《电路与信号分析》课件第3章

3.1支路分析法3.2网孔分析法3.3节点分析法3.4叠加定理与齐次性定理3.5替代定理3.6戴维宁定理和诺顿定理3.7互易定理3.8电路的对偶特性与对偶电路习题3第3章线性网络的一般分析方法3.1支路分析法

支路分析法是直接以支路电流或支路电压作为电路变量，应用两类约束关系，列出与支路数相等的独立方程，先解得支路电流或支路电压，进而求得电路响应的电路分析方法。在支路分析法中，若选支路电流为电路变量，则称为支路电流法；若选支路电压为电路变量，则称为支路电压法。本节以支路电流法为例来介绍支路分析法。

已知如图3-1所示的有4个节点、6条支路的电路，设各支路电流的参考方向如图中所示。由于电路有6条支路，故有6个支路电流变量，为解出这6个电路变量需利用KCL、KVL建立6个以支路电流为变量的独立方程。图3-1支路分析法示例首先，对于电路的各节点建立KCL方程

(3-1)上述4个方程是不独立的，其中任意一个方程等于其余3个方程取负相加，但若去掉4个方程中的任一个，则剩余的每一个方程含有一个其余两个方程所没有的支路电流变量。以选节点A、B和C的KCL方程为例，i4、i5和i6分别为各方程所独有的支路电流变量，因此是一组独立方程。通常将独立KCL方程所对应的节点称为独立节点，删去方程所对应节点称为非独立节点或参考节点。因此对于图3-1所示的具有4个节点的电路，其独立节点数和独立的KCL方程数为4-1=3。

将上述结论加以推广：对于具有n个节点的电路，其独立节点数和独立的KCL方程数为n－1。当然选哪些节点作为独立节点，原则上是任意的。其次，对图3-1所示电路中的每个回路列KVL方程，电路有7个回路，故可得7个KVL方程:(3-2)显然上述7个方程是不独立的，其中后4个方程可由前3个方程导出，而前3个方程(即该电路的3个网孔的KVL方程)由于分别独立含有i1、i2和i3支路电流变量，因此这3个方程是独立的。通常将独立的KVL方程所对应的回路称为独立回路。因此对于图3-1所示的具有4个节点、6条支路的电路，其独立回路数和独立的KVL方程数为6－(4－1)=3，且独立的KVL方程数正好等于该电路网孔回路的个数。将上述情况推广至一般可得到两个结论：

(1)对于具有n个节点、b条支路的连通网络，其独立回路数和独立的KVL方程数为L=b－(n－1)。

(2)对于平面网络而言，网孔数恰好等于独立回路数，并且网孔就是独立回路，根据网孔列出的KVL方程是独立的。如图3-1所示电路有3个网孔对应3个独立回路，按网孔列出的KVL方程即为独立方程。综上所述，一个具有n个节点、b条支路的连通网络，有

(n－1)个独立节点，可列出(n－1)个独立的KCL方程；有L=b－(n－1)个独立回路，可列出L=b－(n－1)个独立的KVL方程。因此可列出的独立方程总数为(n－1)+［b－(n－1)］=b，这恰好等于待求的支路电流数，联立求解这b个方程就可求得各支路电流。由以上分析可归纳出用支路电流法分析电路的步骤：

(1)确定各支路电流的参考方向；

(2)对独立节点列出n－1个独立的KCL方程；

(3)选b－(n－1)个独立回路(对于平面网络，通常取网孔为独立回路)，对独立回路列出b－(n－1)个以支路电流为变量的KVL方程；

(4)联立求解上述b个独立方程，解得各支路电流，并以此求出其它响应。

例3-1在图3-2所示电路中，试用支路电流法求出各支路电流和支路电压uAB。

解设各支路电流的参考方向如图所示。由于电路的节点数n=2，故其独立节点数为2－1=1，若选A为独立节点，则由KCL得

i1+i2+i3=0

由于电路为平面网络，故可选网孔为独立回路，根据KVL得

网孔Ⅰ：－5+4i1－5i3+1=0

网孔Ⅱ：－10i2+2－1+5i3=0图3-2例3-1图联立KCL和KVL方程，可解得

i1=0.5A,

i2=－0.5A,

i3=－0.4A

进一步求解得uAB=－5i3+1=－5×(－0.4)+1=3V

支路电压法与支路电流法类似，由于支路电压法以支路电压为变量，因此独立的KCL方程中的各支路电流均应利用支路的VCR用支路电压表示，然后连同支路电压的独立KVL方程，可得到以支路电压为变量的b个独立方程，联立求解即可得各支路电压，进一步求解可得其它响应。

3.2网孔分析法

前面我们介绍了支路分析法。支路分析法的优点是对未知支路电流或支路电压可直接求解，缺点是需联立求解的方程数目较多，且方程的列写无规律可循。因此，我们希望适当选择一组电压或电流变量，这组变量数必须最少，从而使得相应所需联立求解的独立方程数目最少，同时电路中所有的支路电压、电流变量都能很容易地用这些变量来表示，进而可求出电路中的其他响应。由线性代数知识可知，满足此要求的变量必须是一组独立的、完备的变量。“独立的”指这组变量之间无线性关系。具体而言，即若是一组独立的电流变量，则各电流变量之间不受KCL约束；若是一组独立的电压变量，则各电压变量之间不受KVL约束。“完备的”指只要这组变量求出后，电路中其他变量都能用这组变量表示。网孔电流便是这样的一组电流变量。

网孔分析法是以网孔电流为电路变量，直接列写网孔的KVL方程，先解得网孔电流，进而求得响应的一种平面网络的分析方法。3.2.1网孔电流

1.网孔电流的定义

所谓网孔电流(MeshCurrent)，是指平面网络中沿着网孔边界流动的假想电流，如图3-3所示的im1、im2和im3。对于有n个节点，b条支路的平面网络，有m=b－(n－1)个网孔，因而有m个网孔电流。图3-3网孔分析法示例

