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高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省盐城市东台市2024-2025学年高一上学期期中学业水平考试数学试卷一、单项选择题:(本大题共8小题,每小题5分,计40分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的,请在答题纸的指定位置填涂答案选项.)1.下列各式中,正确的个数是()①;②;③;④;⑤;⑥.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】因为,故①错;因为,故②对;因为,故③对;因为且,故④错;因为,故⑤错;因为,又且,故⑥错;所以正确的个数为个,故B正确.故选:B.2.命题“,”的否定是()A., B.,C., D.,【答案】B【解析】因为存在量词命题的否定是全称量词命题,所以命题“,”的否定是,.故选:B.3.函数,则()A.0 B.1 C. D.2【答案】A【解析】因为函数,所以,则.故选:A.4.已知函数的定义域为,则函数的定义域为()A. B.C. D.【答案】C【解析】因为函数的定义域为,则,解得,故函数的定义域为.故选:C.5.设,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当时,则无意义;当时,或,∴则“”是“”的既不充分也不必要条件.故选:D.6.已知函数,若,则()A. B. C. D.【答案】D【解析】因为,当时,;当时,;当时,;令,则由,得,由上述分析可得且,解得,即,所以且,解得.故选:D.7.已知,,,则的最小值为()A. B. C.1 D.【答案】B【解析】,所以,当且仅当,且,即时等号成立,所以的最小值为.故选:.8.设函数,若,时,有,则实数的取值范围是()A. B. C. D.【答案】C【解析】由得,即,变形为,因为,所以,因为,所以,解得.故选:C.二、多项选择题:(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分,请在答题纸的指定位置填涂答案选项.)9.下列命题是真命题的有()A., B.,C., D.,【答案】AD【解析】对于A,B,当时,,故A正确,B错误;对于C:由,解得,所以不存在,使得,故C错误;对于D:因为,所以,所以,,故D正确.故选:AD.10.设正数,满足,则有()A. B.C. D.【答案】ABD【解析】因为正数,满足,对于A,,当且仅当,即时,等号成立,故A正确;对于B,,所以,,当且仅当时,等号成立,故B正确;对于C,由B知,,则,故C错误;对于D,因为,则,所以,令,则,则,当且仅当,即时,等号成立,此时,,故D正确.故选:ABD.11.已知函数是定义在上的奇函数,当时,,则下列正确的是()A.当时,B.C.不等式的解集为D.函数的图象与轴有4个不同的交点,则【答案】ACD【解析】当时,,由题意可知,A选项正确;由题意可知:,B选项错误;∵fx=32-x-1,x<00,x=01-令,则或;∴,即或,即或,C选项正确;令,即,函数的函数图像如下:由图像可知,当和存在4个交点时,,D选项正确.故选:ACD.三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,计15分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.)12.已知,,则______.(用数字作答)【答案】45【解析】由,可得,又,则.13.已知函数,满足对任意的实数且,都有,则实数a的取值范围是______.【答案】【解析】对任意的实数,都有,即异号,故是上的减函数;可得:,解得.14.用表示非空集合中元素的个数,定义,若,,若,则的所有可能取值构成集合,则______.【答案】5【解析】解得或,即,∵,∴或,方程可整理为,①当时,即方程组只有一个解,则,即,②当时,即方程组只有三个解,显然时不成立,∴,即方程有两个不同的解,⑴当方程只有一个实根时,,,⑵当方程有二个不同实根时,Δ=2a2-4×6>0,或显然不是的实根,则是方程其中一个实根,则,解得,综上所述:,∴.四、解答题(本大题共5小题,计77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.)15.(1)已知正数满足,求下列各式值:①;②.(2)求值:.解:(1)因为正数满足,所以①;②,又,所以.(2).16.已知全集,集合,集合.(1)当时,求,;(2)已知是的子集,求实数的取值范围.解:(1)由,得,解得,所以,当时,,所以或,所以,或x>1=x|1<x<2(2)当时,得,解得,当时,由是的子集,则2a≤a+22a>-1a+2<2,解得,综上所述:实数的取值范围为.17.