广西龙胜中学2024届高三二诊模拟考试数学试卷含解析

广西龙胜中学2024届高三二诊模拟考试数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

](V

1.已知函数/(力=①，8(%)=工"'.若存在$G(0,+oo),X,使得==<0)成立，则三ek

x_(xj

的最大值为()

2

A.eB.e

41

C.—D.—r

e~e~

/十sinx

2.已知函数=-----------------;为奇函数，则机=()

(1+x)(m-x)+e+e

1

A.-B.1C.2D.3

2

3.定义：N{/(x)位g(x)}表示不等式f(x)<g(x)的解集中的整数解之和.若/(x)=|log2x|,或X)=〃(X-1)2+2,

N{/(x)®g(x)}=6,则实数。的取值范围是

A.(-QO,-1]B.(log,3-2,0)C.(2-log26,01D.(噫3-2

4

4.已知直线R+y=/与圆/+丁=27-产(/6A)有公共点，则，(4一/)的最大值为()

283232

A.4B.—C.—D.—

997

5.已知函数f(x)=〃7(x-l)-(e为自然对数底数)，若关于x的不等式/(x)>0有且只有一个正整数解,

则实数小的最大值为()

.e3+e„2+ee3-ee~)-e

A.--------B.--------C.--------D.--------

2222

6.在各项均为正数的等比数列{4}中，若出4=3,则Iog34+log3a2+—+log34o=()

A.1+log35B.6C.4D.5

7.三棱柱ABC-44c中，底面边长和侧棱长都相等，N8A4=NCA4=60,，则异面直线A片与3G所成角的余

弦值为()

R

D,3

A.&B.在C.B

3646

3

8.已知。是第二象限的角，tan(4+a)=一二，则sin2a=()

4

12122424

A.B.C.D.——

25252525

9.设a,b,c为非零实数，且a>c,b>c，则()

、,a+b112

A.a+b>cB.ab>c2C.>cD.—+

Jabc

.2）412

10.已知函数/⑴=+其中0"<4?<c<,记函数，（x）满足条件：｛〃_2）W4为事件A，则事件

4发生的概率为

I„5

A.—B.—

48

c-1D-i

（4x—y2

11.不等式<.的解集记为。，有下面四个命题：四：\/*,），）£。,2）-45；〃2：玉苍），）€。,2），一乂.2；

[x+y,3

〃3:V（x、y）££）,2y一毛，2；a43"，>'）£。，2了一元・4.其中的真命题是（）

A.PI,/?2B.〃2，〃3C.P|,〃3D・〃2，〃4

12.某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为D，则这个几何体的体积是（）

A.一B.一C.16D.32

33

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）已知cos（a-W）=",且则2cos%+&而（20-=）的值是____________.

2524

14.已知=则满足了（2x-l）+/（x）20的x的取值范围为.

15.某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进

入第二次烧制，再次烧制过程相互独立,根据该厂现有的技术水平，经过笫一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概

率依次为0・5、0.6、0.4,经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0・6、0.5、0.75；则第一次烧制后

恰有一件产品合格的概率为;经过前后两次烧制后，合格工艺品的件数为则随机变量4的期望为.

16.已知4B、aP是同一球面上的四个点，其中PA_L平面ABC,是正三角形，PA=AB=3,则该球

的表面积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）设数列｛《J是公差不为零的等差数列，其前〃项和为S,,4=1,若卬，的，生成等比数列.

（1）求。〃及3；

（2）设"二丁二Y（〃CN*）,设数列也｝的前〃项和，，证明：

18.（12分）某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400

元可以抽奖两次，依次类推）.抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1,2,3,4,5的5个完仝相同

的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次

大（如1,2,5）,则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小（如5,3,1）,则获得二等奖，奖金

20元；其余情况获得三等奖，奖金10元.

（1）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望；

（2）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率.

x=\------1

19.（12分）在平面直角坐标系xQy中，直线/的参数方程为，]2。为参数），曲线。的极坐标方程为

/?=4cos/9.

（I）求直线/的普通方程及曲线C的直角坐标方程;

1

（II）设点P（LO）,直线/与曲线C相交于A,B,求网十两的值，

20.(12分)等差数列｛%｝中，4=1,&=2%.

