《电路与信号分析》课件第6章

6.1耦合电感元件6.2耦合电感的去耦等效6.3空芯变压器电路分析6.4理想变压器6.5一般变压器习题6第6章耦合电感与变压器电路分析

6.1耦合电感元件

6.1.1耦合电感的伏安关系

当一线圈中通以变化电流时，将在线圈中产生变化的磁通。根据电磁感应定律，这些变化的磁通将在线圈两端产生感应电压。若有两线圈靠近时，一线圈中变化电流所产生的磁通不仅在本线圈中产生感应电压，还可能在另一线圈中产生感应电压。一个线圈中的变化电流在另一线圈中产生感应电压的现象叫做磁耦合现象或互感现象。产生磁耦合现象的这对线圈称做互感线圈或耦合线圈。互感线圈的理想化模型即是耦合电感。下面来讨论耦合电感的伏安关系。考虑相互靠近的两个线圈如图6-1(a)所示。设通过线圈Ⅰ的电流为i1，通过线圈Ⅱ的电流为i2，由于两个线圈之间存在磁耦合，因此每个线圈电流所产生的磁通不仅要与本线圈铰链形成磁链，而且有部分甚至全部还将与相邻的另一线圈铰链形成磁链，所以每个线圈中的磁链将由本线圈电流所产生磁链和相邻线圈电流所产生磁链两部分组成。若两线圈匝数分别为N1、N2，且线圈的每匝都全部铰链，选定线圈中各部分磁链的参考方向与产生该磁链的线圈电流的参考方向符合右手螺旋法则，每个线圈的总磁链的参考方向与它所在线圈电流的参考方向也符合右手螺旋法则，则各线圈总磁链在图6-1(a)所示电流参考方向下可表示为

(6-1)其中，Φ11、Φ22分别为电流i1、i2流经线圈Ⅰ、Ⅱ所产生的磁通，称为自感磁通；Φ12、Φ21分别是Φ11、Φ22中与相邻线圈铰链的部分磁通，称为互感磁通；Ψnn=NnΦnn(n=1，2)表示线圈n的线圈电流在线圈n中产生的磁链，称为自感磁链；Ψnm=NnΦnm(n，m=1，2且n≠m)表示线圈m的线圈电流在线圈

n中产生的磁链，称为互感磁链；Ψ1、Ψ2分别是线圈Ⅰ、Ⅱ的总磁链。图6-1耦合线圈(a)自磁链和互磁链参考方向一致；(b)自磁链和互磁链参考方向不一致由于线圈自磁链的参考方向由本线圈的电流按右手螺旋法则决定，而互磁链的参考方向则由相邻线圈的电流按右手螺旋法则决定，故随着线圈电流的参考方向和线圈绕向以及线圈间的相对位置的不同，自磁链与互磁链的参考方向可能一致也可能相反。如当线圈绕向和电流的参考方向如图6-1(a)所示时，每个线圈中的自磁链和互磁链的参考方向均一致；而当线圈绕向和电流的参考方向如图6-1(b)所示时，每个线圈中的自磁链和互磁链的参考方向均不一致。因此耦合线圈中的总磁链可表示为

(6-2)当线圈中及周围空间是各向同性的线性磁介质时，每一种磁链都与产生它的电流成正比，即有

(6-3)式中，分别称为线圈Ⅰ、Ⅱ的自感系数，简称自感，单位为亨［利］(H)；，称为互感系数，简称互感，单位为亨［利］(H)。可以证明M12=M21，表明互感的互易性质。因此，当只有两个线圈有耦合时可以略去M的下标，即可令M=M12=M21。当流经耗合线圈的电流变化时，与线圈铰链的磁通要作相应的变化，并在线圈两端产生感应电压。设各线圈电压电流均取关联参考方向，则根据电磁感应定律可得