2.网孔电流的完备性和独立性

1)完备性

对于图3-3所示的平面网络，假设各支路电流的参考方向如图中所示，则支路电流与网孔电流有以下关系：

(3-3)

可见，所有的支路电流都能用网孔电流表示，网孔电流一旦求得，所有支路电流也随之求得，进一步求解可求得电路中其他响应。所以网孔电流是一组完备的电流变量。

2)独立性

由于每一网孔电流流经某节点时，从该节点流入又流出，在KCL方程中彼此相消，如图3-3中节点A的KCL方程为

－i1－i2－i4=0

将式(3-3)代入上式，得到网孔电流表示的KCL方程为

－(－im1)－im2－(im1－im2)=0

上式恒为零，对于其他节点也有类似的结果。故网孔电流不受KCL约束，具有独立性，是一组独立且完备的电流变量。3.2.2网孔方程

为了求出m个网孔电流，必须建立m个以网孔电流为变量的独立方程。由于网孔电流不受KCL约束，因此只能根据KVL和VCR列方程。由3.1节知，网孔是独立回路，故对各网孔列的KVL方程是一组独立的KVL方程。若将KVL方程中的各支路电压用网孔电流表示，则可得到m个以网孔电流为变量的独立方程，该组方程称为网孔方程。联立解网孔方程，即可求得网孔电流。下面以图3-3为例来说明网孔方程的建立方法。设各网孔电流的参考方向均为顺时针方向，则可得各网孔的KVL方程为

(3-4)将式(3-3)代入式(3-4)并整理，得

(3-5)

上述方程就是图3-3所示电路的网孔方程。联立求解网孔方程，可得网孔电流im1、im2和im3。为了找出系统化地列写网孔方程的方法，现将式(3-5)改写成如下的一般形式：

(3-6)式中，方程左边主对角线上各项的系数

R11=R1+R4+R6,

R22=R2+R4+R5,

R33=R3+R5+R6

分别为网孔Ⅰ、网孔Ⅱ和网孔Ⅲ所含支路的电阻之和，称为自电阻；方程左边非对角线上各项的系数

R12=R21=－R4,

R13=R31=－R6,

R23=R32=－R5分别为网孔Ⅰ与网孔Ⅱ、网孔Ⅰ与网孔Ⅲ和网孔Ⅱ与网孔Ⅲ公共支路上的电阻，称为互电阻，当各网孔电流均取顺时针方向或均取逆时针方向时，其值为对应两网孔公共支路电阻的负值；方程右边各项

uSm1=uS1－uS6,

uSm2=uS5,

uSm3=uS6－uS3

分别为各网孔中沿网孔电流方向电压源电压升的代数和。由以上分析，可得从网络直接列写到网孔方程的规则为

自电阻×本网孔的网孔电流+∑互电阻

×相邻网孔的网孔电流

=∑本网孔中沿着网孔电流方向所含电压源电压升

对于具有n个网孔的网络，其网孔方程的一般形式可表示为

(3-7)3.2.3网孔分析法的一般步骤

综上所述，用网孔分析法分析电路的一般步骤如下：

(1)设定网孔电流的参考方向(通常网孔电流同时取顺时针方向或同时取逆时针方向)；

(2)按直接列写规则列写网孔方程；

(3)解网孔方程求得网孔电流；

(4)进一步由网孔电流求得所求响应。3.2.4网孔分析法在电路分析中的应用

下面举例说明网孔分析法在电路分析中的应用。

1.含独立电压源网络的网孔分析

例3-2试用网孔分析法求图3-4所示电路中的电流i1和i2。

解该电路有三个网孔，设三个网孔的网孔电流im1、im2、im3的参考方向如图3-4所示。利用网孔方程的直接列写规则，得三个网孔的网孔方程为

网孔Ⅰ：(2+1+1)im1－2im2－im3=2+4

网孔Ⅱ：－2im1+(2+2+2)im2－2im3=0

网孔Ⅲ：－im1－2im2+(1+1+2)im3=8－4图3-4例3-2图将以上三个方程联立，可解得

im1=3.2A,

im2=2A,

im3=2.8A

进一步求解得

i1=im3=2.8A,

i2=im1－im2=1.2A

2.含独立电流源网络的网孔分析

在用网孔分析法分析含有独立电流源的网络，建立网孔方程时，由于电流源两端的电压不能直接用网孔电流表示，故在列网孔方程时应根据电流源出现的形式不同分别进行如下处理：

(1)电路中若含有有伴电流源(电流源与电阻并联)，则可利用诺顿电路与戴维宁电路的等效转换，先将诺顿电路等效为戴维宁电路，再列网孔方程。

(2)若电路中含有无伴电流源(不与电阻并联的电流源)，且该无伴电流源为某一网孔所独有，则与其关联网孔的网孔电流若参考方向与电流源方向一致，即等于该电流源的电流，否则为其负值，同时该网孔的网孔方程可省去。

(3)若电路中含有无伴电流源，且该无伴电流源为两个网孔所共有，则可将该电流源看做电压源，设其两端电压为未知量，再按列写网孔方程的一般规则写网孔方程，同时应增加用网孔电流表示该电流源电流的辅助方程。

例3-3已知电路如图3-5所示。试用网孔分析法求电压u。

解该电路有三个网孔，设三个网孔的网孔电流im1、im2、im3的参考方向如图3-5所示。由于无伴电流源3A为网孔Ⅰ所独有，且im1的方向与3A的参考方向一致，故im1=3A，相应网孔Ⅰ的网孔方程可省去。而电流源1A为两个网孔所公有，故将其两端电压设为ux，在列网孔方程时，将其视为电压为ux的电压源来处理。图3-5例3-3图图示电路的网孔方程为