(1)求⑶/的通项公式；

(2)设瓦=2怎，记S”为数列也｝前〃项的和，若S,“二62,求加.

21.(12分)已知椭圆［+营=15>/>>0),点4(1,0),8(0,1),低P满足OA+与OB=OP(其中。为坐标原

点)，点用P在椭圆C上.

(1)求椭圆。的标准方程；

(2)设椭圆的右焦点为尸，若不经过点”的直线/：>=依+根(攵<0,〃?>0)与椭圆C交于两点.且与圆

f+y2=i相切.4肋环的周长是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由.

22.(10分)在平面直角坐标系xO)，中，椭圆C：.；.；的右准线方程为x=2,且两焦点与短轴的一

方♦仁=八二>二>0)

个顶点构成等腰直角三角形.

(1)求椭圆C的方程；

(2)假设直线/：二=二二十二与椭圆C交于A,B两点.①若A为椭圆的上顶点，M为线段AB中点，连接OM并

延长交椭圆C于N,并且__?_,求OB的长；②若原点O到直线/的距离为1,并且示OR-当

0、=乎O\l2口4：

・JC

时，求AOAB的面积S的范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

由题意可知，g(x)=/(/),由/(%)=g(w)=z(z<o)可得出。<不<i,々<0,利用导数可得出函数y=/(x)

在区间(0,1)上单调递增，函数y=g(》)在区间(-8,0)上单调递增，进而可得出斗="2,由此可得出

±二多=8（士）=%,可得出强J=kW,构造函数力代）=氏3利用导数求出函数y=〃的在壮（口,0）

A|e7

上的最大值即可得解.

【详解】

・・・〃加竽g（加;华小㈤,

由于/（%）=见'=%<°,则In%<0=0<%<1,同理可知，x,<0,

x]

函数y=/（x）的定义域为（0,+“），/'（X）=匕学>0对Vx£（O,l）恒成立，所以，函数y=/（x）在区间（0,1）上

单调递增，同理可知，函数y=g（x）在区间（—,0）上单调递增，

2

xx（\

.•./（%）=8（*2）=/（/2）,则内="2,-T-g（x2）-Z,则工-k2ek,

玉e\x\）

构造函数〃（%）=/4，其中kvO,则/化）=（/+2。/=1（2+2）/.

当左<一2时，/7”）>0,此时函数），=力（左）单调递增；当一2Vze0时，"（Z）<0,此时函数少二〃6）单调递减.

4

所以，M%x="（-2）=>・

C-

故选：C.

【点睛】

本题考查代数式最值的计算，涉及指对同构思想的应用，考查化归与转化思想的应用，有一定的难度.

2、B

【解析】

根据/（力整体的奇偶性和部分的奇偶性，判断出〃?的值.

【详解】

依题意“X）是奇函数.而y=d+sin.x为奇函数，），=，+""为偶函数，所以g（x）=（l+x）（加-力为偶函数，故

g（x）r（T）=0,也即（l+x）（〃?一工）一（1一%）（m+冗）=0,化简得（2〃?-2）九=0,所以用=1.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数值，属于基础题.

3、D

【解析】

2

由题意得，N{/(x)0g(x)}=6表示不等式|log2x\<a(x-\)+2的解集中整数解之和为6.

当。>0时，数形结合(如图)得|1域2幻<。。-1尸+2的解集中的整数解有无数多个，|log?x|<a(xT)2+2解集中的

整数解之和一定大于6.

当…时"2,数形结合(如图)，由/⑺<2解得卜….在(%)内有3个整数解，为L2,3,满足

N{/(x)®g*)}=6,所以。=()符合题意.

当avO时，作出函数/(x)=Hog2xl和g(x)=〃(x-l)2+2的图象，如图所示.

若N{/[x)*g*)}=6,即|1叫川＜仙-1)2+2的整数解只有1,2,3.

/。)＜叫J噫f+2,解得『5。’所以辛

只需满足

/(4)＞g(4)I

综上，当N{.f(x)③g(x)}=6时，实数。的取值范围是也咛二,0],故选D.

