江苏省2024-2025学年高一上学期数学期末专题复习讲义04：函数的概念与性质部分

2024-2025学年度江苏省高一上学期数学期末专题复习--函数的基本性质部分一、函数的概念1．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)同一函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2.常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域二、函数的单调性1．单调函数的定义2.单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．3．复合函数单调性的规律若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．4．函数单调性的性质(1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数．更进一步，有增＋增→增，增－减→增，减＋减→减，减－增→减．(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反．(3)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝－f(x)，y＝eq\f(1,fx)单调性相反；函数y＝f(x)(f(x)≥0)与y＝eq\r(fx)单调性相同．(4)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反5．函数的最值前提设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M对于任意x∈I，都有f(x)≥M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值6.函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值．7．利用函数的单调性求解函数最值的步骤(1)判断或证明函数的单调性；(2)计算端点处的函数值；(3)确定最大值和最小值．三、函数的奇偶性1．函数的奇偶性奇函数偶函数定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数图象特征关于原点对称关于y轴对称2.函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇→奇，偶±偶→偶，奇×奇→偶，偶×偶→偶，奇×偶→奇．一、单选题1．（23-24高一上·江苏南通·期末）函数，的最小值为（

）A． B． C． D．2．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知函数，若，则的值是（

）A． B．3或 C．或 D．3或或3．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数，且，则（

）A． B． C． D．4．（23-24高一上·江苏盐城·期末）函数，若，则，，的大小关系是（

）.A． B．C． D．5．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知是定义域为的奇函数，当时，单调递增，且，则满足不等式的的取值范围是（

）.A． B． C． D．6．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知函数的定义域为R，函数是奇函数，．当时，．若，则的值为（

）A． B． C． D．7．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知是定义在上的偶函数，对任意，且，都有，，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．8．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知为上的奇函数，，若对于，，当时，都有，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知命题函数在上单调递减，则下列是命题的一个必要不充分条件是（

）A． B．C． D．10．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知函数，则（

）A．当时，的值域为B．当时，的值域为C．当时，在上单调递增D．当时，在上单调递增11．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知奇函数的定义域为，且满足：对任意的，都有设，且当时，的值域为，则下列说法正确的有（

）．A．B．的一个周期是C．在上的值域为D．的图象关于直线轴对称三、填空题12．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知函数是上的偶函数，为奇函数，则函数的最小正周期为.13．（23-24高一上·江苏扬州·期末）已知定义域为的奇函数，当时，，若当时，的最大值为，则的最小值为.14．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若定义在区间上的函数满足：对于任意的，，都有，且时，有，若的最大值为，最小值为，则的值为.四、解答题15．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知函数y=fx是R上的奇函数，且当时，(1)求函数y=(2)在给定的坐标系中画出函数的图象，并求不等式的解集．16．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知二次函数的图像过点，满足且函数是偶函数，函数.(1)求二次函数的解析式；(2)若，使成立，求实数的取值范围.17．（23-24高一上·江苏无锡·期末）设函数，(1)当时，判断的奇偶性，并说明理由；(2)当时，若对任意的，均有成立，求的最大值．18．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数，函数.(1)求不等式的解集；(2)如果对于任意，都存在，使得，求实数的取值范围.19．（23-24高一上·江苏镇江·期末）定义：若对定义域内任意，都有，（为正常数），则称函数为“距”增函数．(1)若，判断是否为“1距”增函数，并说明理由；(2)若是“距”增函数，求的取值范围；(3)若，，其中，且为“2距”增函数，求的最小值．

