《电子与电工技术》课件第4章

4.1正弦量的基本概念4.2正弦量的相量表示法4.3电容元件和电感元件4.4三种元件伏安特性的相量形式4.5RLC串联电路4.6正弦交流电路的功率实训二R、L、C的串联电路小结习题第4章正弦交流电路4.1.1正弦量的三要素

以正弦电流为例，对于给定的参考方向，正弦量的一般函数解析式为

i(t)=Imsin(ωt+φ)

(4－1)

其波形图如图4－1所示。4.1正弦量的基本概念图4－1正弦量的波形图

1.瞬时值和振幅值

交流量任一时刻的值称为瞬时值。瞬时值中的最大值(指绝对值)

称为正弦量的振幅值，又称峰值。Im、Um分别表示正弦电流、电压的振幅值。

2.周期和频率

正弦量变化一周所需的时间称为周期，通常用“T”表示，单位为秒(s)。实用单位有毫秒(ms)、微秒(μs)、纳秒(ns)。正弦量每秒变化的次数称为频率，用“f”表示，单位为赫兹(Hz)。周期和频率互成倒数，即f=。

3.相位、角频率和初相

正弦量解析式中的ωt+φ称为相位角或电工角，简称相位或相角。正弦量在不同的瞬间有着不同的相位，因而有着不同的状态(包括瞬时值和变化趋势)。相位的单位一般为弧度(rad)。

相位角变化的速度=ω称为角频率，其单位为rad/s。相位变化2π，经历一个周期T，那么

(4－2)由式(4－2)可见，角频率是一个与频率成正比的常数。由此，正弦电流还可表示为

i(t)=Imsin(2πft+φ)=Imsin

t=0时，相位为φ，称其为正弦量的初相。此时的瞬时值i(0)=Imsinφ，称为初始值，如图4－2(a)所示。图4－2计时起点的选择

当φ=0时，正弦波的零点就是计时起点，如图4－2(a)所示；当φ>0时，正弦波的零点在计时起点之左，其波形相对于φ=0的波形左移φ角，如图4－2(b)所示，φ=；当φ<0时，正弦波的零点在计时起点之右，其波形相对于φ=0的波形右移|φ|角，如图4－2(c)所示,φ=

以上确定φ角正负的零点均指离计时起点最近的那个零点。在图4－3中，确定φ角的零点是A点而不是B点，φ=-90°而不是270°。图4－3初相的规定

【例4－1】

图4－4给出了正弦电压u1和正弦电流i2的波形。u1和i2的最大值分别为300mV和5mA，频率都为1kHz，角频率为2000πrad/s，初相分别为。

(1)写出u1和i2的解析式并求出它们在t=100ms时的值。(2)写出i1的解析式并求出t=100ms时的值。图4－4例4－1波形图

解

u1和i2的最大值分别为300mV和5mA，频率都为1kHz，角频率为2000πrad/s，初相分别为。它们的解析式分别为

(1)t=100ms时，u1、i2分别为(2)

图4－5同频率的两个正弦量

4.1.2相位差

1．相位差

设有任意两个相同频率的正弦电流，其表达式分别为

i1=Im1(sinωt+φi1)

i2=Im2(sinωt+φi2)

其波形如图4－5所示。它们之间的相位之差称为相位差，用φ(或φ带双下标)表示为

φ=(ωt+φi1)-(ωt+φi2)=φi1-φi2

对于

u(t)=Umsin(ωt+φu)

i(t)=Imsin(ωt+φi)

电压u与电流i的相位差为

φ(或φui)=φu-φi

【例4－2】

求两个正弦电流i1(t)=-14.1sin(ωt-120°)，i2(t)=7.05cos(ωt-60°)的相位差φ12。

解把i1和i2写成标准的解析式，求出二者的初相，再求出相位差。

i1(t)=14.1sin(ωt-120°+180°)=14.1sin(ωt+60°)A

i2(t)=7.05sin(ωt-60°+90°)=7.05sin(ωt+30°)A

φ1=60°,φ2=30°

φ12=φ1-φ2=60°-30°=30°4.1.3正弦量的有效值

交流电的有效值是根据它的热效应确定的。如果某一交流电流和一直流电流分别通过同一电阻R，在一个周期T内所产生的热量相等，那么这个直流电流I的数值叫做交流电流的有效值。由此得出

所以，交流电流的有效值为

(4－3)

同理，交流电压的有效值为

(4－4)