4、C

【解析】

根据炉+'2=2,一/。£尺）表示圆和直线人+），=/与圆犬2+,2=2一产。£/?）有公共点，得到ow/wg,再利用

二次函数的性质求解.

【详解】

因为丁十丁=2/一/。£R）表示圆，

所以21-产>0,解得0<f<2,

因为直线x+y=，与圆V+V=21一『。£R）有公共点,

所以圆心到直线的距离do

即41VJ2t-产,

V2

解得OWY；

3

一(—2)2+4,在4递增,

因为/(/)=/(4-/)=-r2+4r=0

所以，4-

故选：C

【点睛】

本题主要考查圆的方程，直线与圆的位置关系以及二次函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

5、A

【解析】

若不等式/（6>0有且只有一个正整数解，则）』加。-1）的图象在y=g（x）图象的上方只有一个正整数值，利用导

数求出g（x）的最小值，分别画出>，=%（*）与的图象，结合图象可得.

【详解】

x

解：f(A)=m(x-1)-(x-2)e-e>0f

/.m(x-1)>(x-2)e'+e,

设〉=g[x)=(x-2)e'+e,

・・・g'(x)=(x-l)/,

当柒>1时，g'(x)>0,函数g(x)单调递增,

当XV1时，g'(x)vo,函数g(x)单调递减,

・・.以不)2或1)=0,

当时，/(X)f+oo,当XT-8,e,

函数y=〃z*T)恒过点(1,0),

分别画出丁=8(工)与)，=，〃(穴一1)的图象，如图所示，

若不等式/(">()有且只有一个正整数解，则)，=加(1-1)的图象在丁=屋工)图象的上方只有一个正整数值,

Azn(3-l)<(3-2)e3+eK/n(2-l)>(2-2)ex+e,即2"?<g(3)=e3+e,且

故实数机的最大值为人士，

2

故选：A

【点睛】

本题考查考查了不等式恒有一正整数解问题，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数形结合思想，考查了数学

运算能力.

6、D

【解析】

由对数运算法则和等比数列的性质计算.

【详解】

由题意log3q+log3a2++log36/10=log3(q〃24o)

5

=iog3(^6)=5log3(«5«6)=5log33=5.

故选：D.

【点睛】

本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则.掌握等比数列的性质是解题关键.

7、B

【解析】

设AA=c,AB=cuAC=8,根据向量线性运算法则可表示出Ag和BQ；分别求解出AB/BG和,胤，忸(彳，

根据向量夹角的求解方法求得cosv>,即可得所求角的余弦值.

【详解】

设棱长为1,A4(—c>AB-ci»AC-b

由题意得：ab=-fbe=—fac=—

222

AB}=4+c,BC\=BC4-BB、=b—a+c

11

ABcBC[=[a+c)\b-d+c]=ab-a+dc+b^c-dc+c=^-\+^+\=\

又Aq=+c)-=Ja2+2a'C+c2=G

\BC\=^{b-a+c^=ylb2+a2+c2-2ab+2bc-2a-c二叵

“AB..BC,1瓜

cos<A4,BC,>=।——in~4=~i==——

卜肝照|限6

即异面直线Ad与8G所成角的余弦值为：正

6

本题正确选项：B

【点睛】

本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.

8、D

【解析】

利用诱导公式和同角二角函数的基本关系求出cos?a,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.

【详解】

3

因为tan(^4-a)=——,

4

由诱导公式可得,tana='吧=

cosa4

即sin«=--cosa,

4

因为sin?a+cos?a=1,

i16

所以tcos”a=一,

25

由二倍角的正弦公式可得，

sin2a=2sinacoscr=——cosa,

2

•c31624

所以sin2a=——x一=-----.

22525

故选:D

【点睛】

本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;属于中

档题.

9、C

【解析】

取“=。=_2,计算知A8D错误，根据不等式性质知C正确，得到答案.

【详解】

>c

a>c,b>ct故。+人>2。，^4-»故C正确;

2

取。=一]]=-1,。=-2,计算知AAD错误;

故选：C.

