广西2024届高三第四次模拟考试数学试卷含解析

广西2024届高三第四次模拟考试数学试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知是球。的球面上两点,殳渡图二为为该球面上的动点.若三棱锥0-H3C体积的最大值为36,则球0

的表面积为（）

A.36兀B.6471C.144兀D.256兀

22

2.已知双曲线、—£=l（a>0,b>0）,过原点作一条倾斜角为1直线分别交双曲线左、右两支P,Q两点，以线

段PQ为直径的圆过右焦点F,则双曲线离心率为（）

A.72+1B.V3+1C.2D.75

3.2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遣到A、B、。三个贫

困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A县的分法有（）

A.6种B.12种C.24种D.36种

4.设过点户（乂），）的直线分别与X轴的正半轴和>轴的正半轴交于A3两点，点Q与点夕关于〉轴对称，O为坐标

原点，若BP=2PA，且OQA6=1,则点〃的轨迹方程是（）

33

A.—x2+3y2=l(x>0,^>0)B.—x2-3y2=1(x>0,y>0)

33

C.3x2~~y2=1(^>0,y>0)D.3x2+—y2=l(x>0,y>0)

5.若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()

皿口

P

A.240B.264C.274D.282

4x—y2

6.不等式••二i的解集记为。，有下面四个命题：〃］：V（X,），）WO,2），-A;,5；〃2：玉x,y）wQ,2y—x..2；

x+y,3

:V（x、y）£。2y一其，2；T（x,y）£。,2y一工.4淇中的真命题是（）

A.P\,P2B.〃2，P3c・〃|，P3D・〃2，〃4

7.若a>b>0,OVcVL则

ccab

A.logaC<logbCB.Iogca<logcbC.a<bD.c>c

8.设函数/("=访(1+国)一^^\,则使得/(x)>/(1)成立的x的取值范围是().

A.(1,+8)B.(-oo,-l)u(l,+oo)

C.(-1J)D.(-1,O)U(O,I)

9.已知aA/JC的垂心为“，且AB=6,8C=8,M是4。的中点，则HM.AC二（）

A.14B.12D.8

10.已知函数/（为二以）$工与义工）=由11（2工+8）（0,,0<1）的图象有一个横坐标为g的交点，若函数g（x）的图象的

纵坐标不变，横坐标变为原来的,倍后，得到的函数在［0,2m有且仅有5个零点，则①的取值范围是（）

（0

2935)2935

24524

r29生、(2935

<24*24;\JA'2A

11.已知集合乂=@Iy=F,x>0},N={xIy=lg(2x—二•)},则MAN为()

A.(1,H-oo)B.(1,2)C.[2,+s)D.[1,+00)

12.已知向量4与b的夹角为。，定义oxb为。与的“向量积%且是一个向量，它的长度axZ?=absin。，

若〃二(2,0),"-口=(1,一百)，则〃x(〃+u)卜()

A.4、/JB.V3

C.6D.2x/3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有种（用数

字回答）.

14.在AA8C中，角A,B,。的对边长分别为。，b,满足/-2a（sinB+GcosB）+4=0,b=2币,则AA8C

的面积为一.

15.在编号为1,2,3,4,5且大小和形状均相同的五张卡片中，一次随机抽取其中的三张，则抽取的三张卡片编号

之和是偶数的概率为.

16.已知i为虚数单位，且“一2"—），=-1+，，贝Ijx+y=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）秉持“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，为推动新能源汽车产业迅速发展，有必要调查研究

新能源汽车市场的生产与销售,下图是我国某地区2016年至2019年新能源汽车的销量（单位：万台）按季度（一年四

个季度）统计制成的频率分布直方图.

（1）求直方图中。的值，并估计销量的中位数；

（2）请根据频率分布直方图估计新能源汽车平均每个季度的销售量（同一组数据用该组中间值代表），并以此预计

202（）年的销售量.