某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现,该商品每天的销售量(件)与销售单价(元)之间满足一次函数关系,其图象如图所示.(1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式;(2)若该主播按单价不低于成本价,且不高于50元销售,则销售单价定为多少元时利润最大?最大利润是多少?(3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元,则每天的销售量最少应为多少件?解:(1)设,由图可知,函数图象过点,所以,解得,所以,由解得.所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是.(2)若单价不低于成本价24元,且不高于50元销售,则,则利润,其开口向下,对称轴为,所以当时,利润取得最大值为,所以当单价为元时,取得最大利润为元.(3)由(2)得利润,又该商品每天获得的利润不低于1280元,则,整理得,即,解得,销售量是减函数,所以当时,销售量最小,且最小值为件.18.已知二次函数的图象与直线有且仅有一个公共点,且不等式的解集为.(1)求此二次函数的解析式;(2)关于的不等式的解集中恰有一个正整数,求实数的取值范围;(3)对,不等式恒成立,求实数的取值范围.解:(1)由不等式的解集为,得且是关于的方程的两个根,因此,所以函数的图象开口向上,其对称轴为,而该图象与直线有且仅有一个公共点,则图象的顶点为,于是,解得,所以此二次函数的表达式为,即.(2)由(1)知不等式为,整理得,即,依题意,不等式的解集中恰有一个正整数,则,当时,解得,即不等式的解集为,此时解集中不含正整数,故舍去;当时,解得,不等式的解集为,要使解集中恰有一个正整数,则,所以实数的取值范围是.(3)对,不等式恒成立,即对,不等式恒成立,令,,则,解得,即实数的取值范围为.19.若函数在上的最大值记为,最小值记为,且满足,则称函数是在上的“美好函数”.(1)函数是否是在上的“美好函数”,并说明理由;(2)已知函数是在上的“美好函数”,求的值;(3)已知函数是在上的“美好函数”,求的值.解:(1)因为,则在上单调递增,在上单调递减,又,,,所以,,则,所以不是在上的“美好函数”.(2)因为,,则在上单调递减,所以,,因为函数是在上的“美好函数”,所以,解得.(3)函数的定义域为,,所以为奇函数,根据对勾函数性质可知在上单调递减,在上单调递增,在上单调递增,在上单调递减,其中在上单调递减的证明如下:设,则,因为,所以,所以,所以,所以函数在上单调递减.当,即时在上单调递减,则,,所以,解得或(舍去),所以,即在上为“美好函数”;当时在上单调递增,则,,所以,方程无解,故舍去;因为,令,即,解得或,因为,,所以当时,在的最小值为,最大值不可能为,故不符合题意;当,即时在上单调递减,则,,所以,解得(舍去)或,所以,即在上为“美好函数”;当时,即时,在上单调递增,则,,所以,方程无解,故舍去;因为,令,即,解得或,因为,,所以当时,在的最大值为,最小值不可能为,故不符合题意;综上可得或.江苏省盐城市东台市2024-2025学年高一上学期期中学业水平考试数学试卷一、单项选择题:(本大题共8小题,每小题5分,计40分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的,请在答题纸的指定位置填涂答案选项.)1.下列各式中,正确的个数是()①;②;③;④;⑤;⑥.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】因为,故①错;因为,故②对;因为,故③对;因为且,故④错;因为,故⑤错;因为,又且,故⑥错;所以正确的个数为个,故B正确.故选:B.2.命题“,”的否定是()A., B.,C., D.,【答案】B【解析】因为存在量词命题的否定是全称量词命题,所以命题“,”的否定是,.故选:B.3.函数,则()A.0 B.1 C. D.2【答案】A【解析】因为函数,所以,则.故选:A.4.已知函数的定义域为,则函数的定义域为()A. B.C. D.【答案】C【解析】因为函数的定义域为,则,解得,故函数的定义域为.故选:C.5.设,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当时,则无意义;当时,或,∴则“”是“”的既不充分也不必要条件.故选:D.6.已知函数,若,则()A. B. C. D.【答案】D【解析】因为,当时,;当时,;当时,;令,则由,得,由上述分析可得且,解得,即,所以且,解得.故选:D.7.已知,,,则的最小值为()A. B. C.1 D.【答案】B【解析】,所以,当且仅当,且,即时等号成立,所以的最小值为.