2024-2025学年甘肃省武威市高二上册期中考试数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年甘肃省武威市高二上学期期中考试数学检测试卷注意事项：1．答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.(多选)下列问题属于组合问题的是（）A.从4名志愿者中选出2人分别参加志愿服务工作B.从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数C.从全班同学中选出3名同学出席大学生运动会开幕式D.从全班同学中选出3名同学分别担任班长､副班长和学习委员【正确答案】AC【分析】根据组合问题只需选出元素即可，而排列问题是对选出的元素还需进行排序，对每一选项进行判断，即可得出答案.选项A.从4名志愿者中选出2人分别参加志愿服务工作，只需选出2人即可，无排序要求，故是组合问题.选项B.从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数,选出3个不同数字，还需对3个数字进行排序成三位数，故是排列.选项C.从全班同学中选出3名同学出席大学生运动会开幕式,只需选出3人即可，无排序要求，故是组合问题.选项D.从全班同学中选出3名同学分别担任班长､副班长和学习委员先从全班选出3人，再安排其职务，即需排序，故是排列问题.所以B，D项均为排列问题，A，C项是组合问题.故选：AC2.已知点到抛物线的焦点的距离为，则该抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】求出抛物线的焦点的坐标，利用平面内两点间的距离公式求出的值，即可得出该抛物线的准线的方程.抛物线的焦点为，则，且，解得，故该抛物线的准线方程为.故选：C.3.圆与双曲线的渐近线相切，则的值为A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据已知条件求得圆心和渐近线方程，再由点到直线的距离公式求得半径.由已知得圆心为（2,0），双曲线渐近线方程为，故圆心到渐近线的距离为，所以，故选C.本小题主要考查圆的标准方程，考查双曲线渐近线的求法，考查点到直线距离公式和直线与圆的位置关系，属于基础题.4.可表示为（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】根据排列数的定义可得出答案．，故选：B5.某学习小组有男、女生共8人，现从男生中选2人，女生中选1人分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男、女生人数分别为（）A.3，5 B.2，5 C.5，3 D.6，2【正确答案】A【分析】先设男生女生人数，再根据已知列式，结合排列数及组合数的计算即可解.设男生人数为，则女生人数为，由题意可知，即，即，解得，所以男、女生人数为.故选:A.6.已知点和点，若直线上存在点，可使，则称该直线为“D型直线”．下列四条直线中：①；②；③；④．“D型直线”的条数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【正确答案】B【分析】由题意点在椭圆上，再逐项分析直线是否与椭圆相交即可得解.由可知，点轨迹为椭圆，由，可得，又焦点在轴上，故椭圆的方程为，由题意，直线与椭圆相交即为“D型直线”，由过点，知直线过椭圆内的点，故相交，是“D型直线”，由可知，与椭圆相交，是“D型直线”，不与椭圆相交，不是“D型直线”，由知不与椭圆相交，不是“D型直线”.故选：B7.年月我校组织年校庆活动，有甲、乙、丙名志愿者负责、、、等个任务．每人至少负责一个任务，每个任务都有人负责，且甲不负责任务的分配方法共有（）A.种 B.种 C.种 D.种【正确答案】C【分析】分别考虑甲负责个任务和甲负责个任务的情况，结合甲不负责，可得答案.因任务有个，人只有三个，结合题意可知有人负责两个任务.若甲负责两个任务，因甲不负责任务，则有种分配方法，剩下的任务有种分配方法，则此时的分配方法共有种；若甲负责个任务，因甲不负责任务，则有种分配方法，剩下的任务有种分配方法，则此时的分配方法共有种；综上，满足题意的分配方法共有种.故选：C8.已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，设椭圆M的离心率为，双曲线N的离心率为，则为A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据题意画出椭圆与双曲线的图像，根据正六边形的性质，即可找到椭圆中与双曲线中的关系式，即可求出其离心率.