(6-4)式(6-4)即为耦合电感的伏安关系式。该式表明：耦合电感的每一线圈的感应电压包括两部分，一部分是由线圈自磁链产生的自感电压(uL1或uL2)，另一部分是由互磁链产生的互感电压(uM1或uM2)。根据电磁感应定律，若自感电压和互感电压的参考方向与产生该感应电压的磁链的参考方向符合右手螺旋法则，当线圈的电流与电压取关联参考方向时，自感电压前的符号总为正；而互感电压前的符号可正可负，当互磁链与自磁链的参考方向一致时取正号，反之取负号。从耦合电感的伏安关系式可以看出，由两个线圈组成的耦合电感是一个由L1、L2和M三个参数表征的四端元件，并且由于它的自感电压和互感电压分别与线圈中的电流的变化率成正比，因此是一种动态元件、记忆元件。6.1.2耦合线圈的同名端

由前面的分析可知，互磁链与自磁链的参考方向是否一致不仅与设定的两线圈电流的参考方向有关，还与线圈的绕向及线圈间的相对位置有关。实际的线圈往往是密封的，难以根据磁通方向来确定互感电压的参考方向，其次在图上也不便画出线圈的绕向及相对位置。为了解决这一问题，引入同名端的概念。所谓同名端，是指耦合线圈中这样一对端纽：当线圈电流同时流入(或流出)该对端纽时，它们所产生的磁链是相互加强的，即线圈中的自磁链与互磁链的参考方向是一致的。同名端通常用标志“·”(或“*”)表示。根据定义可以方便地判断两线圈的同名端：如图6-2中当

i1、i2分别由端纽a和c流入(或流出)时，它们各自产生的磁通相助，因此a端和c端是同名端(当然b端和d端也是同名端)；a端与d端(或b端与c端)称异名端，并在图上用“·”标出同名端。

图6-2耦合电感的同名端有了同名端的概念，再根据设定电压、电流的参考方向，比较图6-1(a)、(b)及其相应的伏安关系式(6-4)，我们不难得出直接列写耦合电感伏安关系式的具体规则：若自感电压与产生该电压的电流参考方向为关联参考，且耦合电感线圈电压与自感电压方向一致，则自感电压前取正号，否则取负号；若耦合电感线圈的电压正极性端与另一线圈的电流流入端为同名端，则该线圈的互感电压前取正号，否则取负号。在耦合线圈绕向无法知道的情况下，若需确定同名端，可用图6-3所示试验方法测定：在该电路中，当开关S闭合时，i1将从线圈Ⅰ的a端流入，且，如果电压表正向偏转，表示线圈Ⅱ中的互感电压，则可判定电压表的正极所接端钮c与i1的流入端钮a为同名端；反之，如果电压表反向偏转，表示线圈Ⅱ中的互感电压，则可判定电压表的正极所接端钮c与i1的流入端钮a为异名端，而端钮a与d为同名端。图6-3测定同名端的实验电路6.1.3耦合线圈的电路模型

有了同名端的概念，图6-1(a)和(b)所示的耦合电感可分别用图6-4(a)和(b)所示电路模型表示，图中L1、L2是自感系数，M是它们之间的互感系数，“·”或“*”表示同名端。

由于耦合电感中的互感反映了耦合电感线圈间的耦合关系，为了在电路模型中以较明显的方式将这种耦合关系表示出来，各线圈中的互感电压可用CCVS表示。若用受控源表示互感电压，则图6-4(a)和(b)所示耦合电感可用图6-5(a)和(b)所示的电路模型表示。显然在这里，电感L1和L2之间已没有了耦合关系。图6-4耦合电感的电路模型图6-5用受控源表示互感电压时耦合电感的电路模型在正弦稳态电路中，式(6-4)所述耦合电感伏安关系的相量形式为

(6-5)

式中，jωL1、jωL2称为自感阻抗；jωM称为互感阻抗。耦合电感相量模型如图6-6(a)和(b)所示，相应的用受控源表示互感电压的耦合电感相量模型如图6-7(a)和(b)所示。图6-6耦合电感相量模型图6-7用受控源表示互感电压的耦合电感相量模型6.1.4耦合线圈的耦合系数

一般情况下，流经耦合线圈的电流所产生的磁通只有部分与另一线圈铰链，彼此不铰链的那部分磁通称为漏磁通。而耦合线圈的互感量反映了一个线圈在另一个线圈产生磁链的能力。工程上为了定量地描述两个耦合线圈的耦合紧密程度，把两个线圈的互感磁链与自感磁链的比值的几何平均值定义为耦合系数，并用符号k表示，即

