第十三讲　反比例函数与一次函数的综合

第十三讲反比例函数与一次函数的综合1.一次函数y=ax+1与反比例函数y=-ax在同一坐标系中的大致图像是(2.已知反比例函数y=kx(k≠0)的图像与正比例函数y=ax(a≠0)的图像相交于A,B两点,若点A的坐标是(1,2),则点B的坐标是(A.(-1,2) B.(1,-2)C.(-1,-2) D.(2,1)3.在平面直角坐标系中,点A在y轴的正半轴上,AC平行于x轴,点B,C的横坐标都是3,BC=2,点D在AC上,且其横坐标为1,若反比例函数y=kx(x>0)的图像经过点B,D,则k的值是(A.1 B.2 C.3 D.34.如图,点M是函数y=3x与y=kx的图像在第一象限内的交点,OM=4,则k的值为435.如图,正比例函数y1=k1x(k1≠0)与反比例函数y2=k2x(k2≠0)的图像相交于A,B两点,其中点A的横坐标为1.当k1x<k2x时,x的取值范围是0<x<1或6.已知点A(-2,m)在一个反比例函数的图像上,点A'与点A关于y轴对称.若点A'在正比例函数y=12x的图像上,则这个反比例函数的表达式为y=-2x7.如图,在平面直角坐标系中,直线y1=k1x+b与双曲线y2=k2x(其中k1·k2≠0)相交于A(-2,3),B(m,-2)两点,过点B作BP∥x轴,交y轴于点P,连接AP,则△ABP的面积是

158.(2024·内江)如图,一次函数y=ax+b的图像与反比例函数y=kx的图像相交于A,B两点,其中点A的坐标为(-2,3),点B的坐标为(3,n)(1)求这两个函数的表达式;(2)根据图像,直接写出关于x的不等式ax+b<kx的解集【解析】(1)∵一次函数y=ax+b的图像与反比例函数y=kx的图像相交于A,B两点,其中点A的坐标为(-2,3),点B的坐标为(3,n∴k=-2×3=3×n,∴k=-6,n=-2,∴反比例函数的表达式为y=-6x∵A(-2,3),B(3,-2)在一次函数y=ax+b的图像上,∴-2a+b∴一次函数表达式为y=-x+1.(2)由图像可知,关于x的不等式ax+b<kx的解集为-2<x<0或x>39.一次函数y=ax+b和反比例函数y=a-bx10.已知点A在反比例函数y=12x(x>0)的图像上,点B在x轴正半轴上,若△OAB为等腰三角形,且腰长为5,则AB的长为5或25或1011.如图,点A(2,2)在双曲线y=kx(x>0)上,将直线OA向上平移若干个单位长度交y轴于点B,交双曲线于点C.若BC=2,则点C的坐标是(2,22)12.(2024·南充)如图,直线y=kx+b经过A(0,-2),B(-1,0)两点,与双曲线y=mx(x<0)交于点C(a,2)(1)求直线和双曲线的表达式.(2)过点C作CD⊥x轴于点D,点P在x轴上,若以O,A,P为顶点的三角形与△BCD相似,直接写出点P的坐标.【解析】(1)∵点A(0,-2),B(-1,0)在直线y=kx+b上,∴b=-2-∴直线表达式为y=-2x-2.∵点C(a,2)在直线y=-2x-2上,∴-2a-2=2,∴a=-2,即点C为(-2,2).∵双曲线y=mx过点C(-2,2),∴m∴双曲线表达式为y=-4x(x<0)(2)∵CD⊥x轴,C(-2,2),∴D(-2,0),CD=2,∵B(-1,0),∴BD=1.∵A(0,-2),∴OA=2.若以O,A,P为顶点的三角形与△BCD相似,OP=1或4,∵点P在x轴上,∴点P的坐标为(-4,0)或(-1,0)或(1,0)或(4,0).13.(2024·成都)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x+m与直线y=2x相交于点A(2,a),与x轴交于点B(b,0),点C在反比例函数y=kx(k<0)图像上(1)求a,b,m的值;(2)若以O,A,B,C为顶点的四边形为平行四边形,求点C的坐标和k的值;(3)过A,C两点的直线与x轴负半轴交于点D,点E与点D关于y轴对称.若有且只有一点C,使得△ABD与△ABE相似,求k的值.【解析】(1)把A(2,a)代入y=2x得a=2×2=4,∴A(2,4).把A(2,4)代入y=-x+m得4=-2+m,∴m=6,∴直线y=-x+m为y=-x+6.把B(b,0)代入y=-x+6得0=-b+6,∴b=6.∴a的值为4,m的值为6,b的值为6.(2)设C(t,kt由(1)知A(2,4),B(6,0),O(0,0),①当AC,BO为对角线时,AC,BO的中点重合,∴t+2=6+0解得t=4经检验,t=4,k=-16符合题意,此时点C的坐标为(4,-4);②当CB,AO为对角线时,CB,AO的中点重合,∴t+6=2+0解得t=经检验,t=-4,k=-16符合题意,此时点C的坐标为(-4,4);③当CO,AB为对角线时,CO,AB的中点重合,∴t+0=2+6解得t=8∵k=32>0,∴这种情况不符合题意.综上所述,点C的坐标为(4,-4)或(-4,4),k的值为-16.(3)如图:设直线AC的表达式为y=px+q,把A(2,4)代入得4=2p+q,∴q=4-2p,∴直线AC的表达式为y=px+4-2p,在y=px+4-2p中,令y=0得x=2p-4p,∴D(∵点E与点D关于y轴对称,∴E(4-∵B(6,0),∴BE=6-4-2pp=8p-4∵△ABD与△ABE相似,∴E只能在B左侧,∵∠ABE=∠DBA,∴要使△ABD与△ABE相似,只需BEBA=ABDB即可,即BE·BD=AB∵A(2,4),B(6,0),∴AB2=32,∴8p-4解得p=1,经检验,p=1满足题意,