《电路与信号分析》课件第5章

5.1正弦量5.2正弦量的相量表示5.3正弦稳态电路的相量模型5.4阻抗与导纳5.5正弦稳态电路的相量分析法5.6正弦稳态电路的功率5.7谐振电路5.8三相电路习题5第5章正弦稳态电路分析

5.1正弦量

5.1.1正弦量的三要素

电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称为正弦量。正弦量是最基本的周期信号，它是任何其它周期信号和非周期信号的基本元素。正弦量既可以用正弦函数表示，也可以用余弦函数表示，本书统一采用余弦函数表示标准正弦量。在选定参考方向和计时起点的情况下，正弦量的瞬时值可表示为

f(t)=Fmcos(ωt+j)(5-1)

将任意时刻t代入f(t)表达式，即可计算出该时刻的瞬时值。通常瞬时值用小写字母表示。正弦量可以从变化的快慢、变化的大小、变化的起点来说明其变化规律。由式(5-1)可看出，描述一个正弦信号可以用频率、振幅和初相三个物理量来表征，它们统称为正弦量的三要素，下面分别介绍正弦量的三要素。

1.周期、频率和角频率

正弦量完成一个循环所需的时间称为周期，用字母T表示，单位是秒(s)；正弦量每秒钟内变化的次数称为频率，用字母f表示，单位是赫兹(Hz)；在式(5-1)中，ω表示正弦量单位时间变化的弧度数，称为角频率，用字母ω表示，单位是弧度/秒(rad/s)。由于正弦量一个周期对应着2πrad，故角频率ω、周期T、频率f的关系为

(5-2)

我国电力部门所提供的交流电的频率是50Hz，它的周期为0.02s，角频率为314rad/s。

2.振幅和有效值

正弦量瞬时值中最大的值称为振幅，通常用带下标m的大写字母表示，它是一个正常数，例如式(5-1)中的Fm。可以看出正弦量的振幅确定了它的幅度变化范围。

在工程技术中我们通常需要一个特定的值来表征正弦量的大小。因为正弦量的瞬时值时刻在变化，任何瞬间的值不能代表整个正弦量的大小；正弦量的平均值在一个周期内为0，也不合适；振幅只能表明正弦量达到极值一瞬间的大小，同样不合适，因此引入有效值来表征正弦量的大小。正弦量的有效值是利用电流的热效应来规定的：在一个周期时间内，如果一个正弦交流电流和一个直流电流，在相等的时间t内通过同一电阻R所产生的热量相同，则就称这个直流值为正弦电流的有效值，用大写字母表示。根据焦耳－楞次定律，当周期电流信号i(t)流过电阻R时，一个周期T内电阻所消耗的能量为

(5-3)直流电流I流过电阻R时，在相同的时间T内，该电阻消耗的能量为

(5-4)

如果上述两种情况中，电阻R消耗的能量相同，即

(5-5)

那么电流I就定义为周期电流信号的有效值，又称方均根值。当周期电流为正弦电流时，将i(t)=Imcos(ωt+ji)代入式

(5-5)，可得正弦电流的有效值I为

(5-6)

同理可得正弦电压u(t)=Umcos(ωt+ju)的有效值U为

(5-7)由式(5-6)、式(5-7)可得：正弦量的有效值等于其振幅值的

，与角频率和初相无关，因此正弦量也可以表达为

3.相位和初相

正弦量是随时间而变化的，要确定一个正弦量，除频率(或周期、角频率)和振幅(或有效值)外，还必须确定计时起点。所取计时起点不同，正弦量的初始值就不同，达到幅值或某一特定值所需的时间也就不同。

在式(5-1)中，ωt+j称为正弦量的相位或相位角，它反映了正弦量的变化进程。当相位随时间连续变化时，正弦量的瞬时值也随之连续变化。当t=0时，ωt+j=j，j称为初相位或初相位角，简称初相，通常规定|j|≤π。人为地设定初相j=0的正弦量称为参考正弦量。参考正弦量的选择是任意的，但在同一个电路中，只能选择一个正弦量作为参考正弦量。

综上所述，一个正弦量可以由其三要素：频率(或周期、角频率)、振幅(或有效值)和初相三个物理量来表征。图5-1所示为式(5-1)正弦量在初相大于0及小于0两种情况下的波形。

图5-1正弦量f(t)波形图(a)j>0；(b)j<05.1.2同频正弦量的相位差

设有两个同频的正弦量

f1(t)=F1mcos(ωt+j1)

f2(t)=F2mcos(ωt+j2)