(6-6)又因为Ψ11=L1i1，Ψ21=Mi1，Ψ22=L2i2，Ψ12=Mi2，代入式(6-6)后有

(6-7)

由于一般情况下Ψ21≤Ψ11，Ψ12≤Ψ22，所以k≤1。k＝1时称为全耦合，此时一个线圈中电流产生的磁通全部与另一线圈铰链，互感达到最大值，即；k≈1时称为紧耦合；k较小时称为松耦合；k＝0时称为无耦合，此时耦合电感的两个线圈的磁通互不相交链，互感M=0。

例6-1试写出图6-8所示耦合电感的伏安关系。

解因为图6-8所示耦合电感线圈Ⅰ的电流i1与电压u1为关联参考方向，故自感电压；又因为线圈Ⅰ的电压u1的正极性端与线圈Ⅱ电流i2的流入端为同名端，故线圈Ⅰ的互感电压。因为线圈Ⅱ的电流i2与电压u2为非关联参考方向，故自感电压；又因为线圈Ⅱ的电压u2的正极性端与线圈Ⅰ电流i1的流入端为异名端，故线圈Ⅱ的互感电压。图6-8例6-1图由此可得该耦合电感的伏安关系为

6.2耦合电感的去耦等效

由于耦合电感的两个线圈在实际电路中一般以某种方式相互连接，基本的连接方式有串连、并联和三端连接，因此在分析含耦合电感的电路时，一般首先将这些连接方式的耦合电感用无耦合的等效电路去等效替代，然后再分析。通常我们将这个等效替代的过程称为去耦等效。本节主要介绍这三种基本连接方式的去耦等效以及去耦等效法在含耦合电感电路分析中的应用。6.2.1耦合电感的串联

耦合电感两线圈的串联有两种连接方式：一种是如图6-9(a)所示，将耦合电感线圈的两个异名端连在一起并通以同一个电流，称为顺串；另一种是如图6-9(b)所示，将耦合电感线圈的两个同名端连在一起并通以同一个电流，称为反串。图6-9耦合电感的串联(a)顺串；(b)反串；(c)顺串等效电感；(d)反串等效电感设耦合电感线圈上的电压电流取图6-9所示关联参考方向，则由耦合电感的伏安关系可得两种连接方式的串联电路的伏安关系为

(6-8)

式中，M前的正号对应于顺串，负号对应于反串。

式(6-8)表明，作串联连接的耦合电感在电路中可等效为一个如图6-9(c)或(d)所示的电感元件，其等效电感为

Leq=L1+L2±2M6.2.2耦合电感的并联

耦合电感的并联连接也有两种形式：一种是如图6-10(a)所示，将耦合电感线圈的两个同名端连在一起并跨接在同一个电压上，称为同侧并联；另一种是如图6-10(b)所示，将耦合电感线圈的两个异同名端连在一起并跨接在同一个电压上，称为异侧并联。图6-10耦合电感的并联(a)同侧并联；(b)异侧并联；(c)同侧并联等效电感；(d)异侧并联等效电感设耦合电感线圈上的电压电流取图6-10所示关联参考方向，则由耦合电感的伏安关系可得两种连接方式的并联电路的伏安关系为

(6-9)式(6-9)中，M前的正号对应于同侧并联，负号对应于异侧并联。对该式联立求解得

(6-10)将式(6-10)中两方程相加即得两种并联连接方式的耦合电感的伏安关系为

(6-11)

或

(6-12)其中

(6-13)

式(6-13)中，2M前的负号对应于同侧并联，正号对应于异侧并联。式(6-12)表明，作并联连接的耦合电感在电路中可等效为一个如图6-10(c)或(d)所示的电感元件。6.2.3耦合电感的三端连接