网孔Ⅰ：im1=3A

网孔Ⅱ：－20im1+(20+30)im2=ux

网孔Ⅲ：－10im1+(20+10)im3=－ux

辅助方程：im3－im2=1A

将以上四个方程联立求解，得

im1=1A,

im2=0.5A,

im3=1.5A

进一步由元件的VCR得

u=10×(3－1.5)=15V

3.含受控源网络的网孔分析

用网孔分析法分析含有受控源的电路，在列网孔方程时，可先把受控源作为独立电源看待，列写网孔方程，最后再增加用网孔电流表示控制量的辅助方程。

例3-4试列写图3-6所示电路的网孔方程。

解设电路中各网孔电流如图所示。电路中含有受控源，列方程时将其看做独立源来处理，则列出该电路网孔方程为

网孔Ⅰ：(2+8+3)im1－3im2－8im3=5－10

网孔Ⅱ：－3im1+(3+7+5)im2－7im3=10

网孔Ⅲ：－8im1+7im2+(7+8+4)im3=－4u1

辅助方程：u1=3×(im1－im2)

最后必须指出，由于只有平面网络才有网孔的概念，因此网孔分析法只适用于平面网络。图3-6例3-4图

3.3节点分析法

节点分析法就是以节点电压为电路变量，直接列写独立节点的KCL方程，先解得节点电压，再求得其它响应的一种网络的分析方法。3.3.1节点电压

1.节点电压的定义

所谓节点电压(NodeVoltage)，是指在网络中任选一点作为参考节点，其余节点与参考节点之间的电位差。习惯上节点电压的参考极性均以参考节点为负极，且参考节点用符号“⊥”表示。参考节点的电位一般设为零。显然，对于具有n个节点的电路，去掉一个参考节点，有n－1个节点电压。以图3-7所示电路为例，它有4个节点，若选节点4为参考节点，则其余3个节点对参考节点的电压分别为un1、un2和un3。图3-7节点分析法示例

2.节点电压的完备性与独立性

1)完备性

由于电路中任一支路都连接在两个节点上，根据KVL，不难断定支路电压就是两个节点电压之差。如图3-7所示电路，若选节点4为参考节点，则节点1、2和3的节点电压分别为un1、un2及un3。设各支路电流的参考方向如图中所示，且各支路电压、电流选择关联参考，则各支路电压与节点电压具有如下关系：

可见，所有支路电压都能用节点电压表示，节点电压一旦求得，所有支路电压也随之求得，进一步求解可求得电路中其他响应。所以节点电压是一组完备的电压变量。

2)独立性

由于节点电压是节点与参考节点之间的电位差，仅仅由节点电压不能构成闭合回路，如图3-7所示，因此各节点电压不受KVL约束，具有独立性，是一组独立的电压变量。

综上所述，节点电压是一组独立且完备的电压变量。3.3.2节点方程

为了求出n－1个节点电压，必须建立n－1个以节点电压为变量的独立方程。由于节点电压不受KVL约束，因此只能根据KCL和VCR列方程。由3.1节介绍已知，对于n个节点的网络，去掉一个参考节点，剩下的n－1个节点即为独立节点，对各独立节点所列的n－1个KCL方程为一组独立的KCL方程。若将KCL方程中的各支路电流用节点电压表示，则可得到n－1个以节点电压为变量的KCL方程，该组方程即称为节点方程。联立解节点方程，即可求得节点电压。下面以图3-7为例来说明节点方程的建立方法。设节点4为参考节点，则可得独立节点1、节点2和节点3的KCL方程为

(3-8)将式(3-8)各支路电流用节点电压表示，得到

(3-9)将式(3-9)代入式(3-8)并整理，得

(3-10)上述方程组是对图3-7每个独立节点所列的以节点电压为变量的KCL方程，称为图3-7的节点方程。联立求解节点方程，可得节点电压un1、un2及un3。为了找出列写节点方程的一般规律，将式(3-10)改为如下一般形式:

(3-11)式中，方程左边主对角线上各项的系数

G11=G1+G4,

G22=G2+G4+G5,

G33=G3+G5

分别为与节点1、2、3相连的所有支路的电导之和，称为节点1、2、3的自电导；方程左边非对角线上的各项系数

G12=G21=－G4,

G13=G31=0,

G23=G32=－G5

分别为节点1与节点2、节点1与节点3、节点2与节点3公共支路上电导之和的负值，称为互电导(注：此处由于节点1和节点3之间没有相连的电导支路，故G13=G31=0)；方程右边iS11、iS22、iS33分别代表流入节点1、2、3的所有电流源电流的代数和，如iS11=iS1－iS3。由以上分析，可得由网络直接列写节点方程的规则为

自电导×本节点的节点电压+∑互电导

×相邻节点的节点电压

=∑流入本节点的电流源电流将式(3-11)节点方程的一般形式进一步推广，则有对于具有n个节点的网络，其节点方程的一般形式可表示为

(3-12)3.3.3节点分析法的一般步骤

综上所述，用节点分析法分析电路的一般步骤如下：

(1)选定参考节点，标注节点电压；

(2)对各独立节点按节点方程的直接列写规则列写节点方程；

(3)解方程求得节点电压；

(4)由节点电压求所求响应。3.3.4节点分析法在电路分析中的应用

下面举例说明节点分析法在电路分析中的应用。

1.含独立电流源网络的节点分析

例3-5用节点分析法求图3-8所示电路电压u。

解选节点3为参考节点，标以接地符号“⊥”，设其余两个独立节点1、2的节点电压分别为un1、un2，如图3-8所示。图3-8例3-5图则由节点方程的直接列写规则得如下节点方程:联立求解得

un1=21V

un2=35V

故

u=un1－un2=－14V

2.含独立电压源网络的节点分析

在用节点分析法分析含有独立电压源的网络，建立节点方程时，由于流过电压源的电流不能直接用节点电压表示，因此应根据电压源在网络中出现的形式不同，在列节点方程时应分别进行如下处理：