【点睛】

本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.

10、D

【解析】

/(2)<12[4+2Z?+c<12.、1

由2)《4得”4-2〃+c，4'分别以"，为横纵坐标建立如图所示平面直角坐标系'由图可知'夕（八）=5.

11、A

【解析】

作出不等式组表示的可行域，然后对四个选项一一分析可得结果.

【详解】

作出可行域如图所示，当x=l,y=2时，（2），一幻皿=3,即2y-x的取值范围为（YO,3],所以

V(x,y)eD,2y-x,5,/?)为真命题;

3（x,y）eD,2），—x..2,p2为真命题；死,p4为假命题.

此题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于中档题.

12、A

【解析】

1142

几何体为一个三棱锥，高为%底面为一个等腰直角三角形，直角边长为4,所以体积是；?，选A.

323

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【解析】

由于8§(。一工)=80(2-。)=51【1二=一±,且aw(一巳,0),则cosa=Jl-sic?a=),得sin2a=2sinacosa=一4，

2252525

贝I)2cos2a+\/2sin(--)=1+cosla+5/2(sin2acos--cos2<7sin—)=1+sin/=—.

44425

14、［；,+8)

【解析】

将/(x)写成分段函数形式，分析得/J)为奇函数且在R上为增函数，利用奇偶性和单调性解不等式即可得到答案.

【详解】

fX2,X>0

根据题意，f(x)=x|x|=〈>,

则/(X)为奇函数且在R上为增函数，

贝1J/(2x-l)+f(x)对对(2x-1)>-f(x)(2x-1)>f(-x)=>2x-1>-x,

解可得应g,即x的取值范围为［；,也)；

故答案为：［§，+8).

【点睛】

本题考查分段函数的奇偶性与单调性的判定以及应用，注意分析/(X)的奇偶性与单调性.

15、().380.9

【解析】

考虑恰有一件的三种情况直接计算得到概率，随机变量4的可能取值为0,1,2,3,计算得到概率，再计算数学期望得到

答案.

【详解】

第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为：

p=0.5x(l-0.6)x(l-0.4)+(l-0.5)x0.6x(l-0.4)+(l-0.5)x(l-0.6)x0.4=0.38.

甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为：

p,=0.5x0.6=03,p2=0.6x0.5=03,p3=0.4x0.75=0.3.

故随机变量J的可能取值为0,1,2,3,

故〃(4=0)=(1S3)；］黑；〃(61)=。；0.3(1。・3)2=荔；

〃信=2)=C；0.32(1-0.3)=；p也=3)=0.33=.

仆,3\)1000*f1000

343n4411189c27Q八八

故E(^)=------XOH--------xl+-------x2+------x3=0.9.

v71000100010001000

故答案为：0.38；0.9.

【点睛】

本题考查了概率的计算，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.

16、21〃

【解析】

求得等边三角形A8C的外接圆半径，利用勾股定理求得三棱锥P-A3CD外接球的半径，进而求得外接球的表面积.

【详解】

I2r=J〜=2百r=\f3

设。I是等边三角形的外心，则球心。在其正上方一抬处.设0。=，•，由正弦定理得”.£.

23T

所以得三棱锥产一A8C。外接球的半径R=J(OOj2+(OQ2=J(gPAJ+(O,C)2=二=旧，所以外接球

21

的表面积为44炉=4/rx—=214.

4

故答案为：2E

【点睛】

本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

17、(1)afl=2n-\fSn=n.(2)证明见解析.

【解析】

(D根据题中条件求出等差数列｛〃“｝的首项和公差，然后根据首项和公差即可求出数列｛4｝的通项和前〃项和;

(2)根据裂项求和求出7“，根据7”的表达式即可证明7；

【详解】

(1)设，;4｝的公差为4,

%=1

由题意有='2

I约=q•%I")"=6•(/I44)

q=1

且北0=1一

d=2

所以4=1+2(〃-1)=2〃-1,

一(%+〃“)_

2'

,111

(2)因为二二一

an+\-1+/2+1>

1__

所以7#1--++…+

n+\

11

<

4-4-

【点睛】

本题主要考查了等差数列基本量的求解，裂项求和法，属于基础题.

