2023-2024学年浙江省绍兴市诸暨市高二上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省绍兴市诸暨市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题注意：1．本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．2．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.双曲线的焦点坐标是（）A B. C. D.【答案】B【解析】由题可知：双曲线的焦点在轴上，且，，所以双曲线的焦点坐标为故选：B2.已知是等比数列，公比为q，前n项和为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故选：B3.已知函数的导函数为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由函数，可得，因为，可得，所以，解得.故选：C.4.如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，.故选：A5.已知数列的通项公式为，前n项和为，则（）A.数列为等差数列，公差为B.数列为等差数列，公差为8C.当时，数列的前n项和为D.当时，数列的前n项和为【答案】D【解析】对于A，由，得，，可知数列是首项为8，公差为的等差数列，则，则，所以，所以数列为等差数列，公差为，故A错误；对于B，，而，所以数列为等差数列，公差为9，故B错误；对于CD，当时，；当时，；当时，；所以，故C错误，D正确.故选：D6.已知曲线E：，则下列结论中错误的是（）A.曲线E关于直线对称B.曲线E与直线无公共点C.曲线E上的点到直线的最大距离是D.曲线E与圆有三个公共点【答案】C【解析】因为曲线E的方程为，当，时，曲线E的方程为，当，时，曲线E的方程为，是焦点在上的等轴双曲线右支的一部分.当，时，曲线E的方程为，是焦点在上的等轴双曲线上支的一部分.作出曲线E的图象如图：由图象可知曲线E关于直线对称，曲线E与直线无公共点，故A，B正确；作的平行线与曲线E切于点，曲线E上的点到直线的最大距离是圆的半径为，故C错误；圆的圆心为：，曲线E上的点到圆心的最大距离为.圆过点，如图：曲线E与圆有三个公共点，故D正确.故选：C.7.在平面直角坐标系xOy中，点，在椭圆C：上，且直线OA，OB的斜率之积为，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】因为点，在椭圆上，所以，因为直线的斜率之积为，所以，得到，得，.故选：C8.在空间直角坐标系Oxyz中，，，若直线AB与平面xOy交于点，点P的轨迹方程为，则（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】依题意，，显然，则，解得，又，即，所以.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.记为无穷等比数列的前n项和，若，则（）A. B.C.数列为递减数列 D.数列有最小项【答案】BD【解析】对于A，设等比数列的公比为q，因为，所以，又，即，所以，且，故A错误；对于B，又，故B正确；对于C，若，，当n为奇数时，，此时，则，当n为偶数时，，此时，则，此时数列不单调，故C错误；对于D，因为，当时，此时数列单调递增，则有最小项，无最大项；当时，若n为正奇数时，，则，此时单调递减，则，若n为正偶数时，，则，此时单调递增，则，故当时，的最大值为，最小值为，综上所述，数列有最小项，故D正确.故选：BD.10.如图，在正三棱台中，已知，则（）A.向量，，能构成空间的一个基底B.在上的投影向量为C.AC与平面所成的角为D.点C到平面的距离是点到平面的距离的2倍【答案】AD【解析】A选项，正三棱台中，向量，，不共线，故向量，，能构成空间的一个基底，A正确；B选项，，故，，取中点，的中点，连接，则⊥，⊥，取的中心，连接，则⊥底面，过点作平行于，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，连接，过点作⊥于点，则，因为，由勾股定理得，则，故，，故在上的投影为，B错误；C选项，，设平面的法向量为，则，解得，令得，故，，设AC与平面所成的角为，则，故，故AC与平面所成的角为，C错误；D选项，点C到平面的距离是，点到平面的距离，点C到平面的距离是点到平面的距离的2倍，D正确.故选：AD11.已知直线l：与抛物线C：交于A，B两点，O为坐标原点，则（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】BCD【解析】当时，，此时的焦点坐标为，直线也恒过点，设，，将联立得，，由韦达定理可知，，，，∵，∴，则错误；由抛物线的定义可知，则正确；当时，，此时的焦点坐标为，直线恒过点，设，，将联立得，，由韦达定理可知，，，，则，即，∴，则正确；，则正确；故选：.12.