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第6讲新知识应用方法探究【思想概述】在近几年高考数学命题中,“新定义、新情境”问题越来越受到关注和重视.所谓“新定义、新情境”问题,是指在高中教材中不曾出现过的概念、定义、情境.它的一般形式是:由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则,或者给出一个抽象函数的性质等,然后让学生按照这种“新定义、新情境”去解决相关的问题.“新定义、新情境”问题的题型较为新颖,所包含的信息丰富,能较好地考查学生分析问题、解决问题的能力.下列几种解题的思路与方法,为我们在宏观上把握这类题型提供了思维方向.应用一新定义问题例1(2024山西临汾二模)在计算机科学中,n维数组X=(x1,x2,…,xn),xi∈{0,1},i=1,2,…,n是一种基础而重要的数据结构,它在各种编程语言中被广泛使用.对于n维数组A=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn),定义A与B的差为A-B=(|a1-b1|,|a2-b2|,…,|an-bn|),A与B之间的距离为d(A,B)=(1)若n维数组O=(0,0,…,0),证明:d(A,O)+d(B,O)≥d(A,B);(2)证明:对任意的数组A,B,C,有d(A-C,B-C)=d(A,B);(3)设集合P中有m(m≥2)个n维数组,记P中所有两元素间的距离的平均值为证明

(1)设A与B的对应项中同时为0的有x(0≤x≤n)个,同时为1的有y(0≤y≤n-x)个,则对应项不同的有n-x-y个,所以d(A,B)=n-x-y.所以d(A,O)+d(B,O)=2y+(n-x-y)≥n-x-y=d(A,B).应用二新情境问题例2(2024河北保定二模)三等分角是古希腊几何尺规作图的三大问题之一,如今数学上已经证明三等分任意角是尺规作图的不可能问题,如果不局限于尺规,三等分任意角是可能的.下面是一种三等分角的方法:已知角α(0<α<π)的顶点为A,在α的两边上截取|AB|=|AC|,连接BC,在线段BC上取一点O,使得|BO|=2|CO|,记BO的中点为D,以O为中心,C,D为顶点作离心率为2的双曲线M,以A为圆心,AB为半径作圆,与双曲线M左支交于点E(射线AE在∠BAC内部).在上述作法中,以O为原点,直线BC为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,若B(-2,0),点A在x轴的上方.

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