18.（12分）已知acR,函数/（工）=叱一工一1,<?（x）=x-ln（x+l）（e=2.71828是自然对数的底数）.

（I）讨论函数/（工）极值点的个数；

（II）若4=1,且命题“以«0,+8）,/（工）之依"尸是假命题，求实数%的取值范围.

19.（12分）已知数列｛〃”｝的通项%=2i（〃£N'），数列｛〃｝为等比数列，且打，?，〃川成等差数列.

（1）求数列｛"｝的通项；

（2）设cn=bnlog2%,求数列｛%｝的前〃项和Sn.

22

20.（12分）已知椭圆C：与+£=（/>〃>（））的两个焦点是小尸2,在椭圆。上，且周=4,

。为坐标原点，直线/与直线OM平行，且与椭圆交于A,3两点.连接M4、A仍与工轴交于点O,E.

（1）求椭圆。的标准方程；

（2）求证：|。。+0耳为定值.

21.（12分）某企业原有甲、乙两条生产线，为了分析两条生产线的效果，先从两条生产线生产的大量产品中各抽取

了100件产品作为样本，检测一项质量指标值.该项指标值落在［20,40）内的产品视为合格品，否则为不合格品.

甲生产线样木的频率分布图

乙生产线样本的频数分布表

质量指标[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45]合计

频数218481416210()

（1）根据甲生产线样本的频率分布直方图，以从样本中任意抽取一件产品且为合格品的频率近似代替从甲生产线生产

的产品中任意抽取一件产品且为合格品的概率，估计从甲生产线生产的产品中任取5件恰有2件为合格品的概率;

（2）现在该企业为提高合格率欲只保留其中一条生产线，根据上述图表所提供的数据，完成下面的2x2列联表，并

判断是否有90%把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关？若有90%把握，请从合格率的角度分析

保留哪条生产线较好?

甲生产线乙生产线合计

合格品

不合格品

合计

n(ad-bc)2

附：K2=,n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(。+c)3+d)

P(K2次）0.1500.1000.0500.025().0100.005

2.0722.7063.8415.0246.6357.879

22.（10分）设前〃项积为7；的数列｛4｝,（4为常数），且3r（是等差数列.

（I）求人的值及数列｛q｝的通项公式;

（口）设S“是数列低｝的前〃项和，且2=（2〃+3）7；,求邑”一邑―2〃的最小值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥。-A8C的体积最大，设球。的半径为R,此时

Vo-ARC=Vc-AOB=-x-X/?=-=36,故A=6，则球。的表面积为5=4乃犬=144乃，故选C.

326

考点：外接球表面积和椎体的体积.

2、B

【解析】

求得直线PQ的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得P,Q两点坐标的关系，根据/Q_L严列方程，化简后

求得离心率.

【详解】

设依题意直线PQ的方程为y=后，代入双曲线方程并化简得

22222

->crb2c13abj八-crb-3ab-、几台上小心二

厂=不——=3x~=——―,故％+x）=0,占•x,一—r,y.）’2=3^|,^=―—―f设焦点坐标为

b-3a"Ir-3a"~~b~-3a~~b-3a

F（c,O）,由于以P。为直径的圆经过点尸，故/P/Q=O,即（不一。,％）・（赴一。,〉，2）=0,即4x马+，=0,即

b4-6a2b2-3a4=0,两边除以/得电-6(g)-3=0,解得［g)=3+20.故

e=Jl+(2'="+26=6+1，故选B.

【点睛】

本小题主要考查直线和双曲线的交点，考查圆的直径有关的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题.

3、B

【解析】

分成甲单独到A县和甲与另一人一同到A县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到A县的分法数.

【详解】

如果甲单独到A县，则方法数有C；x&=6种.

如果甲与另一人一同到A县，则方法数有C；x£=6种.

故总的方法数有6+6=12种.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基础题.

