常德市联考高三数学试卷

常德市联考高三数学试卷一、选择题

1.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2x$，则函数的对称中心为：

A.$(0,0)$

B.$(1,0)$

C.$(\frac{2}{3},\frac{2}{3})$

D.$(\frac{1}{3},\frac{1}{3})$

2.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(3,4)$，则向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角余弦值为：

A.$\frac{1}{5}$

B.$\frac{2}{5}$

C.$\frac{3}{5}$

D.$\frac{4}{5}$

3.若$a+b=2$，$ab=1$，则$a^2+2ab+b^2$的值为：

A.4

B.3

C.2

D.1

4.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_3=12$，$S_6=42$，则该数列的公差为：

A.2

B.3

C.4

D.5

5.已知函数$f(x)=\frac{1}{x}$，则函数$f(x)$的图像关于下列哪个点对称：

A.$(0,0)$

B.$(1,1)$

C.$(2,2)$

D.$(3,3)$

6.已知复数$z_1=1+i$，$z_2=2-i$，则$|z_1+z_2|$的值为：

A.$\sqrt{2}$

B.$2\sqrt{2}$

C.$3\sqrt{2}$

D.$4\sqrt{2}$

7.已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_n=2n^2+3n$，则数列的第4项为：

A.11

B.13

C.15

D.17

8.已知函数$f(x)=x^2+2x+1$，则函数$f(x)$的图像开口方向为：

A.向上

B.向下

C.向右

D.向左

9.已知等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_3=6$，$S_6=60$，则该数列的公比为：

A.2

B.$\frac{1}{2}$

C.3

D.$\frac{1}{3}$

10.已知函数$f(x)=\lnx$，则函数$f(x)$的单调递增区间为：

A.$(0,+\infty)$

B.$(-\infty,0)$

C.$(-\infty,+\infty)$

D.$(0,1)$

二、判断题

1.在直角坐标系中，如果一条直线与坐标轴的交点分别为$(a,0)$和$(0,b)$，那么这条直线的斜率为$\frac{a}{b}$。（）

2.对于任意一个二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$，其顶点的横坐标$x$的值为$-\frac{b}{2a}$。（）

3.如果一个三角形的两边长分别为5和12，那么第三边的长度一定大于7。（）

4.在复数域中，任何两个复数相加的结果仍然是一个复数。（）

5.对于任意的实数$a$和$b$，如果$a^2+b^2=0$，那么$a$和$b$都必须是0。（）

三、填空题

1.函数$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$的极值点为__________。

2.向量$\vec{a}=(3,4)$与向量$\vec{b}=(2,3)$的点积为__________。

3.若等差数列$\{a_n\}$的第一项为2，公差为3，则第10项$a_{10}$的值为__________。

4.在直角坐标系中，点$A(2,3)$关于直线$y=x$的对称点$B$的坐标为__________。

5.函数$f(x)=\frac{1}{x}$在区间$(0,+\infty)$上的导数为__________。

四、简答题

1.简述二次函数的性质，并举例说明。

2.如何判断一个二次方程有两个实数根、一个实数根或无实数根？

3.给定一个平面直角坐标系中的点，如何求该点关于某条直线的对称点？

4.简要说明等差数列和等比数列的前$n$项和的求法。

5.解释函数的导数的概念，并说明如何求一个函数的导数。

五、计算题

1.计算函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$在$x=2$处的导数值。

2.已知向量$\vec{a}=(4,-3)$和$\vec{b}=(2,5)$，求向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的模长和夹角的余弦值。

3.解方程组$\begin{cases}2x+3y=7\\4x-5y=1\end{cases}$。

4.计算数列$\{a_n\}$的前10项和，其中$a_1=1$，且对于所有$n\geq2$，有$a_n=2a_{n-1}+3$。

5.已知函数$f(x)=\frac{1}{x}$在区间$[1,3]$上的平均变化率为$\frac{1}{2}$，求该函数在$x=2$处的导数值。

六、案例分析题

1.案例分析：某班级共有30名学生，在一次数学考试中，成绩的分布如下表所示：

|成绩区间|人数|

|----------|------|

|60-70|5|

|70-80|10|

|80-90|12|

|90-100|3|

请根据上述数据，计算该班级数学成绩的以下指标：

（1）平均分；

（2）中位数；

（3）众数。

2.案例分析：某公司计划在两个不同的市场推广新产品，市场A的潜在顾客有2000人，市场B的潜在顾客有1500人。通过市场调研，公司得知新产品在市场A的预期销售额为200万元，在市场B的预期销售额为150万元。然而，由于市场推广成本的限制，公司只能选择在一个市场进行推广。假设公司的目标是最大化预期销售额，请计算公司应该选择哪个市场进行推广，并解释原因。