将耦合电感的两个线圈各取一端连接起来就成了耦合电感的三端连接电路。耦合电感的三端连接也有两种接法：一种是将同名端相连，构成如图6-11(a)所示的三端连接电路；另一种是将一异名端相连，构成如图6-11(b)所示的三端连接电路。显然前面介绍的耦合电感的串联连接、并联连接均可看成三端连接的特例。图6-11耦合电感的三端连接(a)同名端相连；(b)异名端相连；(c)同名端相连的去耦等效电路；(d)异名端相连的去耦等效电路下面讨论三端连接的耦合电感的去耦等效方法。

设图6-11(a)所示耦合电感各线圈上的电压和电流的参考方向如图，则由耦合电感的伏安关系可得

(6-14)经变换得

(6-15)

由式(6-15)可得图6-11(a)所示三端连接的耦合电感的去耦等效电路如图6-11(c)所示。同理可推得图6-11(b)所示三端连接的耦合电感的去耦等效电路如图6-11(d)所示。6.2.4去耦等效法在含耦合电感电路分析中的应用

下面举例说明如何利用去耦等效的方法分析含耦合电感电路。

例6-2如图6-12(a)所示电路，已知R1=12Ω，ωL1=

2Ω，ωL2=10Ω，ωM=6Ω，R3=6Ω，=6Ω。试求其输入阻抗Zab。图6-12例6-2图

解图6-12(a)所示电路中的耦合电感为同名端相连的三端连接方式，其去耦等效电路的相量模型如图6-12(b)所示，由此可得

例6-3试求图6-13(a)所示有源二端网络的戴维宁等效电路。已知，R1=R2=3Ω，ωL1=ωL2=4Ω，ωM=2Ω。图6-13例6-3图

解图6-13(a)所示电路中的耦合电感为同名端相连的三端连接方式，其去耦等效电路的相量模型如图6-13(b)所示。

(1)求等效阻抗Zab。

(2)求开路电压。

故图6-13(a)所示有源二端网络的戴维宁等效电路如图

6-13(c)所示。

例6-4如图6-14(a)所示电路，已知，ω=2rad/s，L1=8H，L2=6H，L3=10H，M12=4H，M23=5H。求端口a、b以左的等效戴维宁电路。图6-14例6-4图

解首先对图6-14(a)所示电路中三端连接的耦合电感两两去耦等效，等效电路如图6-14(b)所示，其中由图6-14(b)得其开路电压

等效阻抗

故得图6-14(a)所示有源二端网络的戴维宁等效电路如图6-14(c)所示。

例6-5在图6-15所示电路中，已知R1=R2=20Ω，L1=

30mH，L2=20mH，M=10mH，iS1=80cos(103t-45°)mA，iS2=44.5cos(103t-45°)mA。试求电流i。图6-15例6-5图

解首先作图6-15(a)所示电路的相量模型，并将并联电流源iS1、iS2用一个电流源等效替代，如图(b)所示，对图(b)进一步等效得图(c)，由图(c)得故电流

6.3空芯变压器电路分析

具有互感耦合作用的耦合线圈在工程上有多种用途，变压器就是利用耦合线圈间的磁耦合来实现从一个电路向另一个电路传输能量或信号的器件。它通常由两个线圈组成，其中一个线圈与电源相接，称为初级线圈或原边线圈；另一线圈与负载相接，称为次级线圈或副边线圈。初次级线圈间只有磁的耦合而没有电的直接联系，这种电路称为变压器耦合电路。若变压器的线圈绕在铁芯材料上，则构成铁芯变压器；若绕在非铁磁材料上，则构成空芯变压器。前者的耦合系数接近1，属于紧耦合；后者线圈间的耦合系数较小，属于松耦合。本节只介绍含空芯变压器电路的正弦稳态分析。

图6-16(a)是最简的空芯变压器电路的相量模型，虚线框内为空芯变压器的相量模型。它由一个互感元件与两个电阻组成，其中R1和R2分别表示原边线圈和副边线圈绕线的电阻；L1和L2分别表示原边线圈和副边线圈绕线的自感；M表示原边线圈和副边线圈间的互感。