(1)若电压源以戴维宁电路形式出现，则可利用戴维宁电路与诺顿电路的等效转换，先将戴维宁电路等效为诺顿电路，再列节点方程。

(2)若电压源是无伴的(电压源不与电阻串联)，则在选参考节点时可将该电压源的一端所连节点选为参考节点，其另一端所连节点的节点电压就等于该电压源的电压或为其负值，相应该节点的节点方程可省去。

(3)若电压源是无伴的，且在选参考节点时该电压源两端所连节点均不能选为参考节点，则在列节点方程时，首先将该电压源看做电流源，设流过该电压源的电流为ix，再按直接列写法列写节点方程，最后列写用节点电压表示电压源电压的辅助方程。

例3-6已知电路如图3-9所示。试用节点分析法求电流i。

解首先选10V无伴电压源“-”极所连节点4为参考节点，如图3-9所示，则10V电压源“＋”极所连节点1的节点电压为un1=10V，同时该节点的节点方程可省去。而无伴电压源5V的两端均不与参考节点相连，故在列写节点方程时，将其看成电流为ix的电流源来处理，且其电流参考方向如图3-9所示。图3-9例3-6图则图示电路的节点方程为由于三个方程有4个未知量，故再增加一辅助方程

un2－un3=5

联立求解得

un1=10V,

un2=10V,

un3=5V

故可得

3.含受控源网络的节点分析

在用节点分析法分析含有受控源的电路，建立节点方程时，可先将受控源作为独立源看待列写节点方程，最后再增加用节点电压表示控制量的辅助方程。

例3-7已知电路如图3-10所示。试用节点分析法求i1、i2。

解选节点3为参考节点，如图3-10所示。电路中含有受控电流源，列方程时将其看做独立源来处理，则可列得该电路的节点方程为图3-10例3-7图联立求解得节点电压

un1=1.6V,

un2=－0.8V

故

节点分析法既适用于平面网络，也适用于非平面网络，故应用广泛。

3.4叠加定理与齐次性定理

由独立源和线性元件组成的电路称为线性电路。线性电路满足齐次性和可加性，齐次性定理和叠加定理所表达的就是线性电路的这一基本性质。这种基本性质在线性电阻电路中表现为电路的激励和响应之间具有线性关系。3.4.1叠加定理

叠加定理可表述为：对于具有唯一解的线性电路，如果有多个独立源同时作用，则电路中任一响应(电流或电压)等于各独立源单独作用(其它独立源置零)时在该处所产生的分响应(电流或电压)的代数和。

下面首先利用图3-11所示电路说明叠加定理。图3-11叠加定理示意图图3-11(a)所示电路含有两个独立电流源，图3-11(b)、(c)分别给出了独立电流源单独作用时的电路。对于图3-11(a)所示电路，由节点分析法可得节点电压U1、U2与激励之间关系方程为联立求解上面方程，得节点电压U1

(3-13)

由图3-11(b)所示电路可得电流源IS1单独作用时的节点电

压U

1′

(3-14)由图3-11(c)所示电路可得电流源IS2单独作用时的节点电

压U

1″

(3-15)

显然，式(3-14)、式(3-15)分别是式(3-13)等式右边的第一项和第二项。可见，由两个电流源共同作用所产生的节点电压等于每个电流源单独作用时在该节点上产生的电压的代数和。叠加定理可以用网孔分析法或节点分析法获得证明，此处从略。

叠加定理说明了线性网络的可加性这一性质，这种性质在线性电路的分析中起着重要的作用，它是分析线性电路的基础。在应用叠加定理时应注意以下几点：

(1)叠加定理适用于线性网络，不适用于非线性网络；

(2)应用叠加定理计算某一激励单独作用的分响应时，其他激励置零，即独立电压源短路，独立电流源开路，电路其余结构都不改变；

(3)任一激励单独作用时，该电源的内阻、受控源均应保留；

(4)受控源不能单独作用；

(5)由于叠加的结果为代数和，因此要考虑总响应与各个分响应的参考方向或参考极性，当分响应的参考方向与总响应的参考方向一致时，分响应取“+”号，否则取“-”号；

(6)叠加定理只适用于计算线性网络的电压和电流，不能用于功率和能量的计算，因为它们是电压或电流的二次函数。3.4.2齐次性定理

齐次性定理可表述为：在线性电阻电路中，若电路只有一个激励(独立电压源或独立电流源)作用，则电路中的任一响应(电压或电流)和激励成正比；若电路中含有多个激励，则当所有激励(独立电压源或独立电流源)都同时增大或缩小k倍时(k为任意实常数)，其响应也将相应增大或缩小k倍。用齐次性定理可以方便地分析梯形电路。齐次性定理可以方便地用叠加定理证明，这里不在赘述。

需要指出的是，齐次性定理与叠加定理是线性网络的两个相互独立的性质，不能用叠加定理代替齐次性定理，也不能片面认为齐次性定理是叠加定理的特例。3.4.3叠加定理和齐次性定理的应用

下面举例说明叠加定理和齐次性定理的应用。

例3-8试用叠加定理求图3-12(a)所示电路的响应u。

解利用叠加定理求图3-12(a)所示电路中电压，可分别先求出9A电流源单独作用(见图3-12(b))和24V电压源单独作用(见图3-12(c))时电路的分响应u′和u″，再叠加得到。图3-12例3-8图当9A电流源单独作用时，电压源不作用，应将其用短路替代，如图3-12(b)所示，由分流公式及元件伏安关系得