则定义它们的相位差为

θ=(ωt+j1)-(ωt+j2)=j1－j2(5-8)分析式(5-8)，可知相位差有如下几种情况：

(1)超前：若θ>0，即j1>j2，则称f1(t)超前f2(t)或f2(t)滞后f1(t)；

(2)滞后：若θ<0，即j1<j2，则称f1(t)滞后f2(t)或f2(t)超前f1(t)；

(3)同相：若θ=0，即j1=j2，则称f1(t)与f2(t)同相；

(4)反相：若θ=±π，即j1－j2=±π，则称f1(t)与f2(t)反相；

(5)正交：若，即j1－j2=，则称f1(t)与f2(t)正交。注意：由于正弦量是相位按2π弧度循环变化的周期函数，为避免混淆超前与滞后关系，通常规定|θ|≤π。对不在该取值范围内的相位差，可通过θ±2π变换到该取值范围。同频正弦量不同相位差的波形如图5-2所示。图5-2同频正弦量的相位差(a)j1>j2；(b)j1<j2；(c)j1=j2，同相；(d)j1－j2=±π，反相；(e)j1－j2=，正交

例5-1已知正弦电流i(t)=20cos(314t+60°)A，电压u(t)=10sin(314t－30°)V。试分别画出它们的波形图，并求出它们的有效值、频率及相位差。

解电压可转换为

i(t)、u(t)的波形如图5-3所示，其有效值为图5-3

i(t)、u(t)的波形

i(t)、u(t)的频率为

i(t)、u(t)的相位差为

θ=ju－ji=－120°－60°=－180°

即i(t)、u(t)反相。

5.2正弦量的相量表示

由于任意一个正弦量可以由其三要素频率(或周期、角频率)、振幅(或有效值)和初相三个物理量来唯一确定，而通常在正弦稳态分析中，激励频率是已知的，响应和激励均为同频正弦量，故只需求出振幅和初相。相量法正是利用这一特点，用相量表示正弦量的振幅和初相，从而将求解电路的微分方程变换为复数代数方程，简化了正弦稳态电路的分析计算。5.2.1复数及其运算

如图5-4所示，复平面上任意一点A代表一个复数。在数学上虚部的单位是用符号“i”来表示，而在电路中“i”是代表电流，所以这里我们采用符号“j”来表示虚部单位。图5-4复数的表示复数有如下表达形式：

(1)复数的直角坐标形式：

A=a+jb

式中a、b分别为复数A的实部和虚部，即

a=Re［A］,

b=Im［A］

上式Re与Im分别是取实部和虚部的运算符号。

(2)复数的三角形式：

A=rcosθ+jrsinθ

式中r称为复数A的模；θ称为复数A的幅角，取值范围为|θ|≤π。

(3)复数的指数形式：

A=rejθ

(4)复数的极坐标形式：

A=r∠θ

由图5-4可知几种形式之间的关系：复数的运算包括加、减、乘、除四种，为了便于运算，需将复数的代数形式和极坐标形式进行转换。

(1)加、减运算。设A1=a1+jb1，A2=a2+jb2，则

A=A1±A2=(a1+a2)+j(b1±jb2)

在复平面上可按“平行四边形法则”或“三角形法则”求复数的加、减运算。

(2)乘、除运算。复数的乘、除运算用指数形式或极坐标形式比较方便。设

则5.2.2正弦量的相量表示法

设正弦电流为

根据欧拉公式可得

故

(5-9)式中

(5-10)

式(5-9)中，ejωt是一个随时间变化的复数，它在复平面上是以原点为中心，以角速度ω旋转的单位矢量，称其为旋转因子。

式(5-10)中，是一个表征正弦电流有效值和初相的复常数，称其为正弦电流的有效值相量。也可以用振幅相量表示正弦量的振幅和初相，如

(5-11)同理可定义正弦电压相量。设正弦电压为

则有

(5-12)

(5-13)有效值相量与振幅相量的关系为

式(5-10)～式(5-13)建立了在给定角频率下，电流(电压)相量与相应正弦量的一一对应关系，可表示为

注意，相量与相应的正弦量是对应关系，不是相等关系，不能认为相量等于正弦量。

例5-2若正弦电流i1(t)=5cos(314t+60°)A，i2(t)=－10sin(314t+60°)A，i3(t)=－4cos(314t+60°)A。试写出这三个正弦量的振幅相量，并画出它们的相量图。

解

(1)由i1(t)=5cos(314t+60°)A，可直接写出

(2)由i2(t)=－10sin(314t+60°)=10cos(314t+150°)A，可直接写出

(3)由i3(t)=－4cos(314t+60°)=4cos(314t－120°)A，可直接写出

三个电流的相量图如图5-5所示，由相量图可以了解三个电流之间的相位关系：i1(t)滞后i2(t)90°；i3(t)超前i2(t)90°；i1(t)和i3(t)相位差为180°，反相。图5-5例5-2图

例5-3已知有效值相量，

，f=50Hz。试写出相应的三个正弦量。

解由f=50Hzω=2πf=314rad/s，故5.3正弦稳态电路的相量模型

5.3.1基尔霍夫定律的相量形式

1.基尔霍夫电流定律(KCL)的相量形式

图5-6(a)所示一正弦电路中的部分电路，称为时域电路。设连接在节点A上的n条支路电流均为同频正弦电流，即则根据KCL有

即

也就是

(5-14)式中。由于式(5-14)对任意时刻t均成立，有

(5-15)