对于正弦交流电流i(t)=Imsin(ωt+φ)，代入式(4－3)，它的有效值为

同理：(4－5)

【例4－3】

一个正弦电流的初相角为60°，在T/4时电流的值为5A，试求该电流的有效值。

解该正弦电流的解析式为

i(t)=Imsin(ωt+60°)A

由已知得

5=Imsin(ωt+60°)A或则

对应的有效值为4.2.1正弦量的表示方法

如上节所述，一个正弦量具有幅值、频率及初相三个特征，这些特征可以用一些方法表示出来。4.2正弦量的相量表示法图4－6正弦量的波形图

正弦量的各种表示方法是分析与计算正弦交流电路的工具。

正弦交流电的表示方法有三种：三角函数法、波形图法及相量表示法。

(1)三角函数法：

i=Imsin(ωt+φ)

(2)波形图法如图4－6所示。

(3)相量表示法：

=U∠φ4.2.2用旋转有向线段表示正弦量

设有一正弦电压u=Umsin(ωt+φ)，其波形如图4－7右图所示，左图是直角坐标系中的一旋转有向线段。有向线段的长度代表正弦量的幅值Um，它的初始位置(t=0时的位置)

与横轴正方向之间的夹角等于正弦量的初相位φ,并以正弦量的角频率ω作逆时针方向旋转。可见，这一旋转有向线段具有正弦量的三个特征，故可用来表示正弦量。正弦量的

某时刻的瞬时值就可以由这个旋转有向线段于该瞬时在纵坐标轴上的投影表示出来。图4－7正弦量的相量图

4.2.3正弦量的相量表示

相量表示法的基础是复数，就是用复数来表示正弦量。正弦量可用旋转有向线段表示，而有向线段可用复数表示，所以正弦量也可用复数来表示。

令一直角坐标系的横轴表示复数的实部，称为实轴，以+1为单位；纵轴表示虚部，称为虚轴，以+j为单位。实轴和虚轴构成的平面称为复平面。设A为复数，如图4－8所示，

其表示形式如下：

A=a+jb图4－8复数表示正弦量

由欧拉公式：

可得：

ejφ=cosφ+jsinφ

A可写成指数式：

A=rejφ

或简写为

A=r∠φ

以上可归结为

A=a+jb=rcosφ+jrsinφ=rejφ=r∠φ

【例4－4】

已知正弦电压u1(t)=141sin(ωt+π/3)V，u2(t)=70.5sin(ωt-π/6)V，写出u1和u2的相量，并画出相量图。

解

相量图如图4－9所示。图4－9例4－4电路图

4.2.4两个同频率正弦量之和

1.两个同频率正弦量的相量之和

同频率的两个正弦量相加，得到的仍然是一个同频率的正弦量。

设有两个同频率正弦量:

利用三角函数，可以得出它们之和为同频率的正弦量，即

u(t)=u1(t)+u2(t)=

Usin(ωt+φ)

其中:

可以看出，要求出同频率正弦量之和，关键是求出它的有效值和初相。

可以证明，若u=u1+u2

，则有

2.求相量和的步骤

(1)写出相应的相量，并表示为代数形式。

(2)按复数运算法则进行相量相加，求出和的相量。

(3)作相量图，按照矢量的运算法则求相量和。

两个相量加减的三角形法则如图4－10所示。图4－11表示了多个相量加减的多边形法则。图4－10两个相量加减的三角形法则

图4－11多个相量加减的多边形法则

4.3.1电容元件

1.电容元件

电容是以聚集电荷的形式，储存电能的二端元件。它是一种电子元件，由绝缘体或电介质材料隔离的两个导体组成。电容的电路参数用字母C表示。若在电容器两极间加一直流电压，则电源将向电容器充电，使电容器的两极积聚数量相等、符号相反的电荷q，在两极间建立电场并具有一定的电压u。

电容元件是各种实际电容器的理想化模型，其符号如图4－12(a)所示。4.3电容元件和电感元件图4－12理想电容的符号和特性

2.电容元件的伏安特性

对于图4－12(a)，当u、i取关联参考方向时，结合式(4－6)，有

(4－7)

当u、i为非关联参考方向时，有

电容的伏安特性说明：任一瞬间，电容电流的大小与该瞬间电压的变化率成正比，而与这一瞬间电压的大小无关。

对式(4－7)进行积分可求出某一时刻电容的电压值。任选初始时刻t0以后，t时刻的电压为

若取t0=0，则

3．电容元件的电场能

关联参考方向下，电容吸收的功率为

(4－8)