当24V电压源单独作用时，电流源不作用，应将其用开路替代，如图3-12(c)所示，由分流公式及元件伏安关系得

根据叠加定理得两电源共同作用时

u=u′+u″=15+8=23V

例3-9试用叠加定理计算图3-13(a)所示电路中电压u、电流i及2Ω电阻所吸收的功率。

解求图3-13(a)所示电路中10V电压源和5A电流源单独作用的分响应电路分别如图3-13(b)和图3-13(c)所示。在用叠加定理分析含受控源电路时应注意：叠加定理中说的只是独立源单独作用，受控源不能单独作为电路的激励；在求独立源单独作用的分响应时，受控源应和电阻一样，始终保留在电路内，其控制量和受控源之间的控制关系不变，只不过控制量不再是原电路中的变量，而变为分响应电路中的相应变量，如图3-13(b)和图3-13(c)所示。图3-13例3-9图当10V电压源单独作用时，电流源不作用，应将其用开路替代，而受控源保留且受控源的控制量为i′，如图3-13(b)所示，由基尔霍夫电压定律及元件伏安关系得

2i′+i′+2i′=10

故

i′=2A

u′=1×i′+2i′=6V当5A电流源单独作用时，电压源不作用，应将其用短路替代，而受控源保留且受控源的控制量为i″，如图3-13(c)所示，由基尔霍夫定律及元件伏安关系得

2i″+(5+i″)+2i″=0

故

i″=－1A

u″=(5+i″)+2i″=2V根据叠加定理得两电源同时作用时

u=u′+u″=6+2=8V

i=i′+i″=2－1=1A

p2Ω=i2×2=2W

在此应注意电阻的功率不能由叠加定理直接求得，因为功率与电流(电压)的二次函数有关，不是线性关系，一般不服从叠加定理。

例3-10在图3-14所示电路中，N0为线性电阻与受控源组成的网络，已知当uS=3V,iS=2A时，i2=0.3A；当uS=2V，

iS=1A时，i2=0A。求当uS=4V，iS=－3A时，u2为多少？

解由于N0内部不含有独立源，则电路只有两个激励uS、iS，根据线性网络的线性性质可得

i2=k1uS+k2iS图3-14例3-10图将已知条件代入上式，有

所以当uS=4V，iS=－3A时

i2=k1uS+k2iS=－0.3×4+0.6×(－3)=－3A

u2=－3×103=－3000V

本例分析中体现了线性网络的线性性质。在分析计算此类问题时，必须先建立响应和激励的关系式，再求解。3.5替代定理

替代定理又称置换定理，其内容为：在具有唯一解的任意集总参数电路中，设已知某支路k的电压uk或电流ik，且该支路k与电路中其它支路无耦合，则该支路可用一电压为uk的独立电压源或电流为ik的独立电流源替代，替代后电路仍具唯一解，且替代前后电路中各支路电压和电流保持不变。

替代定理可用图3-15所示电路来说明。图3-15替代定理示意图对于图3-15(a)所示电路，可通过计算得i1=3A，i2=2A，u=8V。现将4Ω电阻所在支路用iS=i2=2A，方向与原支路电流一致的独立电流源替代，如图3-15(b)所示，或用uS=u=8V，极性与原支路电压一致的独立电压源替代，如图3-15(c)所示。由替代后所得两电路不难求得i1=3A，i2=2A，u=8V，即替代前后电路中各支路电压和电流保持不变。替代定理的价值在于：一旦网络中某支路(或单口网络)的电压或电流为已知量时，则可用一个独立源来替代该支路(或单口N网络)，从而简化电路的分析与计算。应用替代定理分析电路应注意以下几点：

(1)替代定理适用于任意集总参数电路，无论电路是线性的还是非线性的，时变的还是时不变的。

(2)替代定理要求替代前后的电路必须有唯一解。

(3)所替代的支路与其它支路间需无耦合。

(4)“替代”与“等效变换”是两个不同的概念，“替代”是用独立电压源或独立电流源替代已知电压或电流的支路，替代前后替代支路以外电路的拓扑结构和元件参数不能改变，因为一旦改变，替代支路的电压和电流将发生变化；而等效变换是将两个具有相同端口伏安特性的电路简单相互转换，与变换以外电路的拓扑结构和元件参数无关。

(5)不仅可以用电压源或电流源替代已知电压或电流的支路，而且可以替代已知端口电压或端口电流的二端网路。因此应用替代定理可将一个大网络“撕裂”成若干个小网络，用于大网络的分析，如图3-16所示。图3-16大网络的撕裂

3.6戴维宁定理和诺顿定理

第2章介绍了利用等效化简的方法求含源二端网络的等效电路，尽管该方法直接、简便，但只在某些特殊场合使用较为方便(例如电阻串、并联时)，当电路较复杂时用此方法求等效电路则很麻烦。因此本节将介绍另一种求含源二端网络的等效电路及VCR的方法——戴维宁定理和诺顿定理，这两种方法对求含源二端网络的等效电路及VCR能提出普遍适用的形式，故它们可适用于复杂网络的分析计算，应用更广泛。3.6.1戴维宁定理

戴维宁定理(Thevenin’sTheorem)是由法国电讯工程师戴维宁于1883年提出的。戴维宁定理可表述如下：任意一个线性有源二端网络N(如图3-17(a)所示)，就其两个输出端而言，总可与一个独立电压源和一个线性电阻串连的电路等效(如图3-17(b)所示)，其中独立电压源的电压等于该二端网络N输出端的开路电压uOC(如图3-17(c)所示)，串联电阻R0等于将该二端网络N内所有独立源置零时从输出端看入的等效电阻(如图3-17(d)所示)。