故选:.8.设函数,若,时,有,则实数的取值范围是()A. B. C. D.【答案】C【解析】由得,即,变形为,因为,所以,因为,所以,解得.故选:C.二、多项选择题:(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分,请在答题纸的指定位置填涂答案选项.)9.下列命题是真命题的有()A., B.,C., D.,【答案】AD【解析】对于A,B,当时,,故A正确,B错误;对于C:由,解得,所以不存在,使得,故C错误;对于D:因为,所以,所以,,故D正确.故选:AD.10.设正数,满足,则有()A. B.C. D.【答案】ABD【解析】因为正数,满足,对于A,,当且仅当,即时,等号成立,故A正确;对于B,,所以,,当且仅当时,等号成立,故B正确;对于C,由B知,,则,故C错误;对于D,因为,则,所以,令,则,则,当且仅当,即时,等号成立,此时,,故D正确.故选:ABD.11.已知函数是定义在上的奇函数,当时,,则下列正确的是()A.当时,B.C.不等式的解集为D.函数的图象与轴有4个不同的交点,则【答案】ACD【解析】当时,,由题意可知,A选项正确;由题意可知:,B选项错误;∵fx=32-x-1,x<00,x=01-令,则或;∴,即或,即或,C选项正确;令,即,函数的函数图像如下:由图像可知,当和存在4个交点时,,D选项正确.故选:ACD.三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,计15分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.)12.已知,,则______.(用数字作答)【答案】45【解析】由,可得,又,则.13.已知函数,满足对任意的实数且,都有,则实数a的取值范围是______.【答案】【解析】对任意的实数,都有,即异号,故是上的减函数;可得:,解得.14.用表示非空集合中元素的个数,定义,若,,若,则的所有可能取值构成集合,则______.【答案】5【解析】解得或,即,∵,∴或,方程可整理为,①当时,即方程组只有一个解,则,即,②当时,即方程组只有三个解,显然时不成立,∴,即方程有两个不同的解,⑴当方程只有一个实根时,,,⑵当方程有二个不同实根时,Δ=2a2-4×6>0,或显然不是的实根,则是方程其中一个实根,则,解得,综上所述:,∴.四、解答题(本大题共5小题,计77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.)15.(1)已知正数满足,求下列各式值:①;②.(2)求值:.解:(1)因为正数满足,所以①;②,又,所以.(2).16.已知全集,集合,集合.(1)当时,求,;(2)已知是的子集,求实数的取值范围.解:(1)由,得,解得,所以,当时,,所以或,所以,或x>1=x|1<x<2(2)当时,得,解得,当时,由是的子集,则2a≤a+22a>-1a+2<2,解得,综上所述:实数的取值范围为.17.某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现,该商品每天的销售量(件)与销售单价(元)之间满足一次函数关系,其图象如图所示.(1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式;(2)若该主播按单价不低于成本价,且不高于50元销售,则销售单价定为多少元时利润最大?最大利润是多少?(3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元,则每天的销售量最少应为多少件?解:(1)设,由图可知,函数图象过点,所以,解得,所以,由解得.所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是.(2)若单价不低于成本价24元,且不高于50元销售,则,则利润,其开口向下,对称轴为,所以当时,利润取得最大值为,所以当单价为元时,取得最大利润为元.(3)由(2)得利润,又该商品每天获得的利润不低于1280元,则,整理得,即,解得,销售量是减函数,所以当时,销售量最小,且最小值为件.18.已知二次函数的图象与直线有且仅有一个公共点,且不等式的解集为.(1)求此二次函数的解析式;(2)关于的不等式的解集中恰有一个正整数,求实数的取值范围;(3)对,不等式恒成立,求实数的取值范围.解:(1)由不等式的解集为,得且是关于的方程的两个根,因此,所以函数的图象开口向上,其对称轴为,而该图象与直线有且仅有一个公共点,则图象的顶点为,于是,解得,所以此二次函数的表达式为,即.(2)由(1)知不等式为,整理
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