线性代数-总复习研究报告

总复习第一章行列式

1、了解行列式的概念；3、会用行列式的性质和展开定理计算行列式；

2、掌握行列式的性质和展开定理；

4、掌握几种特殊行列式的计算。

5、会用克莱母(Cramer)法则;第二章矩阵

2.理解逆矩阵的概念,掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件,理解伴随矩阵的概念,会求逆矩阵。

3.掌握矩阵的初等变换,了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念。

4.了解分块矩阵及其运算。

1.理解矩阵的概念,了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵,以及它们的性质;掌握矩阵的线性运算、转置、乘法、方阵的幂与方阵的行列式。第三章向量线性关系秩1.理解n维向量的概念以及向量的线性运算;

2.理解向量组的线性组合与线性表示的概念;

3.理解向量组线性相关,线性无关的定义,了解并会用向量组线性相关,线性无关的有关性质及判别法;

4.理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念,会求向量组的极大无关组和秩，理解向量组等价的概念;5.理解矩阵秩的概念及与向量组秩的关系及其计算．第五章线性空间与线性变换

1.了解向量空间,子空间,维数,基底,坐标等概念;

2.了解基变换和坐标变换公式,会求过渡矩阵;

3.了解线性变换的概念，会求线性变换的矩阵；

5.了解规范正交基,正交矩阵的概念,以及它们的性质.

4.了解Euclid(欧几里得)空间及内积的概念,掌握将线性无关向量组正交化的施密特(Schmidt)正交化方法;第六章矩阵的特征值与特征向量

1.了解矩阵的特征值和特征向量的概念及其求法;

2.了解矩阵的特征值和特征向量的性质;

3.了解相似矩阵的概念及性质;

4.掌握将(实对称)矩阵(正交)相似对角化的方法.第七章二次型

1.掌握二次型及其矩阵表示,了解二次型秩的概念,了解合同变换与合同矩阵的概念,了解二次型的标准形和规范形的概念以及惯性定理;

2.掌握用正交变换化二次型为标准形的方法,会用配方法化二次型为标准形;

3.理解正定二次型和正定矩阵的概念,掌握其判别法.典型例题1＊.计算24页：11(1),(3),(4),122.(051,2,4)(4分)设

1,2,3均为3维列向量,记矩阵A=(

1,2,3),B=(

1+2+3,1+22+43,1+32+93),如果|A|=1,求|B|.

解法一|B|=|

1+2+3,1+22+43,1+32+93|=|

1+2+3,2+33,2+53|=|

1+2+3,2+33,23|=2|

1+2+3,2+33,3|=2|

1+2,2,3|=2|

1,2,3|=2|A|=2

B=(

1+2+3,1+22+43,1+32+93)解法二由于所以求矩阵B.3*.(951)设三阶方阵A,B满足关系式A-1BA=6A+BA,且

解

A-1BA=6A+BA

B-AB=6A

A-1B=6E+B

B=6A+AB

B=6(E-A)-1A,即49页：10,11,12,184.(041,2)设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,求满足AQ=C的可逆矩阵Q.解由已知有:B=AP[1,2],C=BP[2+3(1)],所以有:Q=P[1,2]P[2+3(1)]于是，C=AP[1,2]P[2+3(1)],5*.(063,4)设4维向量组问a为何值时1,2,3,4线性相关?当1,2,3,4线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余量用该极大线性无关组线性表出.解由于所以,a=0或a=-10时,

1,2,3,4线性相关.a=0时,由于此时R(A)=1,

1是一个极大线性无关组,且有

2=2

1,3=3

1,4=4

1a=-10时,由于可见,此时R(A)=3,

1,2,3是一个极大线性无关组,且

4=-

1-

2-

3.64页：6,7,12,156**.取何值时,方程组无解,有唯一解或有无穷多解?并在有无穷多解时写出方程组的通解.解由于方程组的增广矩阵为可见,当=-4/5时,R(A)=2,R(A|b)=3,方程组无解.当-4/5,且-1时R(A)=R(A|b)=3,方程组有唯一解.当=-1时,有所以,有R(A)=R(A|b)=2,方程组有无穷多解,且通解为或写成也可以写成向量形式7.(043)(4分)设n阶矩阵A的伴随矩阵A*0,若是非齐次线性方程组的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组的基础解系()(A)不存在.(B)仅含一个非零解向量.(C)含有两个线性无关的解向量.(D)含有三个线性无关的解向量.

解由于A*

0,所以存在某个Aij0,于是R(A)n-1.

又由于Ax=b的解不唯一,故R(A)＜n.于是R(A)=n-1.