图6-16空芯变压器(a)相量模型；(b)受控源等效电路；(c)初级等效电路在正弦稳态下，设初、次级回路电流相量分别为、

，如图6-16(a)所示。若将互感电压用受控源等效替代，则图6-16(a)可等效为图6-16(b)所示电路，由此可列得回路间的KVL方程为(6-16)若令Z11=R1+jωL1，Z22=R2+jωL2+ZL分别表示初、次级回路的自阻抗，则方程组(6-16)可简写为

(6-17)由此可解得

(6-18)

由式(6-18)可得初级回路从a、b端看入的等效阻抗为

(6-19)式(6-19)表明，等效阻抗Zi由两部分组成：一部分为初级回路自阻抗Z11；另一部分称为次级回路对初级回路的反映阻抗或引入阻抗，它是一个取决于互感及次级回路参数的阻抗，它反映了次级回路通过磁耦合对初级回路所产生的影响。当时，Zi=Z11。利用反映阻抗的概念，空芯变压器从电源看入的等效电路如图6-16(c)所示，该电路称为初级等效电路。由该等效电路可方便地计算出初级回路电流。求得初级回路电流后，由图6-16(b)可得次级回路的回路电流为

(6-20)

当然式(6-20)还可以由方程(6-17)的第二式得到。

此外，对于空芯变压器电路也可用上节介绍的去耦等效的方法进行分析。因为在图6-17(a)所示的空芯变压器电路中，若将b和d两点相连，由于该连线上无电流流过，故对原电路并无影响，此时空芯变压器就变成了三端连接的耦合电感，通过去耦等效得图6-17(b)所示的等效电路，对该电路用正弦稳态电路的分析方法即可求解。图6-17空芯变压器电路的去耦等效电路

例6-6已知空芯变压器电路如图6-18(a)所示。试求初、次级回路电流及。

解解法一：利用反映阻抗的概念求解。

由图6-18(a)所示电路可得

次级对初级的反映阻抗为图6-18例6-6图则可得初级等效电路如图6-18(b)所示，由该图可得

由图6-18(a)进一步求解可得解法二：利用去耦等效的方法求解。

图6-18(a)所示电路的去耦等效电路如图6-18(c)所示，由该图可得6.4理想变压器

6.4.1理想变压器的伏安关系

理想变压器也是一种耦合元件，它是实际变压器在满足以下三个理想化条件下的电路模型：

(1)变压器本身无损耗，即其电阻效应为零；

(2)耦合系数K=1，即为全耦合；

(3)线圈的自感系数L1和L2均为无限大，且L1/L2等于常数，互感系数也为无限大。对于理想变压器，我们一般用图6-19所示电路符号表示。

图6-19理想变压器在图6-19(a)所示同名端及电压、电流参考方向下，理想变压器的伏安关系为

(6-21)

式中，n是常数，称为理想变压器的变比，数值上等于理想变压器初、次线圈的匝数比，即，它是理想变压器唯一的参数。若将图10-19(a)所示理想变压器的同名端改为图10-20(b)所示，则此时所对应的理想变压器的伏安关系为

(6-22)由式(6-21)和式(6-22)可以看出，理想变压器的伏安关系与线圈电压、电流参考方向及同名端位置有关。为了正确列写理想变压器的伏安关系，在给定电压、电流参考方向及同名端的情况下，具体可按以下规则列写：当理想变压器初、次级线圈电压正极为同名端时，初、次级电压比等于匝数比，否则为负值；当初、次级电流从异名端流入时，初、次级电流比等于匝数比的倒数，否则为倒数的负值。另外可以看到，式(6-21)和式(6-22)均为代数关系式，可见，理想变压器是一种无记忆元件，也称即时元件。它具有按式(6-21)或式(6-22)变换电压、电流的能力，不论电压、电流是直流还是交流，电路是暂态还是稳态，都没有电感或耦合电感元件的作用。

由理想变压器的VCR，理想变压器电路模型还可以表示成图6-20(a)和(b)所示的受控源形式。图6-20用受控源表示的理想变压器接下来讨论理想变压器的功率问题。在任一时刻理想变压器所吸收的瞬时功率应为其两端口吸收的瞬时功率之和，对应于图6-19和图6-20有