4、A

【解析】

设A3坐标，根据向量坐标运算表示出=224,从而可利用元)'表示出〃/；由坐标运算表示出OQ.A8=1,代

入。，〃整理可得所求的轨迹方程.

【详解】

设A(a,0),B(0力),其中a>0,b>0

3x八

x=2(cz-x)ci=—>0

•・•BP=2PA(%)'_〃)=2(a—苍_y),即《2

y-b=-2y

b=3y>0

•••P,Q关于丫轴对称Q(-x,y)

OQ-AB=(-x,y)•(-a,Z?)=ar+by=1—x2+3y2=l(x>0,y>())

故选：4

【点睛】

本题考查动点轨迹方程的求解，涉及到平面向量的坐标运算、数量积运算；关键是利用动点坐标表示出变量，根据平

面向量数量积的坐标运算可整理得轨迹方程.

5、B

【解析】

将三视图还原成几何体，然后分别求出各个面的面积，得到答案.

【详解】

由三视匿可得，该几何体的直观图如图所示，

延长BE交DF于A点,

其中A8===6,AE=3fAF=4,

3x4

所以表面积S=(36x5+3x6)+—^-x2+4x6+30=264.

故选B项.

【点睛】

本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题

6、A

【解析】

作出不等式组表示的可行域，然后对四个选项一一分析可得结果.

【详解】

作出可行域如图所示，当x=l,y=2时，(2y-x)nm=3,即与-工的取值范围为(一处引，所以

V(x,y)GDf2y-x,,5,月为真命题;

3(x,y)€D,2y-x..2,p2为真命题；p,,p4为假命题.

故选：A

此题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于中档题.

7、B

【解析】

,occ=

试题分析：对于选项A,ga=7^-J0gb7^r>vO<c<l»而。所以IgQAlg。，但不

Igalgb

能确定lgC7、lg人的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B,log,“二用Jog/〉二阴，两边同乘以

IgeIge

一个负数「一改变不等号方向，所以选项B正确;对于选项C,利用v=x,在第一象限内是增函数即可得到/>//,

lgC

所以C错误;对于选项D,利用y=c'在R上为减函数易得vcJ所以D错误.所以本题选B.

【考点】指数函数与对数函数的性质

【名师点睛】比较幕或对数值的大小,若幕的底数相同或对数的底数相同，通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比

较；若底数不同，可考虑利用中间量进行比较.

8、B

【解析】

由奇偶性定义可判断出/（X）为偶函数，由单调性的性质可知/（X）在［0,T8）上单调递增，由此知/（X）在（-00,0］上

单调递减，从而将所求不等式化为国>1，解绝对值不等式求得结果.

【详解】

由题意知：/（X）定义域为R,

/（r）=m（i+|T）_1+（：）2=m（i+k|）_^r=〃r）,「./（x）为偶函数，

当xNO时，/(x)=ln(l+x)-----

1IX

,y=ln(l+x)在［0,+8)上单调递增，y=2在［°，+8)上单调递减，

.-./(X)在［0,小)上单调递增，则/(x)在(-oo,0］上单调递减，

由/(可＞〃1)得：凶＞1,解得：］或x＞l,

\x的取值范围为(Y),-1)U(1,+8).

故选：B.

【点睛】

本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的

作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式.

9、A

【解析】

由垂心的性质，得到BHAC=()，可转化HM.4C=BM.AC，又8M•AC=g(84+3C)-(3C—84)即得解.

【详解】

因为“为.A3c的垂心，所以3〃_L4C,

所以AH.4d=0，而HM=HB+BM，

所以“M•AC=("3+BM)AC=BMACf

因为M是AC的中点，

所以4MAe=2(BA+BC)(BC—M)

2

=-(BC2-BA)=1(64-36)=14.

22

故选：A

【点睛】

本题考查了利用向量的线性运算和向量的数量积的运算率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于

中档题.