5049

18、(1)分布见解析，期望为当；(2)—.

3216

【解析】

(1)先明确X的可能取值，分别求解其概率，然后写出分布列，利用期望公式可求期望；

(2)获得的奖金恰好为60元，可能是三次二等奖，也可能是一次一等奖，两次三等奖，然后分别求解概率即可.

【详解】

(1)由题意知，随机变量X的可能取值为10,20,40

r311

-|/X=-=-

且P(X=40)=V6\20)6

所以P(X=10)=1-P(X=40)-P(X=20)=-,

即随机变量X的概率分布为

X102040

2]_

p

66

所以随机变量X的数学期望E(X)=10x-+20x1+40xl=—.

3663

（2）由题意知，赵四有三次抽奖机会，设恰好获得6U元为事件A,

因为60=20x3=40+10+10,

所以P叱$+点|）£=熬

【点睛】

本题主要考查随机变量的分布列及数学期望，明确随机变量的所有取值是求解的第一步，再求解对应的概率，侧重考

查数学建模的核心素养.

2叵

19、(I)/:x+\Z5_y-1=0,C:(X-2)+/=4；(II)

3.

【解析】

I当

(I)由（/为参数）直接消去参数，，可得直线的普通方程，把。=4cos夕两边同时乘以「，结合

1

p?=/+）,2,（二03。可得曲线的直角坐标方程;

x=\与

(II)把代入『+y2—4x=。，化为关于/的一元二次方程，利用根与系数的关系及参数/的几何意义

1

y弓

求解.

【详解】

x=\------1

解：（I）由J2"为参数），消去参数，，可得x+6），-1=0.

y=-t

I2

VP=4cos。，:.p2=^pcosO,即f+y2-4x=0.

・••曲线的直角坐标方程为(x—2)2+y2=4；

x-1-乌x-1-乌

22

(H)把代入f+),2-4工=0,得/+"一3=().

1

y=2f)，=21

设A,B两点对应的参数分别为t2

则/]+q=-G,1也=-3.

不妨设乙<0,/2>0,

.11_I1_同+归|_，&+:)也_屈

.•网+廊THW~w―N一

【点睛】

本题考查简单曲线的极坐标方程,考查参数方程化普通方程，明确直线参数方程中参数/的几何意义是解题的关键.

是中档题.

20、(1)an=n(2)m=5

【解析】

(1)由基本量法求出公差△后可得通项公式；

(2)由等差数列前"项和公式求得S“，可求得〃?.

【详解】

解：(1)设｛/｝的公差为4,由题设得

an=1+[〃一1)4

因为a6=2ay,

所以1+(6-1)，=2口+(3-1)4]

解得d=l,

故/=〃.

(2)由(1)得a二2".

所以数列｛"｝是以2为首项，2为公比的等比数歹U,

2—2"

所以S〃=2n+,-2,

1-2

由，，=62得2"出一2=62,

解得m=5.

【点睛】

本题考查求等差数列的通项公式和等比数列的前〃项和公式，解题方法是基本量法.

21、(1)y+/=l(2)是，2血

【解析】

(1)设P(x,y),根据条件可求出P的坐标，再利用8,P在椭圆上，代入椭圆方程求出〃，力即可;

(2)设.必(司,)1),乂(七办)(%>0,玉>0)运用勾股定理和点满足椭圆方程，求出|M。，|NQ|,再利用焦半径公式

表示出用，进而求出周长为定值.

即(1,0)+争0,1)=(x,y),则%=1,y考，即P

0+J=l

h-2

因为SP均在C上,代入得J1，解得/=2,户=1,所以椭圆。的方程为£+/=［；

a2b~

(2)由(1)得尸(1,0),6=亚,作出示意图,

2

设切点为。,M(%，X),N仇,、2)(玉>0,x2>0),

则IMg|2=|OMF-1OQ『=x；+y；-1=,

同理|NQ『=

即IMQ1=孝41NQl=孝电，所以IMN|=曰区+x2),

历J?

X|A/F|=a-ex]=>/2----xv\NF\=a-ex2=