已知函数，，记，，则（）A.若正数为的从小到大的第n个极值点，则为等差数列B.若正数为的从小到大的第n个极值点，则为等比数列C.，在上有零点D.，在上有且仅有一个零点【答案】ABD【解析】由函数，可得，，对于A中，由，令，可得，解得，即所以数列的通项公式为，则（常数），所以数列为等差数列，所以A正确；对于B中，由，则，可得（常数），所以数列为等比数列，所以B正确；对于C、D中，由，令，即，显然，且时，不是函数的零点；当，且时，可得，令，其中，且，可得，令，即，即，解得，且，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以当时，有极小值，且，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以当时，有极大值，且，所以函数的值域为，当时，函数与没有公共点，所以函数在上没有零点，所以C错误；当时，函数与只有一个公共点，即函数在上有且仅有一个零点，所以D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知：的圆心坐标为，半径为r，则________．【答案】0【解析】，圆心为，半径，所以，则.故答案为：14.数列满足，，则________．【答案】【解析】由题意，易知，由，两边取倒数得，即，所以数列是首项，公差为2的等差数列，所以，即，则.故答案为：.15.已知函数在某点处的切线的斜率不大于1，则切点为整点（横纵坐标均为整数）的个数是________．【答案】4【解析】由题意，，即，解得，其中的整点有0,1,2,3，共4个.故答案为：416.已知，是双曲线C：的左右焦点，过作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为N，直线与双曲线C交于点，且均在第一象限，若，则双曲线C的离心率是________．【答案】或【解析】因为均在第一象限，所以垂足在渐近线上，，则，由题意可得，所以，又因，所以，即，所以，所以，故，在中，，则，在中，由余弦定理得，，即，整理得，即，解得或，当时，离心率，当时，离心率，所以双曲线C的离心率是或.故答案为：或.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.记是公差为整数等差数列的前n项和，，且，，成等比数列．（1）求和；（2）若，求数列的前20项和．解：（1）设，由，得，所以或，由于，所以.所以，，.（2）由知：，故，由所以.18.已知圆M：，圆N经过点，，．（1）求圆N的标准方程，并判断两圆位置关系；（2）若由动点P向圆M和圆N所引的切线长相等，求动点P的轨迹方程．解：（1）由题意可知：，则圆N是以为直径的圆，则圆N的圆心，半径，所以：，又因为圆M的圆心，半径，可得，即，所以两圆外离（相离）.（2）设圆M上的切点为A，圆N上的切点为B，由题意可得：，设，则，整理得，所以点P的轨迹方程为：．19.已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在内存在两个极值点，求实数a的取值范围．解：（1）当时，，定义域为令，得或，所以的单调递增区间为：和，单调递减区间为：（2）①当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故只有一个极小值点，与条件矛盾，故舍去．②当时，在和上单调递增，在上单调递减，故有两个极值点a和，与条件相符．③当时，和上单调递增，在上单调递减，故有两个极值点a和，与条件相符．④当时，，故在上单调递增，无极值点，舍去．⑤当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，故只有一个极大值点，与条件矛盾，故舍去．综上可得：或20.在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，交于O，，，．（1）求P到平面的距离；（2）求钝二面角的余弦值．解：（1）由题知，，，，，由，，，得平面．在正中，作于H，又平面,平面，所以，又AO，BD是平面ABCD内两相交直线，所以面，所以，点P到平面ABCD的距离为．（2）建立空间直角坐标系，由（1）知是中点，即，则，，，，，，设平面的法向量为，则，取，得，设平面的一个法向量是，则，取得，设所求钝二面角的平面角为，则．21.物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛．其定义是：对于函数，若满足，则称数列为牛顿数列．已知，如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与x轴交点的横坐标为，用代替重复上述过程得到，一直下去，得到数列．