10、A

【解析】

根据题意，cosg=sin§24+0,求出夕=2It,所以g(x)=sin2x+J71,根据三角函数图像平移伸缩，即可求出①

3kI3)66ko76J

的取值范围.

【详解】

已知/(X)=cos冗与g(x)=sin(2x+0)(0,,。＜不)的图象有一个横坐标为?的交点,

71.

贝I]cosy=sin(T+4

212不5不

——+06——

313T

2万5万71

——+(o=——・二(D=—

366

g(x)=sin(2九+不),

若函数g(x)图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的■!1■倍，则＞，=0抽|2④r+f,

(06J

JT71,冗

所以当川［0,2汨时，1COX+-£—,4w+—,

666

/3)在［0,2幻有且仅有5个零点,

_.71,

5冬，4,W+—<6乃,

6

2935

/------,,6)<-----.

2424

故选：A.

【点睛】

本题考查三角函数图象的性质、三角函数的平移伸缩以及零点个数问题，考查转化思想和计算能力.

11、B

【解析】

.Z>0)=(Z|Z>/),

।二=，仁|二.=：g(：zi-二川=｛Zm-二：＞0

=｛二|二;一二＜0：=｛二二＜2),

ADA(L3).

故选3.

12、D

【解析】

先根据向量坐标运算求出〃+u=（3,6）和cos（〃,〃+”,进而求出+代入题中给的定义即可求解.

【详解】

由题意u=-u)=(l,6),贝ij〃+u=(3,石)，cos(

〃，得+由定义知

U+V一2'

)=2x2>/3xl=2x/3,

ux(〃+u)=|«|-|w+vsin+u

故选:D.

【点睛】

此题考查向量的坐标运算，引入新定义，属于简单题目.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、135

【解析】

根据题意先确定2个人位置不变，共有C：=15种选择，再确定4个人坐4个位置，但是不能坐原来的位置，计算得

到答案.

【详解】

根据题意先确定2个人位置不变，共有C：=15种选择.

再确定4个人坐4个位置，但是不能坐原来的位置，共有3x3xlxl=9种选择,

故不同的坐法有15x9=135.

故答案为：135.

【点睛】

本题考查了分步乘法原理，意在考查学生的计算能力和应用能力.

14、2#.

【解析】

由二次方程有解的条件，结合辅助角公式和正弦函数的值域可求5,进而可求。，然后结合余弦定理可求J代入

Sgsc=；〃c、sinB,计算可得所求.

【详解】

解：把4-2a(sinB+Geos4)+4=0看成关于。的二次方程,

则ANO,即4(sinB+Gcos8)2—16N0,

即为42sin(8+?j-16>0,

化为sin2(8+()»1,而sin?B+?<1,

则sin2(B+?=1,

由于0<8<%，可得一vBT—<—,

333

可得8+工=巳，即8=巳，

326

代入方程可得，/一44+4=0,

由余弦定理可得，cosC=4+：28=立,

62x2c2

解得：c=46(负的舍去),

故答案为2G.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的根的存在条件及辅助角公式及余弦定理和三角形的面积公式的应用，属于中档题.

3

15、-

5

【解析】

先求出所有的基本事件个数，再求出“抽取的三张卡片编号之和是偶数”这一事件包含的基本事件个数，利用古典概型

的概率计算公式即可算出结果.

【详解】

一次随机抽取其中的三张，所有基本事件为：

b2,3；1,2,4；1,2,5；1,3,4；1,3,5；1,4,5；2,3,4；2,3,5；2,4,5；3,4,5；共有10个，

其中“抽取的三张卡片编号之和是偶数”包含6个基本事件，

因此“抽取的三张卡片编号之和是偶数”的概率为：卷=|♦

故答案为：

J

【点睛】

本题考查了古典概型及其概率计算公式，属于基础题.