七、应用题

1.应用题：某工厂生产一批产品，已知前10天每天生产100件，之后每天增加20件。问在第20天时，共生产了多少件产品？

2.应用题：一个长方体的长、宽、高分别为2米、3米和4米，求该长方体的体积和表面积。

3.应用题：某公司计划投资一个新项目，该项目有三种不同的投资方案，每种方案的投资额和预期收益如下表所示：

|投资方案|投资额（万元）|预期收益（万元）|

|----------|----------------|-----------------|

|A|100|20|

|B|150|30|

|C|200|40|

假设公司的投资回报率是固定的，且公司希望至少获得20%的回报率，请计算公司应该选择哪种投资方案。

4.应用题：一个班级有50名学生，其中25名学生的成绩在60分以下，另外25名学生的成绩在60分以上。为了提高班级的平均成绩，学校决定从成绩在60分以下的学生中选出5名学生进行辅导。如果辅导后这5名学生的成绩都能提高10分，问辅导后班级的平均成绩提高了多少分？

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题

1.B

2.C

3.A

4.C

5.A

6.B

7.B

8.A

9.A

10.A

二、判断题

1.×

2.√

3.√

4.√

5.√

三、填空题

1.$x=2$处的导数值为$-3$。

2.向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的点积为$-7$。

3.第10项$a_{10}$的值为$67$。

4.点$B$的坐标为$(3,2)$。

5.函数$f(x)=\frac{1}{x}$在区间$(0,+\infty)$上的导数为$-\frac{1}{x^2}$。

四、简答题

1.二次函数的性质包括：开口方向（向上或向下）、顶点坐标（$(-\frac{b}{2a},f(-\frac{b}{2a}))$）、对称轴（$x=-\frac{b}{2a}$）等。例如，函数$f(x)=x^2-4x+4$的图像开口向上，顶点为$(2,0)$，对称轴为$x=2$。

2.判断一个二次方程有两个实数根、一个实数根或无实数根，可以通过判别式$\Delta=b^2-4ac$来判断。如果$\Delta>0$，则有两个不同的实数根；如果$\Delta=0$，则有一个实数根；如果$\Delta<0$，则无实数根。

3.给定一个平面直角坐标系中的点$A(x_1,y_1)$和直线$y=mx+b$，点$A$关于直线的对称点$B(x_2,y_2)$可以通过以下步骤求得：

-求直线$y=mx+b$的斜率$m$和截距$b$；

-求点$A$到直线的距离$d$，$d=\frac{|mx_1-y_1+b|}{\sqrt{m^2+1}}$；

-点$B$的横坐标$x_2=x_1-2d\cdot\frac{m}{\sqrt{m^2+1}}$，纵坐标$y_2=y_1-2d\cdot\frac{1}{\sqrt{m^2+1}}$。

4.等差数列的前$n$项和$S_n$可以通过公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$求得，其中$a_1$是首项，$a_n$是第$n$项。等比数列的前$n$项和$S_n$可以通过公式$S_n=a_1\frac{1-r^n}{1-r}$求得，其中$a_1$是首项，$r$是公比。

5.函数的导数是函数在某一点处的瞬时变化率，可以通过极限的定义求得。对于函数$f(x)$，其导数$f'(x)$可以通过以下极限求得：$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$。

五、计算题

1.$f'(2)=-3$

2.向量$\vec{a}$的模长为$5$，向量$\vec{b}$的模长为$5$，夹角的余弦值为$-\frac{7}{25}$

3.方程组的解为$x=2$，$y=1$

4.数列$\{a_n\}$的前10项和为$S_{10}=410$

5.函数在$x=2$处的导数值为$-\frac{1}{4}$

六、案例分析题

1.平均分=$\frac{5\cdot65+10\cdot75+12\cdot85+3\cdot95}{30}=78.33$

中位数=$\frac{75+75}{2}=75$