B所以,方程组Ax=0的解空间是1维的.故应选(B).78页：5;79页:9,17**.117页：2(2),(3);3(1),(2);8**.135页：2(2),(3);5行列式的概念定义由n个数1,2,3,…,n所组成的一个有序数组称为一个n级排列。一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。其中，ti是比pi大的且排在pi

前面的数的个数．定理对排列进行一次对换,改变排列的奇偶性。定义行列式的性质

性质1行列式与其转置行列式相等,即D=DT。

性质2行列式可以按行(列)提取公因子.行列式的性质

性质3行列式两行(列)互换，行列式变号.

性质4行列式某两行(列)元素相同,则行列式为零。

性质5行列式某两行(列)元素成比例,则行列式为零。行列式的性质

性质6若行列式的某一行(列)的元素都是两个数之和,则行列式可分成两个行列式之和。行列式的性质

性质7行列式某一行(列)的若干倍加到另一行(列)对应的元素上，行列式不变.行列式展开定理.行列式展开定理:行列式的值等于其任何一行(列)元素与其对应的代数余子式乘积之和.即.关于代数余子式的重要性质：Cramer法则及其应用

.Cramer法则

若D0,则Ax=b有唯一解:xi=Di/D

.解判定

Ax=0有非零解|A|=0.

Ax=0只有零解|A|0.

Ax=b有唯一解|A|0.

Ax=b无解|A|=0.

Ax=b有无穷多解|A|=0.特殊行列式的计算

.对角行列式,上(下)三角行列式:对角线元素乘积

.二、三阶行列式:对角线法则特殊行列式的计算

.Vandermonde行列式线性运算,乘法,转置,方阵的幂,方阵的行列式;

|AB|=|A||B|:A,B为同阶方阵.A+B:A,B为同型矩阵(行和列都相等);AB:A的列数等于B的行数,ABBAAB=0推不出A=0或B=0AB=AC或BA=CA推不出A=0或B=C矩阵的运算

|kA|=kn|A|,|A+B|

|A|+|B|逆矩阵可逆矩阵又称为非异阵或非奇异阵.

若AB=E(或BA=E)，则A可逆,且B=A-1(A为方阵)。（ⅰ）(A-1)

-1=A（ⅲ）(AT)-1=(A-1)T（ⅱ）(kA)-1

=1/kA-1（ⅳ）(AB)-1=B-1A-1逆矩阵的计算:A可逆

|A|0。（ⅴ）|A-1|

=1/|A|（ⅵ）(Ak)-1=(A-1)kA-k(A+B)-1

A-1+B-1

=伴随矩阵|A*|=|A|n-1(A*)-1=A/|A|=(A-1)*(A可逆时)AA*=A*A=|A|E,A可逆时有A*=|A|A-1(AT)*=(A*)T(cA)*=cn-1A*(AB)*=B*A*

(Ak)*=(A*)k(A*)*=|A|n-2An=2时有:初等变换与初等矩阵初等变换与初等方阵的关系：

初等变换:ri↔rj,k×ri,rj+kri,ci↔cj,k×ci,cj+cri

初等矩阵:P[i,j],P[i(k)],P[i+j(k)]矩阵的等价:A经初等变换变成B，称A与B等价；P-1[i,j]=P[i,j],P-1[i(k)]=P[i(1/k)],P-1[i+j(k)]=P[i+j(-k)]分块对角矩阵分块对角矩阵分块对角矩阵

设A为n阶方阵,若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块,其余子块都为零矩阵,且非零子块都是方阵,即则称A为分块对角矩阵,分块对角矩阵具有性质:（a）|A|=|A1||A2|…|As|（b）

定义给定向量组:

1,

2,…,

m,若存在一组数k1,k2,…,km,使:

=k1

1+k2

2+…+km

m,则称向量

可由向量组

1,

2,…,

m线性表示,也称向量

是向量组

1,

2,…,

m的线性组合.称可互相线性表示的两个向量组等价.向量组的线性表示向量

可由向量组

1,

2,…,

m线性表示当且仅当线性方程组x1

1+x2

2+…+xm

m=

有解.向量

可由向量组

1,

2,…,

m线性表示当且仅当向量组

1,

2,…,

m和

1,

2,…,

m,

有相同的秩.反之,线性方程组Ax=b有解当且仅当常向量b可由系数矩阵A的列向量组线性表示.如果矩阵A可经过初等行(列)变换变成矩阵B,则矩阵A和矩阵B的行(列)向量组等价.若C=AB,则矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示,而且矩阵B的各列恰是对应的表示式系数.向量组的线性表示实际上,由可得,

i=b1i

1+b2i

2+…+bmi

m.若C=AB,则矩阵C的行向量组能由矩阵B的行向量组线性表示,而且矩阵A的各行恰是对应的表示式系数.如果,则向量能用1,2,…,m唯一线性表示.而且此时有向量组的线性表示则表示式为:=a1