式(5-15)即为KCL的相量形式。它表示在正弦稳态电路中，流出(或流入)任意节点(或封闭面)各支路电流相量的代数和为零。图5-6(b)、(c)称为电路相量模型。图5-6基尔霍夫电流定律的相量形式

2.基尔霍夫电压定律(KVL)的相量形式

同理可知KVL定律的相量形式为

(5-16)

式中，。由于式(5-15)对任意时刻t均成立，式(5-16)即为KVL的相量形式。它表示在正弦稳态电路中，任意闭和回路的各支路电压相量的代数和为零。

注意，式(5-15)、式(5-16)表示的是相量的代数和为零，不要认为是有效值或振幅代数和为零。

例5-4图5-7(a)所示为电路中的一个节点，已知i1(t)=10cos(ωt+60°)A，i2(t)=5sinωtA。求i3(t)。

解首先写出已知电流的相量形式根据KCL的相量形式，由，故

因此i3(t)=6.2cos(ωt+36.2°)A，相量图如图5-7(b)所示。图5-7例5-4图

例5-5在图5-8(a)所示电路中，已知u1(t)=10cosωtV，u2(t)=10cos(ωt－120°)V，u3(t)=10cos(ωt+120°)V。试求u12(t)、u23(t)、u31(t)。图5-8例5-5图

解首先写出相应电压的相量形式

由KVL的相量形式得由正弦量与相量的一一对应关系，可得

相量图如图5-8(b)所示。5.3.2电路元件伏安关系的相量形式

1.电阻元件

在图5-9(a)所示电阻元件的时域模型中，根据欧姆定律有

uR(t)=R·iR(t)(5-17)

在正弦稳态电路中，令

(5-18)

(5-19)将式(5-18)、式(5-19)代入式(5-17)，可得

因为上式对任意t均成立，由此可得

(5-20)

式(5-20)即为正弦稳态电路中，电阻元件伏安关系的相量形式。设根据式(5-20)可得出

UR=R·IR或URm=R·IRm(5-21)及

juR=jiR(5-22)

由式(5-21)、式(5-22)可得，在正弦稳态电路中，电阻元件上的电压、电流是同频同相的正弦量，并且它们的有效值和振幅之间关系符合欧姆定律。电阻元件的相量模型如图5-9(c)所示，图5-9(d)是电阻电压和电流的相量图，由于电压和电流同相，故其相量在同一条直线上。图5-9电阻元件(a)时域模型；(b)波形图；(c)相量模型；(d)相量图

2.电感元件

在图5-10(a)所示电感元件的时域模型中，根据电感元件的伏安关系有

(5-23)

在正弦稳态电路中，令

(5-24)

(5-25)将式(5-24)、式(5-25)代入式(5-23)，可得

因为上式对任意t均成立，由此可得

(5-26)式(5-26)即为正弦稳态电路中，电感元件伏安关系的相量形式。设

根据式(5-26)可得出

(5-27)及

(5-28)由式(5-27)、式(5-28)可得，在正弦稳态电路中，在相位上电感电压超前电流，在数值上电压与电流有效值(振幅)之比为ωL。在电路理论中，将ωL称为电感元件的电抗，简称感抗，单位为欧姆(Ω)，记为XL；感抗的倒数称为电纳，简称感纳，单位为西门子(S)，记为BL，即

XL=ωL(5-29)

(5-30)由定义可知感抗XL与频率成正比，当ω=0时，XL=0，故在直流电路中，电感相当于短路。利用感抗和感纳的定义，式

(5-26)又可以写成

(5-31)

电感元件的相量模型如图5-10(c)所示，图5-10(d)是电感电压和电流的相量图，根据式(5-28)可知电压超前电流，故电压相量超前电流相量。图5-10电感元件(a)时域模型；(b)波形图；(c)相量模型；(d)相量图

3.电容元件

在图5-11(a)所示电容元件的时域模型中，根据电容元件的伏安关系有

(5-32)

在正弦稳态电路中，令

(5-33)

(5-34)将式(5-33)、式(5-34)代入式(5-32)，得

因为上式对任意t均成立，由此可得

(5-35)式(5-35)即为正弦稳态电路中，电容元件伏安关系的相量形式。设

根据式(5-35)可得出

(5-36)

及

(5-37)图5-11电容元件(a)时域模型；(b)波形图；(c)相量模型；(d)相量图由式(5-36)、式(5-37)可得，在正弦稳态电路中，在相位上

电容电流超前电压，在数值上电压与电流有效值(振幅)之

比为。在电路理论中，将称为电容元件的电抗，简称

容抗，单位为欧姆(Ω)，记为XC；容抗的倒数称为电容的电纳，简称容纳，单位为西门子(S)，记为BC，即

(5-38)

(5-39)由定义可知容抗XC与频率成反比，当ω=0时，XC=∞，故在直流电路中，电容相当于开路。利用容抗和容纳的定义，式(5-35)又可以写成

(5-40)