电容元件从u(0)=0(电场能为零)增大到u(t)时，总共吸收的能量即t时刻电容的电场能量为

(4－9)

【例4－5】(1)2μF电容两端的电压由t=1μs时的6V线性增长至t=5μs时的50Ｖ，试求在该时间范围内的电流值及增加的电场能。(2)原来不带电荷的100μF的电容器，今予以充电，充电电流为1mA，持续时间为2s，求电容器充电后的电压。假定电压、电流都为关联参考方向。

解

(1)由式(4－7)得

增加的电场能量为

(2)由式(4－8)和已知条件u(0)=0，求出2s末的电压为

4．电容的串、并联

(1)电容的并联如图4－13所示。图中：

q=q1+q2+q3

对于线性电容元件，有：

q=Cu,q1=Cu1

q2=Cu2,q3=Cu3

代入电荷量关系式，得

Cu=(C1+C2+C3)u

C=C1+C2+C3

(4－10)图4－13电容的并联

(2)电容的串联如图4－14所示。图中：

u=u1+u2+u3

对于线性电容元件，有：

代入电压关系式，得

则

(4－11)图4－14电容的串联

由上式可知，串联电容的等效电容的倒数等于各电容倒数之和。电容的串联使总电容值减少。每个电容上的电压为

两个电容的分压值为

图4－15例4－6电路图

【例4－6】

电容都为0.3μF，耐压值同为250V的三个电容器C1、C2、C3的连接如图4－15所示。试求等效电容。问端口电压值不能超过多少?

解

C2、C3并联等效电容为

C23=C2+C3=0.6μF

总的等效电容为4.3.2电感元件

1.电感元件

电感元件是实际电感线圈的理想化模型,其符号如图4－16所示。

如图4－16(a)所示，当在电感线圈中有交流电流i流过时，就会产生磁通Φ。国际单位制(SI)中，Φ的单位为韦(伯)。

电流i产生的磁通Φ与N匝线圈交链，则磁链Ψ=NΦ。

磁链Ψ总是与产生它的电流i成线性关系，即

Ψ=Li

(4－12)图4－16电感元件的符号和特性

2．电感元件的伏安特性

根据电磁感应定律，感应电压等于磁链的变化率。当电压的参考极性与磁通的参考方向符合右手螺旋定则时，可得

当电感元件中的电流和电压取关联参考方向时，结合式(4－12)有

(4－13)

3.电感元件的磁场能

关联参考方向下，电感吸收的功率为

电感电流从i(0)=0增大到i(t)时，总共吸收的能量即t时刻电感的磁场能量为

当电感的电流从某一值减小到零时，释放的磁场能量也可按上式计算。在动态电路中，电感元件和外电路进行着磁场能与其他能的相互转换，本身不消耗能量。

【例4－7】

电感元件的电感L=100mH，u和i的参考方向一致，i的波形如图4－17(a)所示。

试求各段时间元件两端的电压uL，并作出uL的波形，计算电感吸收的最大能量。

解

uL与i所给的参考方向一致，各段感应电压为：

(1)0～1ms间，

(2)1～4ms间，电流不变化，得uL=0。

(3)4～5ms间，

uL的波形如图4－17(b)所示。图4－17例4－7图

4.4.1电阻元件伏安特性的相量形式

当电流流过金属导体时，导体对电流的阻碍作用就称为电阻，用字母R表示。其单位是欧姆，简称欧，符号是Ω。电阻元件具有消耗电能的性质(电阻性)，其他电磁性质均可忽略不计。

1．伏安特性

在图4－18(a)中，设电流为

4.4三种元件伏安特性的相量形式

则有

上式表明：电阻两端的电压u和电流i为同频率同相位的正弦量，它们之间的关系如下所示：

(4－14)

φi=0时u和i的波形如图4－19所示。电阻上电压相量和电流相量的关系为

根据式(4－14)画出电阻的相量模型如图4－18(b)所示，相量图如图4－18(c)所示。图4－18电阻元件的相量模型及相量图

2.功率

(1)瞬间功率。

关联参考方向下电阻元件吸收的瞬时功率p=ui，为了计算方便，令φi=0，则

其波形如图4－19所示。图4－19电阻元件i、u、p的波形

(2)平均功率。

平均功率定义为瞬时功率p在一个周期T内的平均值，用大写字母P表示，即

(4－15)