参考答案：1．B【分析】将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值.【详解】因为，则，则，当且仅当时，即当时，等号成立，故函数，的最小值为.故选：B.2．A【分析】利用给定的分段函数，列式求解即得.【详解】函数，由，得，解得；或，无解，所以的值是.故选：A3．C【分析】根据求解即可.【详解】由题意，故，又，则.故选：C4．A【分析】先根据求得，再根据不等式性质结合中间值比较大小即可.【详解】因为，所以，所以，所以，又，所以.故选：A5．D【分析】根据函数奇偶性结合函数单调性求解不等式即可.【详解】因为是定义域为的奇函数，所以，当时，在上单调递增，且，，当时，根据奇函数的性质可知在上单调递增，且，，所以.故选：D.6．A【分析】分析出函数的对称性和周期性，再根据求出值，最后利用对称性和周期性计算的值即可.【详解】因为是奇函数，所以，则，故，又，所以，即，所以，则的周期为，当时，，又，则，即，即，解得，则当时，，由，得，又，则.故选：A.【点睛】关键点睛：本题的关键是通过函数的对称性和奇偶性解得，再通过其对称性和周期性求出的值.7．A【分析】判断出函数在上的单调性以及函数值正负情况，结合奇偶性，可判断函数在上的单调性，以及函数值的正负情况，由此可得不等式的解集.【详解】由题意知对任意，且，都有，，则在上单调递减，且当时，；当时，；又是定义在上的偶函数，则在上单调递增，，且当时，；当时，；不妨画出图象示意图如图：则不等式的解集是，故选：A8．B【分析】令，由题可知为R上的偶函数且在0,+∞上单调递减，由，将不等式转化为或，结合的单调性即可求解.【详解】，因为，所以，则有，即.令，则在0,+∞上单调递减.因为为R上的奇函数，所以，所以为R上的偶函数，故在上单调递增.又，则不等式可转化为所以，解得.又当x=-1时，，不合题意.所以的解集为.故选：B9．CD【分析】求出命题为真时的范围，再根据必要不充分条件的定义判断．【详解】由命题函数在上单调递减，可得或，即，由必要不充分条件的定义知只有C,D选项符合.故选：CD.10．BD【分析】根据对勾函数和“川字”函数的单调性和值域并结合图象意一一分析即可.【详解】当时，，定义域为，关于原点对称，且，则为奇函数，当时，，当且仅当时等号成立，因为为奇函数，则当时，，作出对勾函数的图象如图所示：则其值域为，故A错误，取，，则，则C错误；当当时，，定义域为，关于原点对称，且，则为奇函数，当时，因为均单调递增，则单调递增，故D正确；当且时，；当时，，结合其奇偶性作出函数图象：则当时，的值域为R，故B正确.故选：BD.11．ABC【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质、结合赋值法逐项分析判断即可.【详解】对于A，由为上的奇函数，得，，A正确；对于B，由，得，则的一个周期是，B正确；对于C，显然函数的定义域为，，即是奇函数，当时，的值域为，则当时，的值域为，即函数在上的值域为，当时，，，因此，C正确；对于D，由，得，没有条件求得成立，D错误.故选：ABC【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解.12．4【分析】根据题意得到，结合推出，求出答案.【详解】因为为奇函数，所以，将替换为得，又是上的偶函数，故，所以，故，所以，所以函数的一个正周期为4，又，故2不是函数的周期，所以函数的最小正周期为4.故答案为：413．【分析】根据函数为奇函数可知时，最小值为，考查时的最值情况，可得到的范围，即可求解.【详解】因为是定义域为R的奇函数，当时，的最大值为，则时，最小值为，又当时，，当时，，当时，，单调递减，又当时，，故则时，最小值为，必有，则，故的最小值为，故答案为：.14．4048【分析】先计算得到，再构造函数，定义法判断奇偶性，利用对称性有，即可求解.【详解】令得，所以，令得，所以，令，则，，因为，又定义域关于原点对称，所以是奇函数，所以，即，所以.故答案为：404815．(1)(2)图象见解析，【分析】（1）利用的奇偶性可得答案；（2）画出图象，结合图象可得答案.【详解】（1）当时，，所以，因为为R上的奇函数，所以，又满足，所以；（2）由（1）可得图象如下图所示，

不等式转化为，或；所以，或，解得或或，综上所述，不等式的解集为.16．(1)(2)【分析】（1）根据题意，由待定系数法即可求得二次函数解析式；（2）由（1）可得在单调递增，结合条件转化为，然后构造函数，求得其最小值即可.【详解】（1）设二次函数解析式为，由题意可得，所以，又函数是偶函数，则其函数图像关于轴对称，所以的图像关于对称，即，所以，故，所以.（2）由（1）可得，则，当时，单调递增，则，若，使成立，即，即，令，当时，，不符合；当时，在单调递减，则，即，解得；当时，在单调递增，，即，解得，且，则；综上所述，，即实数的取值范围为.17．(1)非奇非偶函数；理由见解析(2)【分析】由题意得当时，函数，且函数的定义域为，利用函数奇偶性的定义进行判定，即可得出答案；讨论去绝对值，然后讨论，以及对称轴与区间的位置关系，可求出与的关系式，然后分别求出的最大值，从而可求出所求．【详解】（1）由题意得当时，函数，且函数的定义域为，，，，∴f（2）因为当时，若对任意的，均有成立，令，当时，，对任意的恒成立，即，解得，的最大值为；当时，，，对称轴为，，则，不等号方向改变，即，所以，则，的最大值为；时，，即，所以，即，无解；时，，所以，即，即，所以无解；当时，，，对称轴为，，则，即，无解；时，，即，，，则，则，，的最大值为；时，，，，则且，，则，的最大值为；当时，，，，，即，则，而，，则，令，，则，即在上单调递减，在上单调递增，又，，所以的最大值为综上所述，对任意的，均有成立，则的最大值为所有最大值中的最小值【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的判定，以及函数恒成立问题，同时考查了分类讨论的数学思想和转化的能力，属于难题．18．(1)(2)【分析】（1）利用函数单调性解不等式；（2）分别求出在上和在上的值域，利用包含关系求实数的取值范围.【详解】（1）函数，定义域为R，，函数为奇函数，时，，则在上单调递增，所以在R上单调递增，不等式，即，得，解得，所以不等式的解集为.（2）函数在上单调递减，在上单调递增，，，，则时；在上单调递增，当时，，依题意有：，解得.所以实数的取值范围为.19．(1)是“1距”增函数，理由见解析(2)(3)【分析】（1）根据定义，作差比较大小即可；（2）根据定义可知恒成立，代入转化为一元二次方程大于零恒成立，利用判别式求