2023-2024学年上海市虹口区高一上学期期终学生学习能力诊断测试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市虹口区2023-2024学年高一上学期期终学生学习能力诊断测试数学试卷【注意】本试卷分A、B组题，请答题者务必看清自己应答的试题．一、填空题（本大题满分36分.）1.函数的定义域为__________．【答案】【解析】由题意函数有意义，当且仅当，解得，即函数的定义域为.故答案为：.2.若集合，则__________．【答案】【解析】由解得，即，所以.故答案为：.3.若一元二次不等式的解集为，则实数__________．【答案】【解析】根据题意可知方程的两根分别为，根据韦达定理可知，.故答案为：.4.若扇形的圆心角是，其所在圆的半径是2，则该扇形的面积为__________．【答案】【解析】由题意可得：该扇形的面积为.故答案为：.5.函数在区间上的最小值是__________．【答案】【解析】由于关于在定义域内单调递增，关于在定义域内单调递减，所以由复合函数单调性可知函数在区间上单调递减，所以函数在区间上的最小值是.故答案为：.6.若实数和满足，则__________．【答案】1【解析】因为，则，可得，所以.故答案为：1.7.已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由可得，则，解得，即，若是的充分条件，则是的子集，可得，所以实数的取值范围是.故答案为：.8.设，若幂函数的图像关于轴对称，且在区间上是严格增函数，则实数__________．【答案】【解析】，若幂函数的图像关于轴对称，则，又幂函数在区间上是严格增函数，则.故答案为：.9.（A组）若存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】因为，当且仅当时，等号成立，由题意可得，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.10.（B组）若表示不大于的最大整数，比如，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】因为，所以，且，又因为表示不大于的最大整数，所以，所以不等式的解集为.故答案：.11.（A组）若表示不大于的最大整数，比如，则__________．【答案】3【解析】因为表示不大于的最大整数，所以，故答案为：3.12.（B组）已知定义在上的奇函数在区间上是严格减函数．若对于任意的，总有成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意定义在上的奇函数在区间上是严格减函数，所以上严格单调递减，所以，由题意若对于任意的，恒有成立，则恒成立，当时，有，满足题意，当时，恒成立，此时，解得，满足题意，综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.13.（A组）设，若，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】因为在单调递增，且，所以，则，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.14.（B组）设，若实数满足：，则的取值范围是__________．【答案】【解析】作出图象，如图所示：令，由图可知：，且，解得，则，因为，则，可得，所以的取值范围是.故答案为：.15.设，则函数的所有零点之和为__________．【答案】【解析】由一元二次函数的图象和性质可知函数的图象如图所示：根据图象可知共有个零点，且个零点关于对称，所以零点之和为.故答案为：.二、选择题（本大题满分14分.）16.下列函数中与函数相同的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】选项A，，当时，，解析式与不同，A不正确；选项B，的定义域为，解析式为，定义域和解析式与相同，B正确；选项C，，该函数的定义域为，与函数的定义域不同，C不正确；选项D，，该函数的定义域为，与函数的定义域不同，D不正确.故选：B.17.若是任意实数，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】结合题意：.故选：C.18.（A组）若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，则实数和分别等于（）A. B.2，3 C. D.【答案】A【解析】由函数，根据指数函数与反比例函数的性质，可得函数在上为单调递增函数，所以函数在至多有一个零点，又由依次确定了零点所在区间为，可得，即，解得.故选：A.19.（B组）对于以下两个结论，说法正确的是（）结论①：若函数是定义在上的增函数，则的充要条件是；结论②：若定义在上的函数满足，则该函数为奇函数或偶函数．A.①对②对 B.①对②错 C.①错②对 D.①错②错【答案】B【解析】结论①：若函数是定义在上的增函数，当时，可以推出，当时，可以推出，故的充要条件是，①对；结论②：若定义在上的函数满足，则，故不一定恒成立，也不一定恒成立，如函数，②错.故选：B.20.对于以下两个结论，说法正确的是（）结论①：设，若任取，且，则必有；结论②：设，则有对恒成立．A.①对②对 B.①对②错 C.①错②对 D.①错②错【答案】B【解析】对于①，因为在上是增函数，且在上也是增函数，所以在上是增函数，则任取，且，必有，①正确；对于②，，②错误.故选：B.三、解答题（本大题满分50分.）21.已知为实数，设集合．（1）当时，用区间表示集合；（2）设集合，若，求实数的取值范围．解：（1）当时，由，解得：，即.（2）由集合，可得，因为，且，所以，即，解得：.22.已知角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴．（1）若角的终边过点，求的值；（2）若，求的值．解：（1）由三角函数的定义可得，若角的终边过点，则.（2），，即，.23.（A组）某工厂为确定2024年A产品的生产总产量，调取了2020年至2023年近四年的A产品生产总产量万件与其所需总成本万元之间的对应关系（如下表所示），以作为建立与之间函数关系的依据，进而实现估算预测．工厂称此函数为“参照函数”．A产品生产总产量x（万件）1234总成本y（万元）12172532该工厂拟用如下三个函数解析式：①；②；③作为“参照函数”的备选．（1）该工厂应选择哪个函数解析式为“参照函数”最为合理？请说明理由：（2）根据（1）所选的“参照函数”，当该工厂预计2024年生产多少万件A产品时，其单位成本（即总成本除以总产量）最低？并求出此最低单位成本．解：（1）由题意当时，和25比较近，但当时，和32相差很大，故排除③，通过表格发现当时，与的值分别相等，但当时，，当时，，通过比较发现，当时，函数模拟实际效果最好，综上所述，工厂应选择②为“参照函数”最为合理.（2）由题意单位成本表达式为，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，此时单位成本最低为，即预计2024年生产3万件A产品时，单位成本最低为8万元.24.（B组）已知，其中是常数，．（1）判断函数的奇偶性，请说明理由；（2）若对任意，均有，求所有满足条件的实数的值．解：（1）依题意，函数的定义域为，关于原点对称，因为，，，由，得，即，所以，解得；由，得，即，所以，解得；所以当时，函数为奇函数；当时，函数为偶函数；当且时，函数为非奇非偶函数.（2）因，所以可转化为，即，又因为，所以，则：当时，，则由可得，又因为当时，，所以，即；当时，则由可得，故；当时，，则由可得，又因为当时，，所以，即；综上所述，若对任意，均有，则满足条件的实数的值为.25.（A组）已知，其中是常数，．（1）若函数为奇函数，求实数的值；（2）若对任意实数，均有，求实数的取值范围．解：（1）因为函数为奇函数，可得，即，解得，经检验：当时，，满足，所以当时，函数为奇函数，所以实数的值为.（2）由对任意实数，均有，即时，恒成立，即在上恒成立，令，设函数，因，当时，即时，的最大值为，可得，所以实数数的取值范围为．26.（B组）若函数在区间上的函数值的集合恰为，则称区间为的一个“区间”．设．（1）试判断区间是否为函数的一个“区间”，并说明理由；（2）求函数在内的“区间”；（3）设函数在区间上的所有“区间”的并集记为．是否存在实数，使关于的方程在上恰有2个不同的实数解．若存在，试求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）结合题意可得：，当时，，所以在单调递增，在单调递减，所以当时，，当或时，，故此时函数的值域为，而此时所以区间不是函数的一个“区间”.（2）设的“区间”为，则的值域为，此时在单调递减，则，解得，所以的“区间”为.（3）由（2）知在上的“区间”为，当时，则，而函数在上的值域为，所以在上不存在这样的区间，所以在上满足条件的区间为，由，可得函数为奇函数，同理易得：当，的“区间”为，所以，要使关于的方程在上恰有2个不同的实数解，则当，，即且在单调递减；当，，即，因为，所以不存在实数，使关于的方程在上恰有2个不同的实数解.27.若函数在区间上的函数值的集合恰为，则称区间为的一个“区间”．设．（1）若函数在区间上是严格增函数，请直接写出区间（一个即可）；（2）试判断区间是否为函数的一个“区间”，并说明理由；（3）求函数在内的“区间”．解：（1）由已知，故函数的单调递增区间为和，可合并为，若函数在区间上是严格增函数，则，所以区间可以为.（2）对于区间，，此时，即函数在区间上的值域为，不符合“区间”的定义，所以区间不是函数的一个“区间”.（3）设函数在内的“区间”为，即函数在区间上的值域为因为函数在上单调递减，所以，即，即为方程的两根，又，所以，因为，所以，即“区间”为.上海市虹口区2023-2024学年高一上学期期终学生学习能力诊断测试数学试卷【注意】本试卷分A、B组题，请答题者务必看清自己应答的试题．一、填空题（本大题满分36分.）1.函数的定义域为__________．【答案】【解析】由题意函数有意义，当且仅当，解得，即函数的定义域为.故答案为：.2.若集合，则__________．【答案】【解析】由解得，即，所以.故答案为：.3.若一元二次不等式的解集为，则实数__________．【答案】【解析】根据题意可知方程的两根分别为，根据韦达定理可知，.故答案为：.4.若扇形的圆心角是，其所在圆的半径是2，则该扇形的面积为__________．【答案】【解析】由题意可得：该扇形的面积为.故答案为：.5.函数在区间上的最小值是__________．【答案】【解析】由于关于在定义域内单调递增，关于在定义域内单调递减，所以由复合函数单调性可知函数在区间上单调递减，所以函数在区间上的最小值是.故答案为：.6.若实数和满足，则__________．【答案】1【解析】因为，则，可得，所以.故答案为：1.7.已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由可得，则，解得，即，若是的充分条件，则是的子集，可得，所以实数的取值范围是.故答案为：.8.设，若幂函数的图像关于轴对称，且在区间上是严格增函数，则实数__________．【答案】【解析】，若幂函数的图像关于轴对称，则，又幂函数在区间上是严格增函数，则.故答案为：.9.（A组）若存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】因为，当且仅当时，等号成立，由题意可得，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.10.