电容元件相量模型如图5-11(c)所示，图5-11(d)是电容电压和电流的相量图，根据式(5-37)可知电流超前电压，故电流相量超前电压相量。对于一个正弦稳态电路，将电路中所有电压和电流(包括电源和各支路电压、电流)都用对应的相量代替，将所有的电路元件都用相应的相量模型代替，即可得原时域电路对应的相量模型。

例5-6在图5-12(a)所示电路中，已知R=0.5Ω，L=1mH，C=2×10－3F，iS(t)=10

cos103tA。试求电压u(t)。

解由已知条件可知ω=103rad/s，即图5-12例5-6图作图5-12(a)所示电路的相量模型如图5-12(b)所示，利用KVL的相量形式及元件R、L、C的伏安关系得

故

u(t)=10cos(103t+45°)V

5.4阻抗与导纳

5.4.1阻抗和导纳的定义

在图5-13(a)中，N0表示一个无源二端网络，在正弦稳态下，其端口的电流和电压是同频正弦量，分别用其相量

和表示，则定义端口电压相量和电流相量之比为二端网络的阻抗，记为Z；端口电流相量和电压相量之比为二端网络的导纳，记为Y。即

(5-41)

式中，阻抗Z、导纳Y的图形符号分别如图5-13(b)、(c)所示。图5-13二端网络的阻抗与导纳阻抗Z既可用直角坐标形式表示，又可用极坐标形式表示，即

(5-42)

式中，R是阻抗的实部，称为阻抗的电阻分量；X是阻抗的虚

部，称为阻抗的电抗分量;|Z|=称为阻抗的模；θZ=ju－ji称为阻抗角。同理，导纳Y既可用直角坐标形式表示，又可用极坐标形式表示，即

(5-43)

式中，G是导纳的实部，称为导纳的电导分量；B是导纳的虚

部，称为导纳的电纳分量;|Y|=称为导纳的模；θY=ji－ju

称为导纳角。由式(5-42)可知，N0可以用一个电阻元件和一个电抗元件相串联的电路等效，如图5-13(d)所示。当X>0时，θZ>0，二端网络端口电压超前电流，网络呈感性，电抗元件可等效为一个电感元件；当X<0时，θZ<0，二端网络端口电压滞后电流，网络呈容性，电抗元件可等效为一个电容元件；当X=0时，θZ=0，二端网络端口电压与电流同相，网络呈阻性，二端网络可等效为一个电阻元件。

由式(5-43)可知，N0可以用一个电导元件和一个电纳元件相并联的电路等效，如图5-13(e)所示。当B<0时，θY<0，二端网络端口电压超前电流，网络呈感性，电纳元件可等效为一个电感元件；当B>0时，θY>0，二端网络端口电压滞后电流，网络呈容性，电纳元件可等效为一个电容元件；当B=0时，θY=0，二端网络端口电压与电流同相，网络呈阻性，二端网络可等效为一个电阻元件。

综上所述，一个二端网络既可用阻抗，也就是电阻与电抗相串联的电路等效，也可用导纳，也就是电导与电纳相并联的电路等效。因为阻抗和导纳都是角频率的函数，故随着角频率的改变，其等效电路也会改变。图5-13(f)称为阻抗三角形，图5-13(g)称为导纳三角形，它们分别表示出阻抗和导纳实部、虚部、模和幅角之间的两组关系，即

(5-44)

(5-45)对于同一个二端网络，导纳与阻抗互为倒数关系，即

从上式可看出，一般情况下，R与G、X与B不是倒数关系。5.4.2阻抗(导纳)的串联和并联

阻抗串联和并联的计算，在形式上与电阻串联和并联电路相似。对于n个阻抗串联的电路，其等效阻抗等于n个阻抗之和，即

(5-46)

式中，Zk=Rk+jXk；为等效阻抗的电阻分量；

为等效阻抗的电抗分量。在阻抗串联电路中，各个阻抗的电压分配为

(5-47)

式中，为第k个阻抗Zk上的电压；为总电压。同理，对于n个导纳并联的电路，其等效导纳等于n个导纳之和，即

(5-48)

式中，Yk=Gk+jBk；为等效导纳的电导分量；

为等效导纳的电纳分量。在导纳并联电路中，各个导纳的电流分配为

(5-49)

式中，为第k个导纳Yk上的电流；为总电流。

在两个阻抗并联的电路中，等效阻抗计算经常采用如下公式：

(5-50)

例5-7已知图5-14(a)所示电路。求在ω=1rad/s，ω=

4rad/s两种电源角频率下的最简串联等效电路。

解

(1)当ω=1rad/s时

据此作出相应的相量模型如图5-14(b)所示，则(Ω)图5-14例5-7图由此可见，当ω=1rad/s时，电路呈容性，可等效为R=

1.8Ω电阻与一个XC=0.15Ω的电容相串联，如图5-14(d)所示，其中电容参数。

(2)当ω=4rad/s时

据此作出相应的相量模型如图5-14(c)所示，则

由此可见，当ω=4rad/s时，电路呈感性，可等效为R=

1.2Ω电阻与一个XL=0.6Ω的电感相串联，如图5-14(e)所示，其中电感参数。(Ω)5.4.3

RLC串联电路

图5-15(a)所示为典型的RLC串联电路，其相量模型如图5-15(b)所示。

由电路的相量模型及KVL相量形式可得

(5-51)

