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第2讲数形结合思想【思想概述】数形结合思想,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面:(1)“以形助数”,把某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,揭示数学问题的本质;(2)“以数定形”,把直观图形数量化,使形更加精确.应用一利用数形结合求解函数与方程、不等式问题BA解析

由f(x)的图象关于点(1,0)对称可得f(x+2)=-f(-x).由f(x+1)+f(x+2)=0,可得f(x+1)=-f(x+2)=f(-x),故函数f(x)的图象关于直线x=对称,且f(x+2)=-f(x+1)=-(-f(x))=f(x),得f(x)的周期为2.应用二利用数学概念、表达式的几何意义求解最值、范围问题例2(1)在平面直角坐标系xOy中,已知P是圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上的动点,若A(-a,0),B(a,0),a≠0,则

的最小值为(

)A.12 B.8 C.6 D.4B(2)(2024浙江嘉兴二模)已知圆C:(x-5)2+(y+2)2=r2(r>0),A(-6,0),B(0,8),若圆C上存在点P使得PA⊥PB,则r的取值范围为(

)A.(0,5] B.[5,15] C.[10,15] D.[15,+∞)B解析

如图,由PA⊥PB可知点P的轨迹是以AB为直径的圆,设为圆M,因为A(-6,0),B(0,8),故圆M:(x+3)2+(y-4)2=25.依题意知圆M与圆C必至少有一个公共点.应用三几何动态问题中的数形结合例3(1)已知直线l:x-y+2=0与圆O:x2+y2=1,过直线l上的任意一点P作圆O的切线PA,PB,切点分别为A,B,则∠AOB的最小值为(

)C(2)已知椭圆C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,M为椭圆C上任意一点,N为圆E:(x-4)2+(y-3)2=1上任意一点,则|MN|-|MF1|的最小值为

.

解析

如图,M为椭圆C上任意一点,N为圆E:(x-4)2+(y-3)2=1上任意一点,则|MF1|+|MF2|=4,|MN|≥|ME|-1,当且仅当M,N,E三点共线时,等号成立,∴|MN|-|MF1|=|MN|-(4-|MF2|)=|MN|+|MF2|-4≥|ME|+|MF2|-

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