（B组）若表示不大于的最大整数，比如，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】因为，所以，且，又因为表示不大于的最大整数，所以，所以不等式的解集为.故答案：.11.（A组）若表示不大于的最大整数，比如，则__________．【答案】3【解析】因为表示不大于的最大整数，所以，故答案为：3.12.（B组）已知定义在上的奇函数在区间上是严格减函数．若对于任意的，总有成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意定义在上的奇函数在区间上是严格减函数，所以上严格单调递减，所以，由题意若对于任意的，恒有成立，则恒成立，当时，有，满足题意，当时，恒成立，此时，解得，满足题意，综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.13.（A组）设，若，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】因为在单调递增，且，所以，则，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.14.（B组）设，若实数满足：，则的取值范围是__________．【答案】【解析】作出图象，如图所示：令，由图可知：，且，解得，则，因为，则，可得，所以的取值范围是.故答案为：.15.设，则函数的所有零点之和为__________．【答案】【解析】由一元二次函数的图象和性质可知函数的图象如图所示：根据图象可知共有个零点，且个零点关于对称，所以零点之和为.故答案为：.二、选择题（本大题满分14分.）16.下列函数中与函数相同的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】选项A，，当时，，解析式与不同，A不正确；选项B，的定义域为，解析式为，定义域和解析式与相同，B正确；选项C，，该函数的定义域为，与函数的定义域不同，C不正确；选项D，，该函数的定义域为，与函数的定义域不同，D不正确.故选：B.17.若是任意实数，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】结合题意：.故选：C.18.（A组）若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，则实数和分别等于（）A. B.2，3 C. D.【答案】A【解析】由函数，根据指数函数与反比例函数的性质，可得函数在上为单调递增函数，所以函数在至多有一个零点，又由依次确定了零点所在区间为，可得，即，解得.故选：A.19.（B组）对于以下两个结论，说法正确的是（）结论①：若函数是定义在上的增函数，则的充要条件是；结论②：若定义在上的函数满足，则该函数为奇函数或偶函数．A.①对②对 B.①对②错 C.①错②对 D.①错②错【答案】B【解析】结论①：若函数是定义在上的增函数，当时，可以推出，当时，可以推出，故的充要条件是，①对；结论②：若定义在上的函数满足，则，故不一定恒成立，也不一定恒成立，如函数，②错.故选：B.20.对于以下两个结论，说法正确的是（）结论①：设，若任取，且，则必有；结论②：设，则有对恒成立．A.①对②对 B.①对②错 C.①错②对 D.①错②错【答案】B【解析】对于①，因为在上是增函数，且在上也是增函数，所以在上是增函数，则任取，且，必有，①正确；对于②，，②错误.故选：B.三、解答题（本大题满分50分.）21.已知为实数，设集合．（1）当时，用区间表示集合；（2）设集合，若，求实数的取值范围．解：（1）当时，由，解得：，即.（2）由集合，可得，因为，且，所以，即，解得：.22.已知角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴．（1）若角的终边过点，求的值；（2）若，求的值．解：（1）由三角函数的定义可得，若角的终边过点，则.（2），，即，.23.（A组）某工厂为确定2024年A产品的生产总产量，调取了2020年至2023年近四年的A产品生产总产量万件与其所需总成本万元之间的对应关系（如下表所示），以作为建立与之间函数关系的依据，进而实现估算预测．工厂称此函数为“参照函数”．A产品生产总产量x（万件）1234总成本y（万元）12172532该工厂拟用如下三个函数解析式：①；②；③作为“参照函数”的备选．（1）该工厂应选择哪个函数解析式为“参照函数”最为合理？请说明理由：（2）根据（1）所选的“参照函数”，当该工厂预计2024年生产多少万件A产品时，其单位成本（即总成本除以总产量）最低？并求出此最低单位成本．解：（1）由题意当时，和25比较近，但当时，和32相差很大，故排除③，通过表格发现当时，与的值分别相等，但当时，，当时，，通过比较发现，当时，函数模拟实际效果最好，综上所述，工厂应选择②为“参照函数”最为合理.（2）由题意单位成本表达式为，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，此时单位成本最低为，即预计2024年生产3万件A产品时，单位成本最低为8万元.24.（B组）已知，其中是常数，．（1）判断函数的奇偶性，请说明理由；（2）若对任意，均有，求所有满足条件的实数的值．解：（1）依题意，函数的定义域为，关于原点对称，因为，，，由，得，即，所以，解得；由，得，即，所以，解得；所以当时，函数为奇函数；当时，函数为偶函数；当且时，函数为非奇非偶函数.（2）因，所以可转化为，即，又因为，所以，则：当时，，则由可得，又因为当时，，所以，即；当时，则由可得，故；当时，，则由可得，又因为当时，，所以，即；综上所述，若对任意，均有，则满足条件的实数的值为.25.（A组）已知，其中是常数，．（1）若函数为奇函数，求实数的值；（2）若对任意实数，均有，求实数的取值范围．解：（1）因为函数为奇函数，可得，即，解得，经检验：当时，，满足，所以当时，函数为奇函数