根据阻抗的定义，等效阻抗为

(5-52)图5-15

RLC串联电路即RLC串联电路的阻抗Z等于三个元件阻抗之和，其中阻抗的电阻分量就是串联电阻R，电抗分量等于感抗和容抗的差。由式(5-52)可得

(5-53)

当X=XL－XC>0时，θZ>0，RLC串联电路端口电压超前电流，电路呈感性，电路可等效为一个电阻与电感元件相串联，等效电感的感抗XLeq=XL－XC；当X=XL－XC<0时，θZ<0，RLC串联电路端口电压滞后电流，电路呈容性，电路可等效为一个电阻与电容元件相串联，等效电容的容抗XCeq=XC－XL；当X=XL－XC=0时，θZ=0，RLC串联电路端口电压与电流同相，电路呈阻性，电路可等效为一个电阻。由式(5-51)可得

(5-54)

式(5-54)表明端口电压相量等于等效阻抗中电阻和电抗电压相量的和。图5-15(c)和(d)分别给出以电流相量为参考正弦量，电路呈感性和容性两种情况下的相量图。图中、、组成一个直角三角形，通常称为电压三角形。5.4.4

GCL并联电路

图5-16(a)所示为典型的GCL并联电路，其相量模型如图

5-16(b)所示。

由电路的相量模型及KCL相量形式可得

(5-55)

根据导纳的定义，等效导纳为

(5-56)图5-16

GCL并联电路即GCL并联电路的导纳Y等于三个元件导纳之和，其中导纳的电导分量就是并联电导G，电纳分量等于容纳和感纳的差。由式(5-56)可得

(5-57)当B=BC－BL>0时，θY>0，GCL并联电路端口电压滞后电流，电路呈容性，电路可等效为一个电导与电容元件相并联，等效电容的容纳BCeq=BC－BL；当B=BC－BL<0时，θY<0，GCL并联电路端口电压超前电流，电路呈感性，电路可等效为一个电导与电感元件相并联，等效电感的感纳BLeq=BL－BC；当B=BC－BL=0时，θY=0，GCL并联电路端口电压与电流同相，电路呈阻性，电路可等效为一个电导。由式(5-55)可得

(5-58)

式(5-58)表明端口电流相量等于等效导纳中电导和电纳电流相量的和。图5-16(c)和(d)分别给出以端口电压相量为参考正弦量，电路呈容性和感性两种情况下的相量图。图中、、

组成一个直角三角形，通常称为电流三角形。

例5-8图5-17(a)所示为正弦稳态电路，已知各电压相量的有效值分别为：UC=15V，UL=12V，UR=4V。求端口电压有效值U。

解作出图5-17(a)所示电路的相量模型如图5-17(b)所示，设总的电抗元件上电压有效值为UX，在RLC串联电路中，、

、组成一个电压三角形，则它们的有效值存在下列关系：图5-17例5-8图由于、的相位差为180°，即反相，故

UX=|UL－UC|=|12－15|=3V

所以

5.5正弦稳态电路的相量分析法

由于电路分析的依据是KVL、KCL和元件的伏安关系，它们在电阻电路中的形式与正弦稳态电路中的相量形式完全相同。因而电阻电路中的各种分析方法、等效变换和定理等都可推广到正弦稳态电路中，区别在于用电压和电流相量和代替电阻电路中的电压u和i，用阻抗Z和导纳Y代替电阻R和电导G，用电路的相量模型代替电路的时域模型。应用相量法分析正弦稳态电路的步骤如下：

(1)将时域电路变换为相量模型；

(2)利用KVL、KCL和元件的伏安关系及各种分析方法、等效变换和定理建立激励与响应的复代数方程，求出响应相量；

(3)将响应相量变换为正弦量。

下面以几个例题说明相量分析法的应用。

例5-9试求图5-18所示各电路的输入阻抗Z和导纳Y。

解

(a)由串、并联关系得图5-18例5-9图

(b)由串、并联关系得

(c)采用加压求流法，由图5-18(c)所示电路得

(d)采用加压求流法，由图5-18(d)所示电路得

故

例5-10图5-19所示两个二端网络在ω=10rad/s时互为等效，已知R=10Ω，R′=12.5Ω。求L及L′。

解两个二端网络等效，即端口等效阻抗或导纳相等，由图示电路得图5-19例5-10图两个二端网络等效，即有将ω=10rad/s，R=10Ω，R′=12.5Ω代入上式，解得

