浙江省宁波市2024年高中数学竞赛试题（含答案）

浙江省宁波市2024年高中数学竞赛试题A.充分不必要条件B.必要2.若α∈,1,2}，则函数f(x)=xaln(x2+1)的图象不可能是()A.3.已知对任意平面向量=(x,y)，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角ysinθ,xsinθ+ycosθ)，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P.已知圆锥曲线Γ:7x2+2xy+7y2=24经过旋转后其方程可以变为标准方程，则此曲线的离心率为(4.已知△ABC的内心为I，垂心为H，∠B=，若IH//BC，则∠C的大小落在区间()5.设a，b，c是互不相等的正数，若关于x的不等式ax−bx+cxC.ea+eC>2eb6.数列{an}是等差数列，周期数列{bn}满足bn=cos(an).若集合x={x|x=bn,n∈N∗}，中恰有三个元素，则数列{bn}的周期T的取值可能是(7.已知棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1，点M是线段A1D1上的动点，点N在侧面BCC1B1(包含边界)上且A.对任意的点M，总存在点N使得MN⊥ACB.三棱锥M−BCN外接球的球心可以是线段BM的中点C.三棱锥M−BCN外接球半径的最小值为 8.已知函数f(x)，满足f(x)+f()=x，则f(2)=.9.在斜三棱柱的9条棱中任取2条，则取出的两条棱所在直线异面的11.已知9位学生在某次数学测试中的成绩的平均值为75，方12.设p(x0,y0)为椭圆x2+4y2=k2−k表示z的实部)(1)判断△ABC的形状，并说明理由;(2)若△ABC为等腰三角形，D为边AB上一动点，作BE⊥CD于E点，求的最小值.已知函数f(x)=.(2)若关于x的不等式1−kx≤f(x+1)≤1−tx的解集为[0,3]，求实数k和t的(1)若C为线段AB上一点，满足S△F2RC=S△F2SC.求点C的轨迹方程;已知p为素数，定义fp(n)表示正整数n的不被p整除的最大因子.记an=∑1fp(i).求证：(1){an+1−an}为等比数列2.【答案】C4.【答案】D5.【答案】ABD6.【答案】ABC7.【答案】BCD ∴c2=a2+b2，即△ABC为直角三角形.在△ABC中，由正弦定理得⇒CD=√x⋅√x+1⋅(√x+1+√x)√x⋅√x+1⋅(√x+1+√x)，上式左边=(√x+1−√x)⋅(√√x⋅√x+1⋅(√x+1+√x)√x⋅√x+1⋅(√x+1+√x)，(2)由不等式1−kx≤f(x+1)≤1−tx的解16.【答案】解：AB的斜率存在且不为0，可设AB:x=my−2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，设直线CF2交直线RS于点T，则T为线段RS的中点，17.【答案】证明：依题意，a1=下，面考察an与an+1的关系.n−p外其他数均不能被p整除，显然fp(np)=fp(n)，所以an−an−1=所以{an+1−an}为等比数列.i={2i1,2i2,···2ik}，bj对应的子集Aj={2j1,2j2,…,2jm}，其中i1<i2<…<ik，j1<j2<…<jm，因为Ai≠Aj，则设t为使得it≠jt的最大下标，不妨设it>jt.又因为当i≠j时，设bi对应的子集为Ai={xi1,xi2,…,xik}，bj对应的子集Aj={xj1,xj2,…,xjm}，其中i1<i2<…<ik，j1<j2<…<jm，因为Ai≠Aj，则设t为使得it≠jt的最大下标，不妨设it>jt