16、4

【解析】

解：利用复数相等，可知由x-2=l,y=l有x+)，=4.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)々=0.1125,中位数为16；(2)新能源汽车平均每个季度的销售量为17万台，以此预计2020年的销售量约

为17万台.

【解析】

(1)根据频率分布直方图中所有矩形面积之和为1可计算出。的值，利用中位数左边的矩形面积之和为0.5可求得销

量的中位数的值；

(2)利用每个矩形底边的中点值乘以相应矩形的面积，相加可得出销量的平均数，由此可预计2020年的销售量.

【详解】

(1)由于频率分布直方图的所有矩形面积之和为1,

则(0.0125+1+0.075+0.025x2)x4=1,解得々=0.1125,

由于(0.0125+0.1125)x4=0.5,因此，销量的中位数为16；

(2)由频率分布直方图可知，新能源汽车平均每个季度的销售量为

10x0.05+14x0.45+18x0.3+22x0.1+26x0.1=17(万台)，

由此预测2020年的销售量为17万台.

【点睛】

本题考查利用频率分布直方图求参数、中位数以及平均数的计算，考查计算能力，属于基础题.

18、(1)当公0时，/")没有极值点，当时，/(X)有一个极小值点.⑵(1,+?)

【解析】

试题分析：(1)r(x)=aex-l,分a<0,a>0讨论，当aWO时，对DxwR,C(x)=aex-1<0,当a>0时

f'(x)=O,解得x=—lna,f(x)在(一8,-1皿)上是减函数，在(一1叫+动上是增函数。所以，当a40时，f(x)没

有极值点，当a>0时，f(x)有一个极小值点.(2)原命题为假命题，则逆否命题为真命题。即不等式f(x)<kg(x)

在区间［0,+8)内有解。设F(x)=f(x)-kg(x)=ex+kln(x+l)-(k+l)x-l,所以F'(x)=e'+---

X+1

ik

一(k+l),设h(x)=ex+右一(k+l),则h'(x)=e'—商了，且h<x)是增函数，所以h'(x"h'(O)=l-ko

所以分k〈l和k>l讨论。

试题解析：(I)因为f(x)=ae'-x—l,所以f'(x)=aex-l,

当a<0时，对DxeR,ff(x)=aex-1<0,

所以“X)在(-8,+8)是减函数，此时函数不存在极值，

所以函数“X)没有极值点；

当a>0时，f'(x)=aex-1,令f'(x)=0,解得x=-lna,

若x£(--lna),则f<x)v0,所以f(x)在(-8,-lna)上是减函数,

若x£(-1叫小功，则f，(x)>0,所以f(x)在(—Ina,+8)上是增函数，

当x=-Ina时，f(x)取得极小值为f(—Ina)=Ina,

函数f(x)有且仅有一个极小值点x=-Ina,

所以当aWO时，f(x)没有极值点，当a>0时，f(x)有一个极小值点.

(II)命题“Vx<0,十的，f(x)Nkg(x)”是假命题，JU!|«3XG[0,-H»),f(x)vkg(x)”是Q命题,即不等式

f(x)<kg(x)在区间[0,+3)内有解.

若a=1,则设F(x)=f(x)-kg(x)=ex+kln(x+l)-(k+l)x-l,

所以F(x)=ex+士-(k+1),设h(x)=ex+士-(k+1),

k

则h'(x)=e'_(x+i)2,且h'(x)是增函数，所以h'(x))h'(O)-1-k

当k<l时，h\x)>0,所以h(x)在［0,+“)上是增函数,

h(x)>h(O)=O,即F(x)NO,所以F(x)在[0,+8)上是增函数,

所以F(x)>F(0)=0,即f(x)2所(x)在x€[0,+o>)上恒成立.

k

当k>l时，因为h'(x)=。一濡可在［。,+8)是增函数,

因为h'(0)=l-k<0,hz(k-l)=

所以h'(K)在(0,k-1)上存在唯一零点x0,

,

当xw［O,Xo)时,h\x)<h(xo)=O,h(x)在［0,x0)上单调递减，

从而h(x)Kh(O)=O,即F(x)«O,所以F(x)在［0,x0)上单调递减,

所以当xw(O,x。)时,F(x)<F(O)=O,即f(x)vkg(x).