例5-11图5-20(a)所示为正弦稳态电路，已知US=10V，uS(t)=10cos(2t+80°)V。试求电流i(t)。

解本题利用叠加定理求解(注意不同频率信号所对应的相量相加是无意义的，只能在时域叠加)。

(1)先求US=10V激励单独作用时的电流i′(t)，如图5-20(b)所示，可得图5-20例5-11图

(2)用相量分析法求uS(t)=10cos(2t+80°)V激励单独作用时的电流i″(t)，如图5-20(b)所示，由=10∠80°V可得

故

i″(t)=1.58cos(2t+61.57°)A

(3)根据叠加定理，可知在US、uS(t)共同作用下的响应为

i(t)=i′(t)+i″(t)=2+1.58cos(2t+61.57°)A

例5-12已知电路如图5-21(a)所示，uS(t)=10cos103tV。试用网孔分析法求解i1(t)、i2(t)。

解作相量模型如图5-21(b)所示，则两个网孔电流分别为、。

根据激励可知ω=103rad/s，故图5-21例5-12图网孔电流方程如下：

(1)

(2)

由式(2)可得

(3)式(3)乘2加式(1)可得

代入式(3)可得

所以

i1(t)=1.24cos(103t+29.7°)A

i2(t)=2.77cos(103t+56.3°)A

例5-13已知电路相量模型如图5-22所示。试列出节点电压方程。

解取节点3为参考节点，设节点1、节点2的电压分别为

、，节点方程如下：节点1：图5-22例5-13图整理可得

节点2：整理可得

故图5-22对应的节点方程为

节点1:

节点2:

例5-14已知电路相量模型如图5-23(a)所示，=10∠0°V。试用戴维宁定理求电流相量。

解

(1)首先求开路电压，如图5-23(b)所示，端口开路电流=0，j200Ω阻抗上电压为0，故可得图5-23例5-14图

(2)求等效阻抗Z0，如图5-23(c)所示，电压源置零，可得

(3)根据(1)、(2)可得等效电路如图5-23(d)所示，利用KVL可得

5.6正弦稳态电路的功率

正弦稳态电路相对于电阻电路引入了储能元件电感和电容，故对其功率及能量的分析要比电阻电路复杂。本节首先引入了平均功率、无功功率、视在功率、复功率、功率因数等概念，然后分析正弦稳态电路最大功率传输问题。5.6.1二端网络的功率

正弦稳态电路中，无源二端网络N0如图5-24(a)所示，设其端口电压、电流为关联参考方向则网络N0吸收的瞬时功率

(5-59)式(5-59)表明无源二端网络N0的瞬时功率p(t)由恒定分量UIcosθZ和正弦分量UIcos(2ωt+2ji+θZ)两部分组成。图5-24(b)是瞬时功率p(t)随时间变化曲线，由图可看出，由于电压和电流不同相，故瞬时功率p(t)时正时负，当p(t)>0时，网络N0从外电路吸收能量；当p(t)<0时，网络N0向外电路输出能量。因为网络N0存在储能元件，所以网络与外电路有能量往返；同时，因为网络N0存在电阻元件，所以网络N0总体上是耗能的，一个周期中p(t)>0部分大于p(t)<0部分。瞬时功率实用意义并不大，为充分反映正弦电路能量交换的情况，引出下列概念。

图5-24二端网络的功率(a)二端网络；(b)功率曲线

1.有功功率P(平均功率)

有功功率P是瞬时功率p(t)在一个周期内的平均值，所以也称为平均功率，简称功率。有功功率P的定义为

(5-60)

有功功率P反映的是电路实际消耗的功率，单位为瓦特(W)，平时说某电器的功率是多少瓦，通常指的就是该电器的有功功率。由式(5-60)可以看出有功功率不仅取决于电压电流的有效值，还与阻抗角有关。阻抗角又称功率因数角，定义为

λ=cosθZ

(5-61)式中λ称为功率因数。由于R、L、C组成的无源二端网络等效阻抗的电阻分量R≥0，故阻抗角，功率因数0≤λ≤1。为体现网络的性质，通常当电流导前(超前)于电压，θZ<0时，在λ后标注“导前”；反之，当电流滞后于电压，θZ>0时，在λ后标注“滞后”。当二端网络等效为纯电阻R时，θZ=0，功率因数λ=1，瞬时功率p(t)≥0，有功功率P=UI，因此网络只从外电路吸收能量而没有能量往返交换。当二端网络等效为纯电抗X时，

，功率因数λ=0，瞬时功率p(t)是角频率为2ω的正

弦量，有功功率P=0，因此网络不消耗能量而只是不断与外电路进行能量往返交换，这是电抗元件只储能不耗能的结果。若从阻抗的角度看，设N0的等效阻抗为

Z=|Z|·cosθZ+j·|Z|·sinθZ=Req+j·Xeq

代入式(5-60)，得

P=I·|Z|·IcosθZ=I2·|Z|·cosθZ=I2Req(5-62)

式(5-62)表明N0的有功功率实际上是N0中的电阻分量消耗的功率，所以有功功率又可以用N0中每一个电阻消耗的有功功率之和来表示，即

(5-63)