定理中的独立电压源与电阻串连的电路通常称为二端网络N的戴维宁等效电路(如图3-17(b)所示)。图3-17戴维宁定理示意图戴维宁定理可用叠加定理和替代定理证明，下面给出该定理的证明。图3-18(a)所示是线性有源二端网络N与外电路相连接的电路。假设二端网络N输出端钮ab上的电压、电流分别为u和i，则根据替代定理，可用iS=i的独立电流源替代外电路，如图3-18(b)所示，替换后网络N端口电压、电流不变。又由于含源二端网络N是线性网络，故根据叠加定理，图3-18(b)所示电路中的电压u可看成两个电压分量之和，即u=u′+u″，其中u′是iS=0时由网络N内部所有独立源作用时在端口所产生的电压分量，即网络N的开路电压，则有u′=uOC，如图3-18(c)所示；u″为网络N内部所有独立源置零且仅有独立电流源iS单独作用时在ab端所产生的电压分量，此时网络N成为一无源二端网络N0，因此可用其输出电阻R0等效替代，它在电流iS的作用下产生的电压为u″=－R0iS=－R0i，如图3-18(d)所示。所以有

u=u′+u″=uOC－R0i

(3-16)

式(3-16)即为线性含源二端网络N在端口ab处的伏安关系的一般表示形式，它与戴维宁电路对外供电时的伏安关系完全一致。这说明：线性含源二端网络N就其端口a、b而言，可等效为一个实际电压源模型(戴维宁电路模型)，如图3-18(e)所示。由此证明了戴维宁定理。图3-18戴维宁定理证明用图3.6.2诺顿定理

诺顿定理(Norton’sTheorem)是由美国贝尔电话实验室工程师诺顿于1926年提出的。诺顿定理与戴维宁定理有对偶关系，其内容表述如下：任意一个线性有源二端网络N(如图3-19(a)所示)就其两个输出端而言，总可与一个独立电流源和一个线性电阻并联的电路等效(如图3-19(b)所示)，其中独立电流源的电流等于该二端网络N输出端的短路电流iSC(如图3-19(c)所示)，并联电阻R0等于将该二端网络N内所有独立源置零时从输出端看入的等效电阻(如图3-19(d)所示)。图3-19诺顿定理示意图定理中的独立电流源与电阻并联的电路通常称为二端网络N的诺顿等效电路(如图3-19(b)所示)。诺顿定理的证明和戴维宁定理的证明相似，这里不再赘述。

应用戴维宁定理和诺顿定理时的几点说明：

(1)应用戴维宁定理和诺顿定理时，要求被等效的含源二端网络N是线性的，且与外电路之间无耦合关系。

(2)在求戴维宁等效电路或诺顿等效电路中的电阻R0时，应将二端网络中的所有独立源置零，但受控源应保留在电路中。

(3)当R0≠0且R0≠∞时，有源二端网络既有戴维宁等效电路又有诺顿等效电路，且uOC、iSC、R0存在如下关系：3.6.3戴维宁定理和诺顿定理的应用

戴维宁定理和诺顿定理在电路分析中应用广泛。在一个复杂的电路中，如果对某些二端网络内部的电压、电流无求解需求，就可用这两个定理对这些二端网络进行化简，特别是仅对电路的某一元件感兴趣时，这两个定理尤为适用。

例3-11试求图3-20(a)所示有源二端网络的戴维宁等效电路。图3-20例3-11图

解

(1)求开路电压uOC。求开路电压电路如图3-11(b)所示，因为i=0，所以

故

(2)求等效电阻R0。将二端网络中所有独立源置零得图

3-20(c)所示求等效电阻R0电路，则其输出电阻R0为

R0=4+6∥3=6Ω

因此可得所求戴维宁等效电路如图3-20(d)所示。

例3-12试求图3-21(a)所示二端网络的诺顿等效电路。

解

(1)求短路电流iSC。求短路电流iSC的电路如图3-21(b)所示，由KVL得

6i′+3i′=0

解得受控源控制量i′为

i′=0

所以

图3-21例3-12图

(2)求输出电阻R0。将二端网络中所有独立源置零得图

3-21(c)所示求等效电阻R0电路，由于电路中含有受控源，故本题用加压求流法求等效电阻，设a、b端口电压为u″，电流

为i1。

由KVL得

u″=6i″+3i″=9i″又由6Ω和3Ω并联电阻的分流关系得

所以

因此可得所求诺顿等效电路如图3-21(d)所示。

例3-13试用戴维宁定理求图3-22(a)所示电路中的电压u。

解本题为了求Ω电阻上的电压u，可先将a、b端子以左以及c、d端子以右的有源二端网络分别用戴维宁等效电路来等效，然后再求响应。

(1)求a、b端子以左有源二端网络的戴维宁等效电路。

①求开路电压uOC1。求a、b端子以左有源二端网络开路电压的电路如图3-22(b)所示，因为i=0，故图中受控电流源也开路，则有

uOC1=－3V图3-22例3-13图②求等效电阻R01。将图3-22(b)所示二端网络中所有独立源置零得图3-22(c)所示求等效电阻R01电路，由于电路中含有受控源，故用加压求流法求等效电阻，设a、b端口电压为u′，电流为i′。则由KVL可得

u′=2i′+2(i′+2i′)=8i′

故

从而得a、b端子以左有源二端网络的戴维宁等效电路如图(f)所示。

(2)求c、d端子以右有源二端网络的戴维宁等效电路。

①求开路电压uOC2。求c、d端子以右有源二端网络开路电压的电路如图3-22(d)所示，可得②求等效电阻R02。将图3-22(d)所示二端网络中所有独立源置零得图3-22(e)所示求等效电阻R02电路，可得