（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前n项和为，且对任意的，满足，求整数的最小值．（参考数据：，，，）解：（1），在点处的切线方程为：令，得，所以是首项为1，公比为的等比数列，故（2）令法一：错位相减法，，两式相减得：化简得：故，化简得令，则，当时，，即，当时，，即，所以从而整数；法二：裂项相消法由，设且，则，于是，得，即所以故，化简得令，则时，，当当时，，即，当时，，即，所以从而整数22.抛物线C：，椭圆M：，．（1）若抛物线C与椭圆M无公共点，求实数r的取值范围；（2）过抛物线上点作椭圆M的两条切线分别交抛物线C于点P，Q，当时，求面积的最小值．解：（1）联立得，，由题意上述方程无实根，所以，得，又，所以．（2）设l：，与椭圆联立得由直线与椭圆相切得，即设直线AP和直线AQ得斜率为，，则，联立，得，解得或，于是，所以，同理可得，令，，则，所以，令，，，设，，则，时，，时，，所以在上单调递增，在上单调递减．易知在即时，趋向于正无穷大，又，，故，所以．浙江省绍兴市诸暨市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题注意：1．本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．2．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.双曲线的焦点坐标是（）A B. C. D.【答案】B【解析】由题可知：双曲线的焦点在轴上，且，，所以双曲线的焦点坐标为故选：B2.已知是等比数列，公比为q，前n项和为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故选：B3.已知函数的导函数为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由函数，可得，因为，可得，所以，解得.故选：C.4.如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，.故选：A5.已知数列的通项公式为，前n项和为，则（）A.数列为等差数列，公差为B.数列为等差数列，公差为8C.当时，数列的前n项和为D.当时，数列的前n项和为【答案】D【解析】对于A，由，得，，可知数列是首项为8，公差为的等差数列，则，则，所以，所以数列为等差数列，公差为，故A错误；对于B，，而，所以数列为等差数列，公差为9，故B错误；对于CD，当时，；当时，；当时，；所以，故C错误，D正确.故选：D6.已知曲线E：，则下列结论中错误的是（）A.曲线E关于直线对称B.曲线E与直线无公共点C.曲线E上的点到直线的最大距离是D.曲线E与圆有三个公共点【答案】C【解析】因为曲线E的方程为，当，时，曲线E的方程为，当，时，曲线E的方程为，是焦点在上的等轴双曲线右支的一部分.当，时，曲线E的方程为，是焦点在上的等轴双曲线上支的一部分.作出曲线E的图象如图：由图象可知曲线E关于直线对称，曲线E与直线无公共点，故A，B正确；作的平行线与曲线E切于点，曲线E上的点到直线的最大距离是圆的半径为，故C错误；圆的圆心为：，曲线E上的点到圆心的最大距离为.圆过点，如图：曲线E与圆有三个公共点，故D正确.故选：C.7.在平面直角坐标系xOy中，点，在椭圆C：上，且直线OA，OB的斜率之积为，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】因为点，在椭圆上，所以，因为直线的斜率之积为，所以，得到，得，.故选：C8.在空间直角坐标系Oxyz中，，，若直线AB与平面xOy交于点，点P的轨迹方程为，则（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】依题意，，显然，则，解得，又，即，所以.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.记为无穷等比数列的前n项和，若，则（）A. B.C.数列为递减数列 D.数列有最小项【答案】BD【解析】对于A，设等比数列的公比为q，因为，所以，又，即，所以，且，故A错误；对于B，又，故B正确；对于C，若，，当n为奇数时，，此时，则，当n为偶数时，，此时，则，此时数列不单调，故C错误；对于D，因为，当时，此时数列单调递增，则有最小项，无最大项；当时，若n为正奇数时，，则，此时单调递减，则，若n为正偶数时，，则，此时单调递增，则，故当时，的最大值为，最小值为，综上所述，数列有最小项，故D正确.故选：BD.10.如图，在正三棱台中，已知，则（）A.向量，，能构成空间的一个基底B.在上的投影向量为C.AC与平面所成的角为D.