式中，n是N0中所包含电阻元件的个数；Rk、Ik、Pk分别是第k个电阻元件的阻值、电流有效值和有功功率。

2.无功功率Q

在电路分析中将能量交换的最大值称为无功功率Q，定义为

Q=UIsinθZ(5-64)

Q越大，电路储能的能力就越强。Q的单位为无功伏安，简称乏(var)。根据阻抗角的定义，当θZ<0时，电流超前于电压，网络呈容性，Q<0；当θZ>0时，电流滞后于电压，网络呈感性，Q>0；当θZ=0时，电流与电压同相，网络呈阻性，Q=0，此时网络与外电路没有能量交换，但其内部电容电感之间仍可存在能量交换。根据定义可知三种基本电路元件的无功功率分别为

QR=UIsin0°=0,QL=UIsin90°=UI,

QC=UIsin(－90°)=－UI

上式表明，N0的无功功率等于每个电抗元件的无功功率的和，即

Q=∑QL+∑QC

3.视在功率S

在电工技术中，将二端网络端口电压和电流有效值的乘积称为视在功率S，定义为

S=UI

(5-65)

参照公式(5-60)，功率因数又可定义为

(5-66)视在功率单位为伏安(VA)。在工程上，通常用视在功率S来衡量一个电气设备带负载的能力。例如某一变压器工作时的端电压U=220V，能供出的最大视在功率为22000VA，则变压器允许通过的最大端电流为I=

=100A。请特别注意，和有功功率、无功功率不同，视在功率是不守恒的。一般来说，∑S≠0，即一个网络吸收(供出)的视在功率不等于网络中各元件吸收(供出)的视在功率之和。所以，S1+S2+…的值是没有任何物理意义的。对于单个阻抗Z而言，考虑到U=|Z|I，故单个阻抗上的视在功率的计算式可写为

(5-67)

4.复功率

为了方便用相量法分析正弦稳态电路各种功率之间的关系，引入复功率的概念。如图5-24(a)所示无源二端网络N0，设其端口电压、电流相量分别为

则复功率定义为

(5-68)式中表示电流相量的共轭复数。将和代入式

(5-68)，有

(5-69)

由式(5-69)可见，复功率是以有功功率P为实部，无功功率Q为虚部，视在功率S为模，阻抗角θZ为幅角的复数，其单位与视在功率同为伏安(VA)。P、Q、S和θZ构成一个如图5-25所示的直角三角形，该三角形称为功率三角形。图5-25功率三角形在相量分析法中，如果已知二端网络端口电压和电流相量，利用式(5-69)可方便地求出网络的P、Q、S、λ。单个阻抗上的复功率也可以使用下面的方法计算：

(5-70)利用复功率进行计算的另一个优点是复功率是守恒的。可以证明(证明从略)

即一个网络吸收(供出)的复功率等于各元件吸收(供出)的复功率之和。注意，复功率的引入只为计算方便，其本身无实际物理意义。

例5-15已知关联参考方向下无源二端网络的端口电压u(t)和i(t)分别为

(1)u(t)=20cos314tV，i(t)=0.3cos314tA;

(2)u(t)=10cos(100t+70°)V，i(t)=2cos(100t+40°)A;

(3)u(t)=10cos(100t+20°)V，i(t)=2cos(100t+50°)A。

求各种情况下的P、Q、S。

解

(1)由已知条件可得端口电压及电流相量分别为

因此

故

网络呈阻性。，

(2)由已知条件可得端口电压及电流相量分别为

因此

故

网络呈感性。，

(3)由已知条件可得端口电压及电流相量分别为

因此

故，网络呈容性。

例5-16一个负载由电压源供电，已知视在功率为6VA时，负载的功率因数为0.8(滞后)。现在并联上一个电阻负载，其吸收功率为4W。求并联电阻后，电路的总视在功率和功率因数。

解由题意知原负载为感性负载，其有功功率及无功功率为

PL=SLcosθZ=6×0.8=4.8W

sinθZ=sin(arccos0.8)=0.6

QL=SLsinθZ=6×0.6=3.6var并联电阻后，无功功率不变，有功功率为

P=PL+PR=4.8+4=8.8W

并联电阻后，电路的总视在功率及功率因数为

例5-17如图5-26所示，已知某感性负载接于电压220V、频率50Hz的交流电源上，其吸收的平均功率为40W，端口电流I=0.66A。试求感性负载的功率因数。如欲使电路的功率因数提高到0.9(滞后)，则需并联多大的电容C？

解选端口电压为参考正弦量，设=220∠0°V，由题意可得感性负载的功率因数为

故感性负载的阻抗角为

θZ=arccos0.275=74°图5-26例5-17图并联电容后，设电源输出总电流相量及电容电流相量

的参考方向如图5-26所示，而且功率因数提高到0.9(滞后)，则

并联电容后，电路的总阻抗角为(由“滞后”可知电路为感性，阻抗角大于0)