从而得c、d端子以右有源二端网络的戴维宁等效电路如图3-22(f)所示。

(3)求电压u。由图3-22(f)得由以上例题可以看出，用戴维宁定理或诺顿定理分析线性网络的关键在于求有源二端网络输出端的开路电压或短路电流以及相应的无源网络的等效电阻，从而得到其相应的戴维宁等效电路或诺顿等效电路。一般而言：

(1)开路电压、短路电流的求取，只需根据定义将原电路输出端开路或短路，然后用节点法、网孔法或其它方法求得。

(2)等效电阻的计算有三种方法：

①对于简单电阻电路，可直接利用电阻的串并联等效求得。

②对于复杂的无源二端网络(尤其是含受控源的无源二端网络)，可用外加电源法求其等效电阻，即可以通过在网络输出端加电压源(或电流源)求出输出端的电流(或电压)，再由式

求得等效电阻R0。

③开路短路法，即首先求出有源二端网络输出端的开路电压uOC和短路电流iSC，再由式求出等效电阻R0。3.6.4最大功率传输定理

在通信技术中，常常希望负载能从信号源获得最大功率。事实上，在信号源给定的情况下，负载不同，它从信号源获得的功率也不同。下面我们将讨论与线性有源二端网络相接的负载电阻RL为何值时才能获得最大功率。

根据戴维宁定理，与负载相连的有源二端网络总可以用戴维宁等效电路等效。因而，对负载从有源二端网络获得最大功率的讨论可以转化为对图3-23所示电路的分析。由于有源二端网络已给定，故图3-23所示电路中的独立电压源uOC和电阻R0为定值，负载电阻RL所吸收的功率p只随RL的变化而变化。图3-23求最大功率传输在图3-23所示电路中，负载电阻RL为任意值时，它所吸收的功率pL为

(3-17)因为当RL=0或RL=∞时，pL=0，所以RL为(0，∞)区间中的某个值时可获得最大功率。由高等数学知识知，要使pL为最大，应使dpL/dRL=0，即

(3-18)

由此可得pL为最大时的RL大小为

RL=R0

(3-19)即，在负载电阻RL与有源二端网络的戴维宁等效电路的等效电阻R0相等的条件下，负载电阻RL可或最大功率，此条件称为最大功率传输定理。满足RL=R0时，称为最大功率匹配，此时负载获得的最大功率为

(3-20)

从式(3-20)不难看出，求解最大功率传输问题的关键在于求有源二端网络的戴维宁等效电路。

例3-14已知电路如图3-24(a)所示，其中电阻RL可调。试问RL为何值时能获得最大功率，此最大功率为多少？

解首先求图3-24(a)中RL以外的有源二端网络的戴维宁等效电路，由图3-24(b)求得

由图3-24(c)求得

R0=10∥10=5Ω图3-24例3-14图图3-24(a)所示电路可等效为图3-24(d)所示电路，可知，当RL=R0=5Ω时，可获得最大功率，此时最大功率为

3.7互易定理

互易定理(ReciprocityTheorem)是互易网络所具有的重要性质之一。粗略地说，如果将一个网络的激励和响应的位置互易，而网络对相同激励的响应不变，则称该网络具有互易性。具有互易性的网络称为互易网络。由于并非所有网络都是互易网络，因此互易定理的适用范围较狭窄。3.7.1互易定理

互易定理分三种形式进行描述。

互易定理形式一的内容如下：如图3-25所示电路，设网络NR为不含独立源和受控源仅由线性电阻组成的网络，若在端子11′端加入电压源uS作为激励，端子22′端的短路电流i2为响应，如图3-25(a)所示，如将激励和响应的位置互换，即相当于把此激励移至22′端，而响应为11′端的短路电流i1′，如图3-25(b)所示，则在图3-25所示电路的各电压、电流参考方向下，有

i1′=i2图3-25互易定理形式一互易定理形式二的内容如下：如图3-26所示电路，设网络NR为不含独立源和受控源仅由线性电阻组成的网络，若在端子11′端加入电流源iS作为激励，端子22′端的开路电压u2为响应，如图3-26(a)所示，如将激励和响应的位置互换，即相当于把此激励移至22′端，而响应为11′端的开路电压u1′，如图3-26(b)所示，则在图3-26所示电路的各电压、电流参考方向下，有

u1′=u2图3-26互易定理形式二互易定理形式三的内容如下：如图3-27所示电路，设网络NR为不含独立源和受控源仅由线性电阻组成的网络，若在端子11′端加入电压源uS作为激励，端子22′端的开路电压u2为响应，如图3-27(a)所示，如将激励和响应的位置互换，且将激励换成相同数值的电流源iS，而响应为11′端的短路电流i1′，如图3-27(b)所示，则在图3-27所示电路的各电压、电流参考方向下，有u2与i1′在数值上相等。图3-27互易定理形式三互易定理可用网络的网孔方程组或节点方程组来获得证明，此处从略。满足互易定理的无源网络NR中无受控源，这使得网络的网孔方程组或节点方程组的系数行列式对称于它的主对角线，从而保证了互易定理的成立。应用互易定理分析电路时应注意以下几点：

(1)互易定理只适用于不含受控源的单个独立源激励的线性网络，对其它网络一般不适用。

(2)要注意定理中响应和激励的参考方向。对于形式一、形式二，若互易两支路互易前后激励和响应参考方向关系一致(都关联或都非关联)，则相同的激励产生的响应相同；否则相同激励产生的响应相差一个负号。对于形式三，若互易两支路互易前后激励和响应参考方向关系不一致，则数值上相等的激励产生的响应数值上相同；否则数值上相等的激励产生的响应数值上差一个负号。3.7.2互易定理的应用

