80百分位数是8，A错误；对于B，由，，得，解得，因此，B正确；对于C，由，得，即，则事件相互独立，C正确；对于D，由服从正态分布，，得，D正确.故选：BCD10.如图，正八面体棱长为1，M为线段上的动点（包括端点），则（）A. B.的最小值为C.当时，AM与BC的夹角为 D.【正确答案】BC【分析】根据体积公式即可求解A，根据平面中两点距离最小即可求解B，根据线线垂直可得线面垂直，进而求解C，根据数量积的运算律即可求解D.【详解】对于A,连接相交于，故，，A错误；对于B，因与均是边长为1的正三角形，故可将沿翻折，使其与共面，得到菱形，则，B正确；对于C，由且,平面,故平面，平面，，若，平面,则平面，故，知M与C重合，AM与BC的夹角为，C正确；对于D，，，由于平面，故平面，平面，故（与的夹角为钝角），D错误．故选：BC.11.已知直线与双曲线交于两点，为双曲线的右焦点，且，若的面积为，则下列结论正确的有（）A.双曲线的离心率为 B.双曲线的离心率为C.双曲线的渐近线方程为 D.【正确答案】BCD【分析】先根据对称性及得到；进而得到以为直径的圆过点，列方程组求出的关系；对于A、B，求出离心率即可判断；对于C，求出渐近线方程即可判断；对于D，由对称性及题意求出的坐标，进而解出斜率即可判断.【详解】由题意知：，不妨取，由，即，所以，所以，所以以为直径的圆过点，所以圆的直径，所以圆的方程为：，设，连接，则四边形为矩形，则，则的面积为：，且，联立，解得，再由，所以离心率，故A错误，B正确；对于C，双曲线的渐近线方程为：，故选项C正确；对于D，不妨设点在第一象限，由对称性可知，，代入中，得，所以，由对称性知：当，，所以，故选项D正确.故选：BCD.关键点点睛：由图象对称性可知：点为双曲线另一个焦点；由定义知，由题意解出关系，不妨设点在第一象限，且，进而求解出直线斜率即可判断答案.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.直线的倾斜角的取值范围是_________．【正确答案】【分析】借助倾斜角与斜率的关系及三角函数值域即可得.【详解】，故.故答案为.13.若，记，则的值为__________.【正确答案】【分析】利用赋值法，分别取和，代入运算即可.【详解】因为，令，则；令，则，即，所以.故答案为.14.一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球．采取不放回摸球，从中随机摸出22个球作为样本，用X表示样本中黄球的个数．当最大时，____________．【正确答案】17.8##【分析】首先分析超几何分布最大项确定的值，再通过超几何分布的期望公式求出的值，即可求出.【详解】不放回的摸球，每次实验结果不独立，为超几何分布，最大时，即最大，超几何分布最大项问题，利用比值求最大项设则令故当时，严格增加，当时，严格下降，即时取最大值，此题中，根据超几何分布的期望公式可得，故17.8四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算）15.已知圆．（1）求直线被圆截得弦长；（2）已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）求出圆心和半径，结合勾股定理可得答案；（2）利用待定系数法和相切可求圆的方程.【小问1详解】由可得，圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以直线被圆截得弦长为.【小问2详解】设，则，解得，；因为圆与圆相切于原点，且圆过点，所以，，两边平方整理可得，平方可求，代入可得，所以圆的方程为.16.在展开式中，若第3项的二项式系数为28，求：（1）展开式中所有项的二项式系数之和；（2）展开式中的有理项；（3）展开式中系数最大的项．【正确答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）利用给定的二项式系数求出，再利用二项式系数的性质求得答案.（2）求出二项式的展开式的通项，由的幂指数为有理数求解即得.（3）由展开式通项的系数，列出不等式组并求解即得.【小问1详解】依题意，，而，解得，所以展开式中所有项的二项式系数之和为.【小问2详解】二项式展开式通项为，当为整数时，为有理项，则，因此当时，；当时，；当时，，所以展开式中的有理项为．【小问3详解】设第项的系数最大，则，即，整理得，解得，由，得或，所以展开式中系数最大的项为．17.某学校组织游戏活动，规则是学生从盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1个球，每次摸球结果相互独立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率为，摸到2分球的概率为．（1）学生甲和乙各摸一次球，求两人得分相等的概率；（2）若学生甲摸球2次，其总得分记为X，求随机变量X的分布列与期望；（3）学生甲、乙各摸5次球，最终得分若相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励．已知甲前3次摸球得了6分，求乙获得奖励的概率．【正确答案】（1）（2）分布列见解析，期望为（3）【分析】（1）根据题意，甲乙同时摸到1分球或2分球，结合概率的乘法公式，即可求解；（2）根据题意，变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解；（3）记“甲最终得分为分”，其中，“乙获得奖励”，结合相互独立事件的概率公式以及条件概率和全概率公式，即可求解.【小问1详解】解：由题意，摸到1分球的概率为，摸到2分球的概率为，若学生甲和乙各摸一次球，甲乙的得分相同，则甲乙同时摸到1分球或2分球，所以两人得分相等的概率为.【小问2详解】解：由题意知，学生甲摸球2次的总得分的可能取值为，可得，所以随机变量的分布列为：234所以，期望为.【小问3详解】解：记“甲最终得分为分”，其中，“乙获得奖励”，可得，当甲的最终得分为9分时，乙获得奖励需要最终得分为10分，则；当甲最终得分为8分时，乙获得奖励需要最终得分为10分或9分，则，所以，所以乙获得奖励的概率为.18.如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面与相交于点，点在上，．（1）证明：平面；（2）若与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，求．【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）通过证明，即可证明平面；（2）建立空间直角坐标系，由（1）知平面，即可得，再求平面和平面的法向量即可求出.【小问1详解】底面是菱形，，平面，且平面，.又，平面,平面，平面，，又，且平面，，平面，平面，，，，即，又平面，且，平面．【小问2详解】以为原点，以为轴，为轴，过点且平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，,,又,在中由勾股定理得,即,.，，，，平面，与平面所成的角为，平面，是平面的一个法向量，平面，平面，平面平面，设，只需，则平面，则，令，则，，.19.给出如下的定义和定理：定义：若直线l与抛物线有且仅有一个公共点P，且l与的对称轴不平行，则称直线l与抛物线相切，公共点P称为切点.定理：过抛物线上一点处的切线方程为.完成下述问题：如图所示，设E，F是抛物线上两点.过点E，F分别作抛物线的两条切线，，直线，交于点C，点A，B分别在线段，的延长线上，且满足，其中.（1）若点E，F的纵坐标分别为，，用，和p表示点C的坐标.（2）证明：直线与抛物线相切；（3）设直线与抛物线相切于点G，求.【正确答案】（1）；（2）证明见解析；（3）【分析】（1）分别写出切线和切线的方程，联立方程即可求出点C的坐标.（2）设出切点坐标，根据切点坐标写出