θZ′=arccos0.9=25.8°

可得则电容电流相量为

又

故需并联C=7.9μF的电容。5.6.2最大功率传输

前面电阻电路部分已介绍了电阻电路中的最大功率传输问题，下面我们将分析正弦稳态电路中的最大功率，即正弦稳态电路的最大有功功率。

如图5-27(a)所示，NS为一含源二端网络，ZL为可调阻抗，最大功率传输问题要研究的是当Z取何值时，其上可获得最大的有功功率。图5-27最大功率传输根据戴维宁定理，NS可以等效为一个戴维宁的模型，设其等效电路中的电压源和阻抗分别为和Z0(Z0=R0+jX0)，它们均为给定的不变量，可变负载阻抗为ZL=RL+jXL。由图5-27(b)可知，负载电流

(5-71)

因此

(5-72)则负载吸收的有功功率为

(5-73)

由于变量XL只出现在分母中，因此对任意的RL，当

XL=－X0时分母最小，此时

上式中RL为变量，令

解得

RL=R0综上所述，可获得最大功率的条件为

(5-74)

也就是当负载阻抗ZL与信号源阻抗Z0共轭时，负载可从信号源获得最大功率，最大功率为

(5-75)

上述获得最大功率的条件称为最佳匹配或共轭匹配。

例5-18已知正弦稳态电路如图5-28(a)所示。若ZL可变，试问ZL为何值可获得最大功率？最大功率为多少？

解先求负载ZL以左电路的戴维宁等效电路。

(1)求开路电压，此时电路如图5-28(b)所示，则有图5-28例5-18图

(2)求等效阻抗Z0，此时电路如图5-28(c)所示，则有

Z0=j4∥(2+2)=2+j2Ω

根据负载获得最大传输功率的条件可得：当

时可获得最大功率，且最大功率为5.7谐振电路

谐振电路是一种特殊的正弦电路，由电阻、电感、电容和角频率为ω的正弦电源组成。按照连接方式的不同，谐振电路又分为串联谐振和并联谐振电路。

谐振与力学上的共振类似。当正弦电源的频率与谐振电路的固有频率相等时，谐振电路对外电路呈现阻性，即其端电压与端电流同相位，此时在电路中会产生很大的谐振电流(或电压)，这时称电路发生了谐振，或称电路处于谐振状态。使电路发生谐振的操作方法称为调谐。由于谐振电路会产生很大的振荡电流(或电压)，因而可以从众多的不同频率信号中选择出需要的信号。谐振电路具有的这种频率选择性，使它在电信技术中得到了广泛应用；另一方面，在电力系统中，由于电压或电流较高，发生谐振则会危及或破坏电路的正常工作。因而要研究谐振，以便扬长避短。5.7.1谐振产生的条件

如图5-29所示，N0为一无源二端网络，同时含有电容和电感元件，若端电压和端电流同相，就称网络N0产生了谐振。

从端口看，图5-29所示的无源二端网络N0可以等效为一个阻抗Zeq=R+jX或一个导纳Yeq=G+jB。当网络N0产生谐振时，由于端电压和端电流同相，所以从端口看N0呈阻性，故谐振产生的条件就是要求Zeq=R是一个纯电阻，即要求X=0，或者要求Yeq=G是一个纯电导，即要求B=0。图5-29无源二端网络5.7.2

RLC串联谐振电路

1.串联谐振产生的条件

如图5-30所示的RLC串联电路，其等效阻抗为

(5-76)

根据谐振产生的条件可知，如果当正弦角频率ω变到ω0，RLC串联电路产生谐振，必有X=0，即

(5-77)图5-30

RLC串联谐振电路由式(5-77)可得

(5-78)

式中，ω0称为串联谐振角频率；f0称为串联谐振频率。可见，谐振角频率和频率只和电路的固有参数L、C有关，所以ω0(f0)也称为电路的固有角频率(频率)。式(5-77)就是RLC串联电路产生谐振的条件。由式(5-76)可知，要使电路产生谐振有两种方法：

(1)在L、C不变的情况下，调节输入信号的角频率ω以满足式(5-77)；

(2)在ω不变的情况下调节参数L、C以满足式(5-77)。

2.串联谐振电路的特点

如图5-30所示，设电压，则电流

(5-79)

(1)谐振时端电流I=I0达到最大。在U和R保持不变的情况下，当电路产生谐振时，，此时端电流为最大值

(5-80)

(2)谐振时感抗与容抗相等，通常将谐振时的感抗或容抗称为谐振电路的特性阻抗，用字母ρ表示，即

(5-81)

式(5-81)说明特性阻抗ρ只取决于电路参数L和C的大小，与谐振频率无关。ρ具有电阻的量纲，是串联谐振电路的重要二次参数。

(3)在工程中，通常用电路的特性阻抗与电路的电阻阻值相比来表征谐振电路的性质，此比值称为串联谐振电路的品质因数，用字母Q表示，即

(5-82)

式(5-82)说明品质因数Q只取决于电路参数R、L和C的大小，与谐振频率无关。Q是串联谐振电路无量纲的重要二次参数。

(4)当ω=ω0谐振时

(5-83)由式(5-83)可知谐振时电抗元件L、C上的电压相量大小相