例3-15试求图3-28(a)所示电路中的电流i。

解由于图3-28(a)所示电路中的Rx未知，因此直接求电流i较为困难。故应用互易定理的形式一求解，将图3-28(a)中的激励5V电压源与响应10Ω电阻支路中的电流i的位置互换，互易后的电路如图3-28(b)所示。根据互易定理可知图3-28(b)中的电流i′与图3-28(a)中的电流i应相等。图3-28例3-15图由于图3-28(b)为平衡电桥电路，故Rx中无电流，可用开路替代，因而有

利用分流公式，得出

故

例3-16已知线性无源二端网络N0仅由电阻组成，如图

3-29(a)所示，当uS=10V时，u2=20V。求当电路改为图3-29(b)所示电路时的电流i。

解首先将图3-29(a)改画成图3-29(c)所示电路，显然图(b)和图(c)符合互易定理的形式三，因此根据互易定理的形式三及线性网络的齐次性可得图3-29例3-16图

3.8电路的对偶特性与对偶电路

3.8.1电路的对偶特性

电路的对偶特性是指电路中的如变量、元件、定律等是成对出现的，且存在明显的一一对应的关系。

例如图3-30所示平面网络，对图(a)网孔列KVL方程，有

uS=u1+u2=R1i+R2i

(3-21)

对图(b)节点A可列KCL方程，得

iS=i1+i2=G1u+G2u

(3-22)图3-30电路对偶特性示意图在这里，电路变量电压与电流对偶，电路结构网孔与节点对偶，电路元件电阻与电导对偶，电压源与电流源对偶，电路结构串联与并联对偶，电路定律KVL与KCL对偶。在电路分析中将上述的这种对偶变量、元件、结构及定律等统称为对偶元素。若将式(3-21)中的各元素用它的对偶元素替代，即得式

(3-22)。在电路分析中，将其中一式的各元素用其对偶元素替换，若得到的另一式也成立且形式相同，则这种具有对偶性质的关系式称为对偶关系式。在此应注意：“对偶”和“等效”是两个不同的概念，不可混淆。

电路的对偶特性是电路的一个普遍特性，认识到电路的这种对偶特性有助于学者掌握电路的规律，由此及彼，学一知二。现将一些常见的对偶元素列于表3-1，以供参考使用。表3-1电路中的常见对偶元素

3.8.2对偶电路

考虑图3-31所示两个电路N和N′，对电路N可列网孔方程

(R1+R2)im1－R2im2=US1(3-23a)

－R2im2+(R2+R3)im2=uS2(3-23b)

对电路N′可列节点方程

(G1+G2)un1－G2un2=iS1

(3-24a)

－G2un1+(G2+G3)un2=iS2

(3-24b)图3-31对偶电路示意图比较这两组方程，可以看出它们形式相同，对应变量是对偶元素，因此是对偶方程组。电路分析中把像这样一个电路的节点方程(网孔方程)与另一电路的网孔方程(节点方程)对偶的两电路称为对偶电路。因此电路N与N′是对偶电路。根据对偶性，若对某一电路进行了分析，那么其对偶电路的对偶响应也即可得。如图3-31所示两电路，若进一步令这对对偶电路的对偶元件参数在数值上相等，即R1=G1，G2=G2，R3=G3，iS1=uS1，iS2=uS2，则求得电路N中的网孔电流im1，电路N′中节点电压un1也已知。需指出，当且仅当电路为平面网络时才有对偶电路存在。

那么对于给定电路，如何求其对偶电路呢？下面介绍常用的一种方法——打点法，其具体步骤如下：

(1)在给定电路N的每一网孔中安放其对偶电路N′的对偶节点；在外网孔安放N′的参考节点。

(2)穿过电路N中的每一元件将与该元件相关联的两网孔中的对偶节点相连构成电路N′的一条支路，并在该支路上放上该支路所穿过元件的对偶元件。

(3)确定对偶电路N′中各电源的参考方向，在电路N中，设各网孔的方向为顺时针方向。若某网孔含有电压源，且电压源电压升的方向与该网孔方向一致，则穿过此电压源的对偶电路N′的支路上的对偶电流源的参考方向为流入该网孔所对偶的节点；若某网孔含有电流源，且电流源的参考方向与该网孔方向一致，则穿过此电流源的对偶电路N′的支路上对偶电压源的正极与该网孔中对偶电路N′的节点相接。

(4)最后整理得对偶电路。

注：若电路中含有受控源，作对偶电路时，受控源看成独立源处理，且控制量转换为对偶变量。

例3-17试用打点法画出图3-32(a)所示电路的对偶电路。

解

(1)在给定电路的每一网孔中安放其对偶电路的节点，在外网孔安放对偶电路的参考节点，如图3-32(b)所示。

(2)穿过原电路的每一元件，将与该元件相关联的两网孔中的对偶电路的节点相连，得对偶电路的支路，并在该支路上放上其所穿过元件的对偶元件，得对偶电路的元件，如图3-32(b)所示。

(3)确定对偶电路中uS′、iS′、βi3及控制量i3的方向。

(4)整理，得对偶电路如图3-32(c)所示。图3-32例3-17图

习题3

3-1已知题3-1图所示电路中，i1=1A，i2=2A。试用支路分析法求R1、R2的值。题3-1图

3-2在题3-2图所示电路中，已知R1=10Ω，R2=3Ω，R3=12Ω，R4=2Ω，uS1=12V，uS2=5V，试用支路分析法求各支路电流i1、i2、i3，并用功率平衡校验。题3-2图

3-3在题3-3图所示电路中，已知R1=4Ω，R2=1Ω，R3=5Ω，R4=2Ω，uS1=20V，uS2=12V，试用支路分析法求

I1、I2，以及R3消耗的功率。题3-3图

3-4试用网孔分析法求题3-4图所示电路中的电流i和电压u。题3-4图

3-5试用网孔分析法求题3-5图所示电路中的电流I。

题3-