(6-23)式(6-23)表示理想变压器吸收的瞬时功率为零，它表明理想变压器是一个既不耗能也不储能的元件。若把式(6-23)改写成

p1=－p2

即

u1i1=－u2i2

可以看出理想变压器的输入瞬时功率等于输出瞬时功率，可见其在电路中只起着传递能量的“桥梁”作用。显然，在正弦稳态条件下，式(6-21)和式(6-22)所述理想变压器的伏安关系都可以表示为以下相应的相量形式:

(6-24)6.4.2理想变压器伏安关系的推导

前面我们介绍了理想变压器的的伏安关系。显然理想变压器可看成耦合电感的极限情况。当耦合电感满足耦合系数k=1，且L1，L2→∞，但为定值时，即成为理想变压器。下面由耦合电感的伏安关系着手推导理想变压器的伏安关系式。图6-21全耦合对于图6-21所示耦合电感，由于是全耦合的，即k=1，故其中一个线圈电流产生的磁通将全部与另一个线圈相铰链，而不存在漏磁通。假设初、次级线圈的匝数分别为N1、N2，Φ11表示初级线圈电流i1产生的全部磁通，Φ21表示i1产生并与次级线圈相交链的磁通；Φ22表示次级线圈电流i2产生的全部磁通，Φ12表示i2产生并与初级线圈相交链的磁通，显然，Φ11=Φ21，Φ22=Φ12。故有两线圈的总磁链分别为

(6-25)式中，Φ=Φ11+Φ22称为主磁通，它的变化将在初、次级线圈分别产生感应电压u1、u2，在图示参考方向下，有

所以

(6-26)式(6-26)表明，在全耦合的情况下，耦合电感初、次级电压比等于初、次级线圈的匝数比。这就导出了式(6-21)的第一式。

又由耦合电感的伏安关系知，图6-21所示电路的伏安关系为

(6-27)对式(6-27)中的第一式从－∞到t积分，则有

(6-28)由于当k=1时，将Φ11=Φ21，Φ22=Φ12代入上式，因此有

(6-29)

将式(6-29)代入式(6-28)得

(6-30)当自感系数L1→∞，即满足理想化的第三个条件时，得

(6-31)

式(6-31)表明，当k=1，L1→∞时，耦合电感初、次级电流比等于初、次级线圈的匝数比倒数的示值。这就导出了式(6-21)中的第二式。

以上我们由耦合电感的伏安关系导出了理想变压器的伏安关系式。由于理想变压器的伏安关系是一组代数方程，因此理想变压器是一个即时元件、无记忆元件，即在任何时刻，理想变压器两对端子上的电流或电压必同时存在或同时消失，不管该电流、电压是直流还是交流，电路是暂态还是稳态，其初、次电压比和初、次电流比只与变比n有关。6.4.3理想变压器阻抗变换特性

理想变压器具有三个基本特性：电压变换、电流变换及阻抗变换。

前面我们介绍了理想变压器对电压、电流的变换特性，本小节我们将介绍理想变压器的另一个特性——阻抗变换的特性。

图6-22(a)所示理想变压器在次级并接阻抗ZL，此时有

(6-32)图6-22并接阻抗从次级搬移至初级由式(6-32)可得图6-22(b)所示等效电路。当时，图6-22(b)所示电路可等效为图6-22(c)所示等效电路。由图6-22可以看出，将与理想变压器次级并接的阻抗搬移至理想变压器的初级，阻抗将扩大n2倍且仍与理想变压器并接。

由类似推导可得，将与理想变压器初级相串接的阻抗ZL搬移至理想变压器的次级，阻抗将缩小n2倍且仍与理想变压器串接，如图6-23所示。图6-23串接阻抗从初级搬移至次级上述“搬移”阻抗的方法还可以进一步推广：

(1)与理想变压器初级相连的二端口纯阻抗网络可以从初级搬移到次级(且仍与理想变压器相连)，且搬移的过程是一平移平插过程，同时在搬移过程中阻抗缩小n2倍，如图6-24所示。图6-24二端口纯阻抗网络从初级搬移到次级