点C到平面的距离是点到平面的距离的2倍【答案】AD【解析】A选项，正三棱台中，向量，，不共线，故向量，，能构成空间的一个基底，A正确；B选项，，故，，取中点，的中点，连接，则⊥，⊥，取的中心，连接，则⊥底面，过点作平行于，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，连接，过点作⊥于点，则，因为，由勾股定理得，则，故，，故在上的投影为，B错误；C选项，，设平面的法向量为，则，解得，令得，故，，设AC与平面所成的角为，则，故，故AC与平面所成的角为，C错误；D选项，点C到平面的距离是，点到平面的距离，点C到平面的距离是点到平面的距离的2倍，D正确.故选：AD11.已知直线l：与抛物线C：交于A，B两点，O为坐标原点，则（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】BCD【解析】当时，，此时的焦点坐标为，直线也恒过点，设，，将联立得，，由韦达定理可知，，，，∵，∴，则错误；由抛物线的定义可知，则正确；当时，，此时的焦点坐标为，直线恒过点，设，，将联立得，，由韦达定理可知，，，，则，即，∴，则正确；，则正确；故选：.12.已知函数，，记，，则（）A.若正数为的从小到大的第n个极值点，则为等差数列B.若正数为的从小到大的第n个极值点，则为等比数列C.，在上有零点D.，在上有且仅有一个零点【答案】ABD【解析】由函数，可得，，对于A中，由，令，可得，解得，即所以数列的通项公式为，则（常数），所以数列为等差数列，所以A正确；对于B中，由，则，可得（常数），所以数列为等比数列，所以B正确；对于C、D中，由，令，即，显然，且时，不是函数的零点；当，且时，可得，令，其中，且，可得，令，即，即，解得，且，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以当时，有极小值，且，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以当时，有极大值，且，所以函数的值域为，当时，函数与没有公共点，所以函数在上没有零点，所以C错误；当时，函数与只有一个公共点，即函数在上有且仅有一个零点，所以D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知：的圆心坐标为，半径为r，则________．【答案】0【解析】，圆心为，半径，所以，则.故答案为：14.数列满足，，则________．【答案】【解析】由题意，易知，由，两边取倒数得，即，所以数列是首项，公差为2的等差数列，所以，即，则.故答案为：.15.已知函数在某点处的切线的斜率不大于1，则切点为整点（横纵坐标均为整数）的个数是________．【答案】4【解析】由题意，，即，解得，其中的整点有0,1,2,3，共4个.故答案为：416.已知，是双曲线C：的左右焦点，过作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为N，直线与双曲线C交于点，且均在第一象限，若，则双曲线C的离心率是________．【答案】或【解析】因为均在第一象限，所以垂足在渐近线上，，则，由题意可得，所以，又因，所以，即，所以，所以，故，在中，，则，在中，由余弦定理得，，即，整理得，即，解得或，当时，离心率，当时，离心率，所以双曲线C的离心率是或.故答案为：或.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.记是公差为整数等差数列的前n项和，，且，，成等比数列．（1）求和；（2）若，求数列的前20项和．解：（1）设，由，得，所以或，由于，所以.所以，，.（2）由知：，故，由所以.18.已知圆M：，圆N经过点，，．（1）求圆N的标准方程，并判断两圆位置关系；（2）若由动点P向圆M和圆N所引的切线长相等，求动点P的轨迹方程．解：（1）由题意可知：，则圆N是以为直径的圆，则圆N的圆心，半径，所以：，又因为圆M的圆心，半径，可得，即，所以两圆外离（相离）.（2）设圆M上的切点为A，圆N上的切点为B，由题意可得：，设，则，整理得，所以点P的轨迹方程为：．19.已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在内存在两个极值点，求实数a的取值范围．解：（1）当时，，定义域为令，得或，所以的单调递增区间为：和，单调递减区间为：（2）①当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故只有一个极小值点，与条件矛盾，故舍去．②当时，在和上单调递增，在上单调递减，故有两个极值点a和，与条件相符．③当时，和上单调递增，在上单调递减，故有两个极值点a和，与条件相符．④当时，，故在上单调递增，无极值点，舍去．⑤当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，故只有一