【例4－8】

一电阻R=100Ω，通过的电流i(t)=1.41sin(ωt-30°)A。试求：

(1)R两端的电压U和u；

(2)R消耗的功率P。

解

(1)

(2)R消耗的功率为

P=UI=1×100=100W

或

P=I2R=1×100=100W4.4.2电感元件伏安特性的相量形式

电阻为零的纯电感元件，如果接到直流电源上，则电源被短路；如果接到交流电源上，情况就完全不同，变化的电流流过电感线圈时，将使其中的磁通Φ发生变化，从而在线圈中产生自感电动势。

1．伏安特性

在图4－20(a)中，设通过电感元件的电流为

i(t)=

Isin(ωt+φi)即

(4－16)

其中，XL称为感抗，单位为欧姆，即

XL=ωL=2πfL=图4－20电感元件的相量模型及相量图

2.功率

(1)瞬时功率。

在关联参考方向下，当φi=0时，电感吸收的瞬时功率为

(4－18)

由上式可知，瞬时功率的最大值为UI或I2XL。电感元件i、u、p的波形如图4－21所示。图4－21电感元件i、u、p的波形

(2)平均功率。

(3)无功功率。

为了衡量电感与外部交换能量的规模，在此引入无功功率QL(单位V·A)，即

(4－19)

【例4－9】

流过0.1H电感的电流为

i(t)=15

sin(200t+10°)A

试求关联参考方向下电感两端的电压u、无功功率及磁场能量的最大值。4.4.3电容元件伏安特性的相量形式

交流电路中，当电压发生变化时，电容器极板上的电荷也要随着发生变化，在电路中就会引起电流。

1．伏安特性

在图4－22(a)中，设加在电容两端的电压为u=

Usin(ωt+φu)dt，则上式表明：电容电流和端电压是同频率的正弦量，电流超前电压90°。用XC表示1/(ωC)后，电流和电压的关系为

或

(4－20)其中，XC称为容抗，单位为欧姆，即

(4－21)图4－22电容元件的相量模型及相量图

2.功率

(1)瞬时功率。

由上式可知，瞬时功率的最大值为UI或I2XC。电容元件u、i、p的波形如图4－23所示。图4－23电容元件u、i、p的波形

4.5.1电压与电流的关系

1.电压三角形

R、L、C串联电路及其相量模型如图4－24所示。先选择参考相量，选择的方法是选已知量或公共量。在串联电路中，电流是公共量，所以取电流的相量为参考相量，设

=I∠0°作出相量图，如图4－25所示，图中设UL>UC。4.5RLC串联电路图4－24RLC串联电路的相量

图4－25RLC串联电路的相量图

显然，、、组成一个直角三角形，称为电压三角形。由电压三角形可得

U也可以写成相量形式，即

(4－23)

2.阻抗三角形

由式(4－23)可得：

Z=R+j(XL-XC)=R+jX=|Z|∠φ

其中X=XL-XC称为电抗，|Z|和φ分别称为复阻抗的模和阻抗角，其关系如下所示：(4－24)

(4－25)

显然|Z|、R、X也组成一个直角三角形，称为阻抗三角形，与电压三角形相似。设端口电压、电流的相量分别为

由上式可得

(4－26)4.5.2电路的三种性质

RLC串联电路的电抗为

X=XL+XC=ωL-

RLC串联电路有以下三种性质：

(1)当ωL>1/(ωC)时，X>0，φ>0，UL>UC，UX超前电流90°，端口电压超前电流；电路呈感性，相量图如图4－25(a)所示。

【例4－11】

图4－26(a)所示为RC串联移相电路，u为输入正弦电压，uC为输出电压。已知C=0.01μF，u的频率为6000Hz，有效值为1V。欲使输出电压比输入电压滞后60°，试问应选配多大的电阻R?在此情况下，输出电压多大?图4－26例4－11电路图

4.6.1有功分量和无功分量

1.电压的有功分量和无功分量

对于图4－27(a)所示的无源二端网络，定义出关联参考方向下的复阻抗为

Z=R+jX

4.6正弦交流电路的功率相量图如图4－27(b)所示。与同相的叫做电压的有功分量，其模Ua=Ucosφ就是二端网络等效电阻R上的电压，它与电流的乘积UaI=UIcosφ=P就是网络吸收的有功功率。