如图所示：因为.所以双曲线的渐近线为，即.因为、、、所以.所以.故选B.本题考查椭圆与双曲线的离心率,属于基础题.解决本题的关键在于正确画出其图像，找到图像中的关于等式.二．多选题（共3小题，满分18分，每小题全部选对得6分，部分选对得2分）9.已知曲线，，则（）A.的长轴长为4 B.的渐近线方程为C.与的焦点坐标相同 D.与的离心率互为倒数【正确答案】BD【分析】根据椭圆与双曲线的标准方程，结合它们的几何性质逐项判断即可得.由，即为：，故焦点在轴上，长轴长为，故A错误；焦点坐标为，离心率为，对，渐近线方程为，故B正确；焦点坐标为，与的焦点坐标不相同，故C错误；离心率为，与的离心率互为倒数，故D正确.故选：BD.10.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（）A.若任意选择三门课程，选法总数B.若物理和化学至少选一门，选法总数为C.若物理和历史不能同时选，选法总数为D.若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为【正确答案】ABD【分析】若任意选择三门课程，由组合的概念可知选法总数为种，可判断A错误；若物理和化学至少选一门，由分步乘法计数原理知选法总数为种，可判断B错误；若物理和历史不能同时选，利用间接法可知选法总数为种，可判断C正确；若物理和化学至少选一门，有3种情况，分别讨论计算，可判断D错误．对于A，若任意选择三门课程，选法总数为种，故A错误对于B，若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有种选法若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有种选法由分步乘法计数原理知，总数为种选法，故B错误对于C，若物理和历史不能同时选，选法总数为种，故C正确对于D，若物理和化学至少选一门，有3种情况，只选物理不选历史，有种选法选化学，不选物理，有种选法物理与化学都选，不选历史，有种选法故总数为种，故D错误故选：ABD11.已知点F是抛物线的焦点，AB，CD是经过点F的弦且，AB的斜率为k，且，C，B两点在x轴上方，则下列结论中正确的是（）A. B.四边形ACBD面积的最小值为C. D.若，则直线CD的斜率为【正确答案】ACD【分析】设直线CD的方程为，将该直线CD的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理可判断A选项的正误，求出、关于的表达式，利用基本不等式可判断B选项的正误，利用弦长公式可判断C选项的正误，利用弦长公式求出的值，可判断D选项的正误.对于A选项，设直线CD的方程为，设点、，联立，可得，所以，所以，，故A选项正确；对于B选项，，同理可得，，所以，四边形的面积为，当且仅当时，等号成立，故B选项错误；对于C选项，，故C选项正确.对于D选项，设点、、，直线AB的方程为，联立，可得，则，所以，，解得，∵，则，直线CD的斜率为，故D选项正确；故选：ACD.方法点睛：有关直线与抛物线弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.三填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为_____________.【正确答案】【分析】设出方程，代入点A即可求出.双曲线为等轴双曲线，则可设方程为，将代入可得，即，故方程为，化为标准方程为.故答案为.13.从1，3，5中任取2个数，从0，2，4中任取2个数，则组成没有重复数字的四位数的个数为_________.【正确答案】【分析】先分类讨论从0，2，4中任取2个数时，其中含数字0时，和不含数字0时，结合排列组合即可得解．从1，3，5中任取两个数，从0，2，4中任取2个数，组成没有重复数字的四位数，分两种情况：①当从0，2，4中任取2个数，其中含数字0时，则组成没有重复数字的四位数的个数为;②当从0，2，4中任取2个数，其中不含数字0时，则组成没有重复数字的四位数的个数为.综合①②得：组成没有重复数字的四位数的个数为.故．14.已知椭圆，点M1，M2，…，M5为其长轴AB的6等分点，分别过这5点作斜率为k（k≠0）的一组平行线，交椭圆C于P1，P2，…，P10，则直线AP1，AP2，…AP10这10条直线的斜率乘积为_____．【正确答案】【分析】设点，则，由椭圆的对称性可知，所以，同理可得其它，即可求出．