2025届高考数学二轮总复习专题3数列专题突破练10等差数列等比数列课件

专题突破练10等差数列、等比数列123456789101112主干知识达标练131415161718191.已知数列{an}满足2an+1=an+an+2,其前n项和为Sn,若S9=18,则a5=(

)A.-2 B.0 C.2 D.4C12345678910111213141516171819A123456789101112131415161718193.已知等比数列{an}的前n项积为Tn,a1=16,公比q=,则Tn取最大值时n的值为(

)A.3 B.6 C.4或5 D.6或7C12345678910111213141516171819123456789101112131415161718194.已知{an}是各项均为正数的等差数列,其公差d≠0,若lna1,lna3,lna6也是等差数列,则其公差为(

)D123456789101112131415161718195.(2024山东潍坊一模)已知数列{an}满足a1=0,a2=1.若数列{an+an+1}是公比为2的等比数列,则a2024=(

)C.21012-1 D.21011-1A解析

依题意,a1+a2=1,an+an+1=2n-1,当n≥2时,an-1+an=2n-2,则an+1-an-1=2n-2,所以a2

024=a2+(a4-a2)+(a6-a4)+…+(a2

024-a2

022)=1+2+23+25+…+22

021123456789101112131415161718196.(多选题)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a5=-4,S5=-40,则(

)A.a10=6B.S10=-30C.当且仅当n=6时,Sn取最小值D.a5+a6+a7+a8+a9+a10=0AB12345678910111213141516171819令an=2n-14≤0,得n≤7,且a7=0,则当n=6或n=7时,Sn取最小值,C不正确;因为a5+a6+a7+a8+a9=5a7=0,所以a5+a6+a7+a8+a9+a10=a10=6≠0,D不正确.故选AB.123456789101112131415161718197.(多选题)一百零八塔始建于西夏时期,是中国现存最大且排列最整齐的塔群之一,塔群随山势凿石分阶而建,自上而下一共12层,第1层有1座塔,从第2层开始每层的塔数均不少于上一层的塔数,总计108座塔.已知包括第1层在内的其中十层的塔数可以构成等差数列{an},剩下的两层的塔数分别与上一层的塔数相等,第1层与第2层的塔数不同,则下列结论正确的有(

)A.第3层的塔数为3B.第4层与第5层的塔数相等C.第6层的塔数为9D.等差数列{an}的公差为2ABD12345678910111213141516171819塔数依次是1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,依题意剩下两层的塔数为3和5,所以这12层塔的塔数分别为1,3,3,5,5,7,9,11,13,15,17,19,因此A,B,D正确,C错误.故选ABD.123456789101112131415161718198.我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩二,七七数之剩二,问物几何?”根据这一数学思想,所有被3除余2的自然数从小到大组成数列{an},所有被5除余2的自然数从小到大组成数列{bn},把{an}和{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn},则下列结论正确的是(

)A.a3+b5=c3 B.b28=c10C.a5b2>c8 D.c9-b9=a26B12345678910111213141516171819解析

根据题意数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,则an=2+3(n-1)=3n-1,数列{bn}是首项为2,公差为5的等差数列,则bn=2+5(n-1)=5n-3,数列{an}与{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn},故数列{cn}是首项为2,公差为15的等差数列,则cn=2+15(n-1)=15n-13.对于A,a3+b5=(3×3-1)+(5×5-3)=30,c3=15×3-13=32,a3+b5≠c3,A错误;对于B,b28=5×28-3=137,c10=15×10-13=137,b28=c10,B正确;对于C,a5=3×5-1=14,b2=5×2-3=7,c8=15×8-13=107,a5b2=14×7=98<107=c8,C错误;对于D,c9=15×9-13=122,b9=5×9-3=42,a26=3×26-1=77,c9-b9=122-42=80≠77=a26,D错误.故选B.123456789101112131415161718199.(5分)设等比数列{an}的前n项和为Sn,写出一个满足下列条件的{an}的公比q=

.

①a1>0;②{an}是递增数列;③S3<13a1.2(答案不唯一)解析

由等比数列的通项公式可得an=a1qn-1,则an-an-1=a1qn-2(q-1),因为a1>0,且{an}是递增数列,所以q>1.因为S3<13a1,所以a1+a2+a3<13a1,即a1q2+a1q-12a1<0,因为a1>0,所以q2+q-12<0,解得-4<q<3.综上,1<q<3.故答案可以为2(答案不唯一).1234567891011121314151617181910.(5分)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,Sn是数列{an}的前n项和,S11=11,b5b7=3,则

=

.