1+a2

2+…+am

m这是因为:(1,2,…,m)x=,即=x1

1+x2

2+…+xm

m的解为:x1=a1,x2=a2,…,xm=am如果,则向量能用1,2,…,m线性表示,但表示式不唯一.设此时有向量组的线性表示则表示式为:=(a1-c1r+1k1-…-c1mkm-r)

1+…+(ar-crr+1k1-…-crmkm-r)

r

+k1

r+1+…+km-r

m,k1,k2,…,km-2R

定义若存在一组不全为零的数k1,k2,…,ks,使:k1

1+k2

2+…+ks

s=0则称向量组

1,

2,…,

s线性相关,否则称线性无关.向量组的线性相关性向量组

1,

2,…,

s线性相关(线性无关)齐次线性方程组x1

1+x2

2+…+xs

s=0有非零解(只有零解).反之,齐次线性方程组Ax=0有非零解(只有零解)矩阵A的列向量组线性相关(线性无关)R(A)<s(R(A)=s).向量组

1,

2,…,

s(s2)线性相关向量组中至少有一个向量可由其余s-1个向量线性表示.

定理1若向量组有一个部分组线性相关,则此向量组线性相关.向量组的线性相关性

定理3设向量组

1,

2,…,

s线性无关,而向量组

1,

2,…,

s,

线性相关,则

可由

1,

2,…,

s线性表示,且表示式唯一.

定理2设向量组

1,

2,…,

s线性无关,将每个

i增加若干个分量得到的新的加长向量组仍然线性无关.

推论含有零向量的向量组必线性相关.推论线性无关向量组的任一部分组也线性无关.(ⅰ)

1,

2,…,

r线性无关;(ⅱ)

1,

2,…,

r,

线性相关(

是向量组中任一向量).定义若向量组T中的某个部分组

1,

2,…,

r,满足:则称

1,

2,…,

r是此向量组的一个极大线性无关向量组.向量组的最大无关组和秩称r是此向量组的秩,记为R(T)=r.矩阵的秩等于行向量组的秩也等于列向量组的秩.

向量组与它的任一极大线性无关组等价.若列向量组

1,

2,…,

r线性无关,则当(

1,

2,…,

r)A=0时,有A=0(其中A是矩阵).向量组的最大无关组和秩

推论1等价的线性无关向量组含有相同个数的向量.

定理若向量组

1,

2,…,

s可由向量组

1,

2,…,

t线性表示，则R{

1,

2,…,

s}R{

1,

2,…,

t}

推论3

向量组

1,

2,…,

p线性无关,且可由向量组

1,

2,…,

q

线性表示，则pq.

推论2等价的向量组具有相等的秩．

推论4

向量组

1,

2,…,

p可由向量组

1,

2,…,

q

线性表示，且p>q,则向量组

1,

2,…,

p线性相关.

推论5

任意n+1个n维向量线性相关.线性方程组的表示矩阵形式:Ax=b,Ax=0

向量形式:x1

1+x2

2+…+xn

n=

注意:方程组有解和系数矩阵(行列式),增广矩阵,以及向量组的线性表示,线性相关性之间的关系.x1

1+x2

2+…+xn

n=0解空间为V={x=k1

1+k2

2+…+kn-r

n-r|kiR}是n-r维的通解为:x=k1

1+k2

2+…+kn-r

n-r,

kiR(基础解系)

Am

nx=0,x1

1+x2

2+…+xn

n=0

齐次线性方程组有非零解R(A)=r<n

1,

2,…,

n线性相关

若只有零解R(A)=n

1,

2,…,

n线性无关

非齐次方程解+齐次方程解=非齐次方程解

Am

nx=b,x1

1+x2

2+…+xn

n=b

非齐次线性方程组无解R(A)R(A|b)b不能由

1,

2,…,

n线性表示.

唯一解R(A)=R(A|b)=n

1,

2,…,

n线性无关且b可由

1,

2,…,

n线性表示.

无穷多解R(A)=R(A|b)<n

1,

2,…,

n线性相关且b可由

1,

2,…,

n线性表示.

非齐次方程解-非齐次方程解=齐次方程解非齐次方程通解=非齐次方程特解+齐次方程通解若R(A)=R(A|b)=r<n,通解中含有n-r个任意实数.如果向量空间的一个基为1,

2,…,

r,向量可表示为:=a1

1+a2

2+…+ar

r,则称(a1,a2,…,ar)T为向量在基1,

2,…,

r下的坐标.向量空间对向量空间V1和V2,若V1V2,称V1是V2的子空间.