如图所示：设点，则同理可得，．由椭圆的对称性可得，∴，，同理可得，．∴直线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积为：．故．本题主要考查椭圆的性质运用，属于基础题．四、解答题（本题共5个答题，共77分）15.（1）计算：；（2）若，则x的值为_____；（3）若，求正整数n．【正确答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）利用排列数、组合数公式计算即得.（2）利用组合数的性质，排列数、组合数公式化简方程求解.（3）利用组合数的性质化简求解.（1）.（2）依题意，，则，，整理得：，而，所以.（3），因此，即，所以.16.已知双曲线与椭圆有相同的焦点.（1）求双曲线的方程；（2）求与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线的标准方程；（3）若直线与双曲线交于、两点，且、的中点坐标为，求直线的方程.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的方程.（2）设过点的双曲线为，利用点求得，从而求得该双曲线的方程.（3）利用点差法求得直线的方程.【小问1详解】椭圆，即，所以，所以，所以双曲线的方程为.【小问2详解】双曲线，对应，所以渐近线方程为，设过点的双曲线的标准方程为，所以，所以.【小问3详解】设，则，两式相减并化简得，所以直线的斜率为，所以直线的方程为.由，消去并化简得，符合.所以直线的方程为.17.寒假有来自不同大学的3名男生和2名女生来母校开展大学宣讲活动．（1）若要将这5名同学分配到三个班进行宣讲，每班至少一名同学，有多少种不同的分配方案？（2）宣讲完毕，这五位同学和原高中班主任合影留念，要求班主任站在甲乙同学中间，有多少种不同的排法？（3）若这五位同学中甲、乙、丙三位同学身高互不相等，则这五位同学和班主任合影留念时甲、乙、丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（4）随后这五位同学合影留念时，同学甲不站在最左端，同学乙不站在最右端，有多少种不同的排法？（写出必要的数学式，结果用数字作答）【正确答案】（1）150（2）48（3）120（4）【分析】（1）将5名同学分为3，1，1或2，2，1三组，然后分配到三个班；（2）先甲乙同学之间排列，再把班主任和甲乙同学看作一个整体，与其他3名同学排列；（3）先将6人全排列，考虑到甲、乙、丙三人排列有种，进而可得所求排法；（4）先将五位同学全排列，去掉同学甲站在最左端的情形，再去掉同学乙站在最右端的情形，再加上重复去掉的同学甲站在最左端且同学乙站在最右端的情形.【小问1详解】将5名同学分为3，1，1或2，2，1三组，然后分配到三个班，所以分配方案有种．【小问2详解】先甲乙同学之间排列，再把班主任和甲乙同学看作一个整体，与其他3名同学排列，则不同的排法种．【小问3详解】先将6人全排列有种，考虑到甲、乙、丙三人排列有种，所以甲、乙、丙三人按高低从左到右排列时，不同的排法有种．【小问4详解】先将五位同学全排列，去掉同学甲站在最左端的情形，再去掉同学乙站在最右端的情形，再加上重复去掉的同学甲站在最左端且同学乙站在最右端的情形，所以不同的排法种数有．18.已知椭圆的中心在坐标原点，离心率等于，它的一个长轴端点恰好是抛物线的焦点.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知、（）是椭圆上的两点，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为.①求四边形APBQ的面积的最大值；②求证.【正确答案】（1）；（2）①；②证明见解析.【分析】（1）设椭圆C的方程，再根据抛物线的焦点坐标，和椭圆离心率，则可求出椭圆C的方程的解析式.（2）①先求出m的值，设，和直线AB的方程，再联立直线AB的方程和由（1）求得的椭圆方程，得到，可求出t的范围，再根据韦达定理可得，则四边形APBQ的面积的最大值可求，②由①得P点坐标，再根据斜率公式写出,,再将化简即可得则可证.（1）由题意设椭圆的方程为，因为抛物线的焦点坐标为，则，由，∴椭圆C的方程为.（2）①当时，解得，，设，直线AB的方程为，，，由，解得，由韦达定理得.，由此可得：四边形APBQ的面积，∴当时，.②，，，即，.考查椭圆的标准方程，椭圆中的最值问题以及椭圆的应用.题目较难.需多加理解.19.已知抛物线的焦点为，准线的方程为.若三角形的三个顶点都在抛物