(2)与理想变压器次级相连的二端口纯阻抗网络可以从次级搬移到初级(且仍与理想变压器相连)，且搬移的过程是一平移平插过程，同时在搬移过程中阻抗扩大n2倍，如图6-25所示。图6-25二端口纯阻抗网络从次级搬移到初级可见，利用理想变压器变换阻抗的特性可以将与理想变压器相连的阻抗在其初级与次级之间来回搬移，且有如下特点：

(1)阻抗来回搬移与同名端无关；

(2)利用阻抗搬移可以简化电路；

(3)理想变压器具有以n2倍关系变换阻抗的作用，当阻抗从次级搬移到初级时要扩大n2倍，当阻抗从初级搬移到次级时要缩小n2倍；

(4)由于n为大于零的实常数，故阻抗在初、次级之间来回搬移过程中其性质不变；

(5)理想变压器次级短路相当于其初级也短路；

(6)理想变压器次级开路相当于其初级也开路。

在实际电路中常利用变压器的阻抗变换特性来实现阻抗匹配，以达到最大功率传输。6.4.4含理想变压器电路的分析计算

含理想变压器电路的分析计算方法有三种：

(1)直接法，即直接利用理想变压器的伏安关系列方程求解；

(2)利用理想变压器的电压变换、电流变换及阻抗变换特性求解；

(3)等效电源定理法。

例6-7试求图6-26所示电路中流过4Ω电阻的电流。

解本题利用直接法求解。设各支路电流相量及理想变压器初次级电压相量的参考方向如图6-26所示，则可列回路方程如下：图6-26例6-7图解联立方程得

则通过4Ω电阻的电流为

例6-8含理想变压器电路如图6-27(a)所示。试求电

压。

解利用理想变压器的阻抗变换特性，将图6-27(a)所示电路的次级阻抗搬移到初级，得图6-27(b)所示等效电路，由该电路可得

由理想变压器的电压变换特性，可得图6-27例6-8图

例6-9含理想变压器电路如图10-28(a)所示，已知R1=R2=2Ω，R3=10Ω，L=2H，uS(t)=ε(t)V。试求uab(t)。

解首先根据戴维宁定理将图6-28(a)所示电路a、b以左含理想变压器的有源二端网络等效为戴维宁等效电路，如图6-28(b)所示，其中

uOC=2uS(t)=2ε(t)V

R0=4R1+R2=10Ω对于图6-28(b)，由直流激励下的三要素公式，得

iL(0+)=iL(0－)=0A

代入三要素公式，得

uab(t)=(1+e－10t)ε(t)V图6-28例6-9图由第5章可知，在正弦稳态电路中，负载阻抗必须与信源内阻抗达到共轭匹配时，负载才能获得最大功率。但在实际电路中负载往往和信源一样也是给定的，并非任意可调。在这种情况下，为了使负载获得尽可能大的功率，可通过理想变压器来实现匹配。如图6-29(a)所示电路，其中理想变压器的变比是可调的。利用理想变压器的阻抗变换特性，将负载阻抗折合到初级，得图6-29(b)所示电路。由于理想变压器的变比n为大于零的实常数，故要改变n，只能改变负载阻抗的模而不能改变其阻抗角，所以一般无法达到共轭匹配。图6-29理想变压器实现功率匹配对于图6-29(b)所示电路，设

则有

其电流有效值为此时获得的功率为

要使P达到最大，必须有

可求得即当时可获得最大功率。由于此时不是共轭匹配，而是负载阻抗的模与信源内阻抗的模相等，故将此使负载获得最大功率的方法称为模匹配法。可以证明此时负载获得的功率一般要比共轭匹配时的功率小。

又由于理想变压器在传递能量的过程中本身既不消耗能量，也不储存能量，所以当图6-29(b)中等效阻抗ZL′获得最大功率时，图6-29(a)中负载阻抗ZL也获得最大功率。