定义若非空向量集合V上定义了线性运算(满足8条性质),则称V是一个向量空间.把向量空间看成向量组,其极大线性无关组就是向量空间的基,其秩就是向量空间的维数.如果向量空间的一个基为1,

2,…,

r,则有V={1

1+

2

2+…+

r

r|

1,2,…,rR}

定义设

1,

2,…,

n和

1,

2,…,

n是V的两个基,矩阵C满足:(

1,

2,…,

n)C=(

1,

2,…,

n),则称矩阵C是基

1,

2,…,

n到基

1,

2,…,

n的过渡矩阵.过渡矩阵是可逆的.向量空间－过渡矩阵定理设

1,

2,…,

n和

1,

2,…,

n是线性空间V的两组基.如果向量

在这两组基下的坐标分别为x=(x1,x2,…,xn)T,y=(y1,y2,…,yn)T,则x=Cy.其中C是过渡矩阵.向量空间

定义设ℱ是线性空间VK到VK的一个映射,且满足

,

VK,kK都有则称ℱ为VK的一个线性变换.

ℱ(

+

)=ℱ(

)+ℱ(

)

ℱ(k

)=kℱ(

)若ℱ(

1,

2,…,

n)=(

1,

2,…,

n)A即，矩阵A的第j列为向量ℱ(

j)在基

1,

2,…,

n下的坐标.矩阵A称为线性变换ℱ在基

1,

2,…,

n下的矩阵.向量空间

定义设=(a1,a2,…,ar)T,

=(b1,b2,…,br)T,则称(

,)=a1b1+a2b2+…+arbr为向量

和的内积.称||=(,)1/2=(a12+a22+…+ar2)1/2为向量的长度(模).定义了内积的线性空间称为Euclid(欧几里得)空间。由线性无关向量组

1,

2,…,

m,得到正交向量组

1,

2,…,

m的方法称为Schimidt(斯密特)正交化过程:再取

i=i/|

i|,便得规范正交向量组.若(

,)=0,则称向量

和正交.

定义一组两两正交的非零向量称为正交向量组,由单位向量构成的正交向量组称为规范正交向量组.向量空间定义在n维向量空间V中,含有n个向量的正交向量组称为V的正交基.由单位向量构成的正交基称为规范正交基.

1,

2,…,

n为规范正交向量组(

i,

j)=ij.定义若实方阵A满足AAT=E,

则称A是正交矩阵.n阶实矩阵A是正交矩阵A的行(列)向量组是规范正交向量组.正交矩阵A的行列式等于1.特征值,特征向量及其求法

定义设A是n阶方阵,如果数和n维非零列向量

满足关系式则称为A的特征值,

为A的属于的一个特征向量.A=

det(EA)称为方阵A的特征多项式.det(EA)=0称为方阵A的特征方程.A的特征值就是特征方程的解,n阶方阵A有n个特征值.A的属于特征值i的特征向量就是齐次线性方程组(iEA)x=0的所有非零解.对角矩阵和三角矩阵对角线元素恰是n个特征值.(1)

1+2+…+n=a11+a22+…+ann特征值,特征向量的性质(2)

1

2…n=|A|(3)若是A的特征值,f(t)是t的多项式,则f()是f(A)的特征值,且对应的特征向量相同.(4)若

1,2是A对应的特征向量,则k1

1+k2

2(0)也是A对应的特征向量.(5)矩阵对应不同特征值的特征向量必线性无关.(6)实对称矩阵的特征值都是实数.(7)实对称矩阵对应不同特征值的特征向量都正交.(8)实对称矩阵r重特征值恰有r个线性无关特征向量.相似矩阵定义设A,B都是n阶方阵,若存在可逆矩阵P,使

P-1AP=B对A进行运算P-1AP=B称为对A进行相似变换,可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似.A与B相似记作A~B.定理相似矩阵有相同的特征多项式,因此也有相同的特征值.注意:定理的逆命题不成立.若A~B,则Ak~Bk,f(A)~f(B).Ak=P-1BkP矩阵相似对角化

定理n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量.若P-1AP=

=diag(1,2,…,n),则1,2,…,n是A的n个特征值,矩阵P的n个列向量恰是A的n个特征向量.也有:A=PP-1实对称矩阵A必能与对角矩阵相似.对实对称矩阵A,必有正交矩阵Q,使Q-1AQ=

.二次型的基本概念及表示方法

定义含有n个变量x1,x2,…,xn的二次齐次函数只含平方项的二次型ƒ=

1x12+