所以不等式f(x)<kg(x)在区间[0,+力)内有解

综上所述，实数k的取值范围为(1,+8).

19、(1)(2)=-x[(/?-1).2,,+,+2](nG).

33

【解析】

(1)根据2，％,成等差数列以及｛"｝为等比数列，通过直接对〃进行赋值计算出｛4｝的首项和公比，即可求

解出｛2｝的通项公式；

(2)｛qj的通项公式符合等差乘以等比的形式，采用错位相减法进行求和.

【详解】

(1)数列也｝为等比数列，且“，见，加成等差数列.

•.也+%=2。〃=2"

设数列仞}的公比为夕，

4+%=2」4(1+4)=2\b{=-

-4+8=4，丽(1+34，\q=2

.\h=-x2M-'=—(//€TV*)

"33、)

2〃4

⑵・・・C”=^,-10g2art+1=—xH(He/V)

J

S=-x1x2'4--x2x22+—x3x2'+••+-x(/?-l)x2n1+—x/?x2n,

"3333v73

234,,+l

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31-23

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J

【点睛】

本题考查等差、等比数列的综合以及错位相减法求和的应用，难度一般.判断是否适合使用错位相减法，可根据数列的

通项公式是否符合等差乘以等比的形式来判断.

20、(1)—+21=1(2)证明见解析

42

【解析】

(1)根据椭圆的定义可得。=2,将M代入椭圆方程，即可求得〃的值，求得椭圆方程；

(2)设直线AB的方程，代入椭圆方程，求得直线M4和MB的方程，求得。和E的横坐标，表示出|。。+。日，根

据韦达定理即可求证|。。+OE\为定值.

【详解】

⑴因为|“用+|咋|=4,由椭圆的定义得2。=4,〃=2,

点M(a,1)在椭圆C上，代入椭圆方程，解得6=2,

所以。的方程为工+工=1；

42

(2)证明：设A(%,y),直线48的斜率为岑，设直线/的方程为)，=当工十小

五

y=——x+t

联立方程组广，之，，消去)'，整理得f+&优+/-2=(),

J二二1

42

所以％+9=—"，玉々二产一2，

直线M4的直线方程为＞一1=六£卜一0),令＞=0,则与=-1等+JL

同理/二一土二返+血，

所以:如叫臂+层喑+年,一传与喑］

行后押2-(玉+工2)+。-。1

(y.-l)(y2-l)

代入整理得|。。+OE\=2V2,

所以|OQ+OE|为定值.

【点睛】

本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，属于中档题.

21、(1)0.0081(2)见解析，保留乙生产线较好.

【解析】

(1)先求出任取一件产品为合格品的频率，“从甲生产线生产的产品中任取5件，恰有2件为合格品”就相当于进行5次

独立重复试验，恰好发生2次的概率用二项分布概率即可解决.(2)独立性检验算出K2的观测值即可判断.

【详解】

(1)根据甲生产线样本的频率分布直方图，样本中任取一件产品为合格品的频率为：

0.032x5+0.080x5+0.032x5+0.036x5=0.9.

设“从甲生产线生产的产品中任取一件且为合格品”为事件A,事件A发生的概率为〃，则由样本可估计p=0.9.

那么“从甲生产线生产的产品中任取5件，恰有2件为合格品”就相当于进行5次独立重复试验，事件A恰好发生2次,

其概率为：*/(I一〃0.0081.

(2)2x2列联表：

甲生产线乙生产线合计

合格品9096186

不合格品10414

合计100100200

200x(90x4-96x10)2

K?的观测值2=a2.765,

186x14x100x100