-11234567891011121314151617181912345678910111213141516171819当n=1时,a1=2;当n≥2时,a1+2a2+…+2n-2an-1=(n-1)·2n-1,②①②两式相减可得2n-1an=n·2n-(n-1)·2n-1=(n+1)2n-1,即an=n+1,n≥2;a1=2也满足上式,所以an=n+1,n∈N*.1234567891011121314151617181912.(5分)(2023北京,14)我国度量衡的发展有着悠久的历史,战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位:铢)从小到大构成项数为9的数列{an},该数列的前3项成等差数列,后7项成等比数列,且a1=1,a5=12,a9=192,则a7=

;数列{an}所有项的和为

.

483841234567891011121314151617181912345678910111213141516171819关键能力提升练13.(多选题)(2024山东德州模拟)将n2个数排成n行n列的数阵,如图所示,该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m>0).已知a11=3,a13=a51+1,记这n2个数的和为S,下面叙述正确的是(

)a11

a12

a13

…

a1na21

a22

a23

…

a2na31

a32

a33

…

a3n……an1

an2

an3

…

annA.m=2 B.a78=15×28C.aij=(2i+1)·2j-1

D.S=n(n+2)(2n-1)ACD12345678910111213141516171819解析

由题意a13=a11·m2=3m2,a51=a11+4m=3+4m,由a13=a51+1,则3m2=3+4m+1,整理可得(3m+2)(m-2)=0,又m>0,所以m=2,故A正确;对于B,a71=a11+6×2=15,a78=a71·27=15×27≠15×28,故B错误;对于C,ai1=a11+(i-1)×2=1+2i,aij=ai1·2j-1=(1+2i)·2j-1,故C正确;1234567891011121314151617181914.若数列{an}满足anan+1+an+1-an+1=0,a1=λ(λ≠0,且λ≠±1),记Tn=a1a2…an,则T2023=(

)C123456789101112131415161718191234567891011121314151617181915.(多选题)(2024山西吕梁三模)已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,前n项和为Sn,若S10<S8<S9,则下列说法正确的是(

)A.当n=8时,Sn最大B.使得Sn<0成立的最小自然数为n=18C.|a8+a9|>|a10+a11|BD12345678910111213141516171819由a9>0,a10<0,所以当n=9时,Sn最大,故A错误;由S10<S8,可得到a9+a10<0,所以由等差数列性质可得a8+a11<0,两式相加,得a10+a11+a8+a9<0,所以|a8+a9|<|a10+a11|,故C错误;123456789101112131415161718191234567891011121314151617181916.(5分)设Tn为数列{an}的前n项和,若(n∈N*)是非零常数,则称该数列为“和等比数列”;若数列{cn}是首项为2,公差不为0的等差数列,且数列{cn}是“和等比数列”,则c2+c7+c12=

.

78123456789101112131415161718191234567891011121314151617181917.(5分)(2024江西南昌模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若对任意的n∈N*,均有S8≤Sn成立,则

的取值范围为

.

解析

由题意知S8是等差数列{an}的前n项和中的最小值,则必有a1<0,公差d>0,若a8=0,此时S7=S8,S7,S8是等差数列{an}的前n项和中的最小值,123456789101112131415161718191234567891011121314151617181918.(5分)设数列{an},{bn}满足an=2n,bn=3n-8,则它们的公共项由小到大排列后组成新数列{cn}.在ck和ck+1(k∈N*)中插入k个数构成一个新数列{en}:c1,1,c2,3,5,c3,7,9,11,c4,…,插入的所有数构成首项为1,公差为2的等差数列,则数列{en}的前20项和T20=

.

158912345678910111213141516171819解析

∵an=2n,∴数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,∴a1=2,a2=4,a3=8,a4=16.∵bn=3n-8,∴b1=-5,b2=-2,b3=1,b4=4,显然a1不是数列{bn}中的项.∵a2=4=b4,∴a2是数列{bn}中的第4项,设ak=2k是数列{bn}中的第m项,则2k=3m-8(k,m∈N*,k≥2).∵ak+1=