另一个与相差90°的叫做电压的无功分量，其模Ur=Usinφ就是网络的等效电抗X上的电压，它与电流的乘积UrI=UIsinφ就是网络吸收的无功功率，如图4－27(c)所示。图4－27电压电流相量的分解

4.6.2有功功率、无功功率和视在功率

由前面的分析可知，二端网络端口电压、电流的有效值分别为U、I，关联参考方向下相位差为φ时，吸收的有功功率即平均功率如下所示：

P=UIcosφ

(4－27)

吸收的无功功率即交换能量的最大速率如下所示：

Q=UIsinφ

(4－28)

S表示在电压U和电流I的作用下，电源可能提供的最大功率。为了与平均功率相区别，它的单位不用瓦，而用伏·安(V·A)常用的单位还有千伏·安(kV·A)。式(4－29)中的P、Q、S可组成一个直角三角形，它与电压三角形相似，称其为功率三角形，如图4－28所示。图4－28功率三角形

4.6.3功率因数的提高

1．功率因数的定义

式(4－27)中决定有功功率大小的参数cosφ称为功率因数，用λ表示:

λ=cosφ=

(4－30)

功率因数的大小取决于电压与电流的相位差，故把φ角也称为功率因数角。提高感性负载功率因数的常用方法之一是在其两端并联电容器。感性负载并联电容器后，它们之间相互补偿，进行一部分能量交换，减少了电源和负载间的能量交换。这时电感性负载所需的无功功率，大部分或全部都是就地供给(由电容器供给)，即能量的互换主要或完全发生在电感性负载与电容器之间。感性负载提高功率因数的原理可用图4－29来说明。由图可见，并联电容器后线路电流减小了(电流相量相加)，因而减小了功率损耗。图4－29提高功率因数的原理

一、实验目的

(1)学习单相功率表和单相调压器的使用方法。

(2)验证铁芯线圈的伏安特性。

(3)验证交流串联电路中总电压与分电压的关系。

实训二R、L、C的串联电路二、实训要点

1.单相功率表的介绍和使用

单相功率表(又称伏特表)是一种直接测量功率的仪表。本实验我们所使用的是D-26W型功率表。表中有两个线圈：一个是定圈，又称电流线圈，由匝数不多的粗线绕成，

并与负载串联，用粗线表示；另一个是动圈，又称电压线圈，由匝数较多的细线绕成，并与负载并联，用垂直的细线表示，如图4－30所示。图4－30单相功率表原理图

功率表通常都是多量限，D26-W型功率表有两个电流量限，三个电压量限。

(1)电流线圈由两个完全相同的绕组构成，分别使这两个线圈串联或并联，就可以转换电流量限，如图4－31所示。

(2)电压线圈串联不同的附加电阻时，电压量限也就改变，如图4－32所示。

图中，V*为共同端，另一个接线端可根据不同量程进行选择。

功率表在电路中的图形符号如图4－33所示。图4－31单相功率表的接线方式

图4－32电压量程接线点

图4－33功率表的符号

【例4－12】

一电感性负载，功率约为60W，额定电压为220V，功率因数为0.5，需要测量实际消耗的功率，应怎样选择量限？

解因负载电压为220V，所用功率表的量限应大于220V，即电压量限选择为300V。

负载电流可按下式算出：

故电流量限应选择1A。

选择1A时的接线如图4－34所示。

假如负载为R，额定电压为250V，则电流为0.5A时的接线如图4－35所示。图4－34选择1A时的接线

图4－35选择0.5A时的接线调压器绕组的接线如图4－36所示。图中A、X两端的电压为输入电压V1；a、x两端的电压为输入电压V2。图4－36调压器符号

三、仪表及设备四、实验内容及步骤

(1)按照图4－37连接好线路。图4－37接线图

(2)R、L、C串联的交流电路如图4－38所示。图4－38

R、L、C串联接线图

1.正弦量的三要素及其表示

以正弦电流为例，在确定的参考方向下，它的解析式为

i(t)=Imsin(ωt+φi)=

Isin(2πft+φi)

其中振幅值Im(有效值I)、角频率ω(或频率f及周期Ｔ)、初相φi是决定正弦量的三要素。小结它们分别表示正弦量变化的范围、变化的快慢及初始状态。根据正弦量的三要素，正弦电流也可以用波形图来表示。正弦量的有效值相量I=∠φi只体现了三要素中的两个要素。２.元件约束(伏安特性)和互联约束(KCL和KVL)的相量式

(1)在关联参考方向下：

(2)KCL：∑=0KVL：∑=0