2025届高考数学二轮总复习专题6解析几何专题突破练25圆锥曲线中的证明探索性问题课件

专题突破练25圆锥曲线中的证明、探索性问题1234主干知识达标练1.(17分)(2024福建厦门模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知圆A:(x-2)2+y2=4,点B(-2,0),点P为圆A上任意一点,线段BP的垂直平分线和半径AP所在直线相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹为C.(1)求C的方程;(2)斜率存在且不为0的直线l与C交于M,N两点,存在一点D在C上.从下面①②③中任选两个作为已知条件,证明另外一个成立.①DM⊥x轴;②直线l经过点(-,0);③D,B,N三点共线.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.123412341234123412342.(17分)(2024江苏南京、盐城一模)已知椭圆C:(a>b>0)的右焦点为F(1,0),右顶点为A,直线l:x=4与x轴交于点M,且|AM|=a|AF|.(1)求C的方程;(2)若B为l上的动点,过B作C的两条切线,分别交y轴于点P,Q,①证明:直线BP,BF,BQ的斜率成等差数列;②圆N经过B,P,Q三点,是否存在点B,使得∠PNQ=90°?若存在,求|BM|;若不存在,请说明理由.1234解

(1)由椭圆右焦点为F(1,0),得c=1,点A(a,0).因为|AM|=a|AF|,所以|4-a|=a(a-1),若a≥4,则a-4=a(a-1),得a2-2a+4=0,无解,若a<4,则4-a=a(a-1),得a2=4,所以b2=3,因此C的方程为1234图112341234图21234123412341234关键能力提升练3.(17分)(2024内蒙古呼和浩特一模)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F,且抛物线上任意一点R满足|RF|的最小值为1.(1)求C的方程;(2)过点P(t,-1)的直线经过点F且与抛物线交于M,N两点,(3)过点F作一条倾斜角为60°的直线交抛物线于A,B两点,过A,B分别作抛物线的切线.两条切线交于点Q,过Q任意作一条直线交抛物线于E,H,交直线AB于点G,求证:12341234图112341234图2123412341234核心素养创新练4.(17分)(2024福建泉州模拟)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,∠ACB的平分线交AB于点D,AD=2DB.平面α过直线AB,且与△ABC所在的平面垂直.(1)求直线CD与平面α所成角的大小.(2)设点E∈α,且∠ECD=30°,记E的轨迹为曲线Γ.①判断Γ是什么曲线,并说明理由;②不与直线AB重合的直线l过点D且交Γ于P,Q两点,试问:在平面α内是否存在定点T,使得无论l绕点D如何转动,总有∠PTC=∠QTC?若存在,指出点T的位置;若不存在,说明理由.1234解

(1)如图,因为平面ABC⊥平面α,平面ABC∩平面α=AB,BC⊂平面ABC,BC⊥AB,所以BC⊥平面α.所以CD在平面α内的射影为DB,所以直线CD与平面α所成角为∠CDB.过点D作DF⊥AC,垂足为F.因为CD平分∠ACB,DB⊥BC,所以DF=DB.又AD=2DB,所以DF=AD,所以∠DAF=30°.又AB=6,∠ABC=90°,所以BC=2.因为DB=AB=2,所以∠CDB=60°,所以直线CD与平面α所成角为60°.1234(2)①曲线Γ是椭圆,理由如下:由(1)可知,DF⊥AC,DA=DC,所以F是AC的中点,设AB的中点为O,所以OF∥BC.又BC⊥平面α,所以OF⊥平面α.在平面α内过点O作OG⊥AB,所以OF⊥OB,OF⊥OG.建立空间直角坐标系O-xyz,如图所示.12341234由对称性知,若存在定点T满足条件,则点T必在平面ABC与平面α的交线AB上,故可设T(0,t,0).1234所以|x2(y1-t)|=|x1(y2-t)|.因为x1x2<0,(y1-t)(y2-t)≥0,所以x1(y2-t)+x2(y1-t)=0,所以2kx1x2+(1-t)(x1+x2)=0,即(9-t)k=0.因为上式对于任意的k∈R恒成立,所以t=9.1234由对称性知,若存在定点T满足条件,则T必在平面ABC与平面α的交线AB上,故可设T(0,t,0).当T与B重合时,即t=3时,因为CT⊥平面α,又PT,QT⊂平面α,所以∠PTC=∠QTC=.所以当t=3时,符合题意.1234当T与B不重合时,过点B作BP1⊥PT,BQ1⊥QT,垂足分别为P1,Q1.连接CP1,CQ1,因为BC⊥平面α,P1T⊂平面α,所以P1T⊥BC.又P1T⊥BP1,BP1∩BC=B,所以P1T⊥平面BCP1,又CP1⊂平面BCP1,所以P1T⊥CP1,同理Q1T⊥CQ1.又∠P1TC=∠Q1TC,所以△P1TC≌△