综上所述，利用理想变压器的阻抗变换特性使负载获得最大功率，一般只能实现模匹配。

例6-10已知电路如图6-30(a)所示。为了使负载电阻RL获得最大功率，则理想变压器的匝数比n应为多少？负载电阻RL获得的最大功率为多少？

解利用理想变压器的变换阻抗作用，原电路可等效为图6-30(b)所示电路。由于n为实常数，故与Z0=1∥(－j1)不可能达到共轭匹配，只能实现模匹配。即

因此

n=3.76图6-30例6-10图此时

故负载获得的最大功率为

6.5一般变压器

从前面的介绍我们知道理想变压器只是一种理想情况，一般变压器不满足理想变压器条件，它的耦合系数达不到1，初、次级电感不会是无穷大，而且损耗是不可避免的。因此，实际变压器模型必须在理想变压器模型的基础上加以修正。本节首先在理想变压器模型基础上推出当k=1，但L不满足无限大的全耦合变压器模型，然后再进一步推出一般变压器模型。6.5.1全耦合变压器模型

所谓全耦合变压器，即指变压器无损耗，耦合系数k=1，且电感量为有限值的变压器。设全耦合变压器的电耦合电感模型如图6-31(a)所示，则根据6.4.2小节对理想变压器伏安关系的推导，可得图6-31(a)所示全耦合变压器的伏安关系满足

(6-33)

(6-34)图6-31全耦合变压器(a)全耦合变压器耦合电感模型；(b)全耦合变压器电路模型式(6-33)和式(6-34)表明：全耦合变压器的初、次级电压关系与理想变压器相同；而其初级电流则由两部分组成，其中

是电感电流，与次级电流i2符合理想变压器初次级电流关系。由此可得全耦合变压器的电路模型如图6-31(b)所示，它由理想变压器模型在其初级线圈并联电感L1而构成，且其中理想变压器的变比。该电路模型与图6-31(a)所示模型等效。全耦合变压器的初级电流常称为空载电流，是次级开路时(即i2=0，空载)流经初级线圈的电流。该电流使变压器铁芯内产生磁链，并感应与电源电压相平衡的电压u1，故又称为激磁电流。而L1称为激磁电感。显然，L1越大，建立相同磁链所需要的激磁电流就越小，当L1→∞时，→0，，全耦合变压器就变成了理想变压器。6.5.2一般变压器模型

对于一般变压器，由于其电感L1与L2不仅不为无限大，而且耦合系数k也小于1，因此磁通除了有一部分与两个线圈相交链外，还有一小部分磁通只与一个线圈交链。如图6-32所示变压器的线圈Ⅰ中电流i1产生的磁通Φ11和线圈Ⅱ中电流i2产生的磁通Φ22中的大部分Φ12和Φ21与相邻线圈相交链，称这部分磁通为互磁通或主磁通，用Φ0表示，另外有一小部分磁通仅与自身线圈相交链，称为漏磁通，用ΦS1和ΦS2表示。图6-32主磁通与漏磁通对于线圈Ⅰ有

(6-35a)

或

LS1=L1－nM

(6-35b)

式中具有电感的量纲，按照电感的定义，称它为线圈Ⅰ的漏电感。同理，对线圈Ⅱ有

(6-36a)

或

(6-36b)

式中，称为线圈Ⅱ的漏电感。式(6-35)和式(6-36)表明，一般变压器的初、次级线圈的电感L1与L2可分别看成电感LS1和nM、LS2和串连而成。其中，LS1与LS2分别反映本线圈漏磁通的作用，彼此之间没有互感；而初次级线圈的另一部分电感nM和则反映了两线圈的互磁通的作用，因而它们是理想的全耦合。因此，耦合系数小于1的一般变压器模型可以用全耦合变压器在其初、次级回路各自串联漏电感的模型等效，如图6-33所示。图6-33抽出漏电感的等效电路其中全耦合变压器的变比为

对于铁芯变压器有，且LS1与LS2很小，因此可认为

故将图6-33与图6-31(b)相对比，得一般变压器等效电路模型如图6-34所示。图6-34无损变压器模型若考虑耦合线圈本身的损耗，则还应在图6-34所示模型的初、次级回路中串联电阻R1及R2，于是得到比较完整的一般变压器模型如图6-35所示。

对于铁芯变压器，由于铁磁材料B-H曲线的非