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文档简介

江苏百校大联考2025届高三二诊模拟考试数学试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知类产品共两件,类产品共三件,混放在一起,现需要通过检测将其区分开来,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件类产品或者检测出3件类产品时,检测结束,则第一次检测出类产品,第二次检测出类产品的概率为()A. B. C. D.2.已知若在定义域上恒成立,则的取值范围是()A. B. C. D.3.正项等比数列中的、是函数的极值点,则()A. B.1 C. D.24.如图,在矩形中的曲线分别是,的一部分,,,在矩形内随机取一点,若此点取自阴影部分的概率为,取自非阴影部分的概率为,则()A. B. C. D.大小关系不能确定5.已知命题:“关于的方程有实根”,若为真命题的充分不必要条件为,则实数的取值范围是()A. B. C. D.6.函数在区间上的大致图象如图所示,则可能是()A.B.C.D.7.执行如图的程序框图,若输出的结果,则输入的值为()A. B.C.3或 D.或8.已知P是双曲线渐近线上一点,,是双曲线的左、右焦点,,记,PO,的斜率为,k,,若,-2k,成等差数列,则此双曲线的离心率为()A. B. C. D.9.若函数有且只有4个不同的零点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.10.已知为等腰直角三角形,,,为所在平面内一点,且,则()A. B. C. D.11.若函数满足,且,则的最小值是()A. B. C. D.12.已知向量与的夹角为,定义为与的“向量积”,且是一个向量,它的长度,若,,则()A. B.C.6 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知为抛物线:的焦点,过作两条互相垂直的直线,,直线与交于、两点,直线与交于、两点,则的最小值为__________.14.设,分别是定义在上的奇函数和偶函数,且,则_________15.在一次体育水平测试中,甲、乙两校均有100名学生参加,其中:甲校男生成绩的优秀率为70%,女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%,女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试,给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中,所有正确结论的序号是____________.16.抛物线上到其焦点距离为5的点有_______个.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设的内角、、的对边长分别为、、.设为的面积,满足.(1)求;(2)若,求的最大值.18.(12分)数列满足,,其前n项和为,数列的前n项积为.(1)求和数列的通项公式;(2)设,求的前n项和,并证明:对任意的正整数m、k,均有.19.(12分)设椭圆的左右焦点分别为,离心率,右准线为,是上的两个动点,.(Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)证明:当取最小值时,与共线.20.(12分)已知△ABC三内角A、B、C所对边的长分别为a,b,c,且3sin2A+3sin2B=4sinAsinB+3sin2C.(1)求cosC的值;(2)若a=3,c,求△ABC的面积.21.(12分)已知,(其中).(1)求;(2)求证:当时,.22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为().(1)求抛物线C的极坐标方程;(2)若抛物线C与直线l交于A,B两点,求的值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

根据分步计数原理,由古典概型概率公式可得第一次检测出类产品的概率,不放回情况下第二次检测出类产品的概率,即可得解.【详解】类产品共两件,类产品共三件,则第一次检测出类产品的概率为;不放回情况下,剩余4件产品,则第二次检测出类产品的概率为;故第一次检测出类产品,第二次检测出类产品的概率为;故选:D.【点睛】本题考查了分步乘法计数原理的应用,古典概型概率计算公式的应用,属于基础题.2、C【解析】

先解不等式,可得出,求出函数的值域,由题意可知,不等式在定义域上恒成立,可得出关于的不等式,即可解得实数的取值范围.【详解】,先解不等式.①当时,由,得,解得,此时;②当时,由,得.所以,不等式的解集为.下面来求函数的值域.当时,,则,此时;当时,,此时.综上所述,函数的值域为,由于在定义域上恒成立,则不等式在定义域上恒成立,所以,,解得.因此,实数的取值范围是.故选:C.【点睛】本题考查利用函数不等式恒成立求参数,同时也考查了分段函数基本性质的应用,考查分类讨论思想的应用,属于中等题.3、B【解析】

根据可导函数在极值点处的导数值为,得出,再由等比数列的性质可得.【详解】解:依题意、是函数的极值点,也就是的两个根∴又是正项等比数列,所以∴.故选:B【点睛】本题主要考查了等比数列下标和性质以应用,属于中档题.4、B【解析】

先用定积分求得阴影部分一半的面积,再根据几何概型概率公式可求得.【详解】根据题意,阴影部分的面积的一半为:,于是此点取自阴影部分的概率为.又,故.故选B.【点睛】本题考查了几何概型,定积分的计算以及几何意义,属于中档题.5、B【解析】命题p:,为,又为真命题的充分不必要条件为,故6、B【解析】

根据特殊值及函数的单调性判断即可;【详解】解:当时,,无意义,故排除A;又,则,故排除D;对于C,当时,,所以不单调,故排除C;故选:B【点睛】本题考查根据函数图象选择函数解析式,这类问题利用特殊值与排除法是最佳选择,属于基础题.7、D【解析】

根据逆运算,倒推回求x的值,根据x的范围取舍即可得选项.【详解】因为,所以当,解得

,所以3是输入的x的值;当时,解得,所以是输入的x的值,所以输入的x的值为

或3,故选:D.【点睛】本题考查了程序框图的简单应用,通过结果反求输入的值,属于基础题.8、B【解析】

求得双曲线的一条渐近线方程,设出的坐标,由题意求得,运用直线的斜率公式可得,,,再由等差数列中项性质和离心率公式,计算可得所求值.【详解】设双曲线的一条渐近线方程为,且,由,可得以为圆心,为半径的圆与渐近线交于,可得,可取,则,设,,则,,,由,,成等差数列,可得,化为,即,可得,故选:.【点睛】本题考查双曲线的方程和性质,主要是渐近线方程和离心率,考查方程思想和运算能力,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9、B【解析】

由是偶函数,则只需在上有且只有两个零点即可.【详解】解:显然是偶函数所以只需时,有且只有2个零点即可令,则令,递减,且递增,且时,有且只有2个零点,只需故选:B【点睛】考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围,基础题.10、D【解析】

以AB,AC分别为x轴和y轴建立坐标系,结合向量的坐标运算,可求得点的坐标,进而求得,由平面向量的数量积可得答案.【详解】如图建系,则,,,由,易得,则.故选:D【点睛】本题考查平面向量基本定理的运用、数量积的运算,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.11、A【解析】

由推导出,且,将所求代数式变形为,利用基本不等式求得的取值范围,再利用函数的单调性可得出其最小值.【详解】函数满足,,即,,,,即,,则,由基本不等式得,当且仅当时,等号成立.,由于函数在区间上为增函数,所以,当时,取得最小值.故选:A.【点睛】本题考查代数式最值的计算,涉及对数运算性质、基本不等式以及函数单调性的应用,考查计算能力,属于中等题.12、D【解析】

先根据向量坐标运算求出和,进而求出,代入题中给的定义即可求解.【详解】由题意,则,,得,由定义知,故选:D.【点睛】此题考查向量的坐标运算,引入新定义,属于简单题目.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、16.【解析】由题意可知抛物线的焦点,准线为设直线的解析式为∵直线互相垂直∴的斜率为与抛物线的方程联立,消去得设点由跟与系数的关系得,同理∵根据抛物线的性质,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离∴,同理∴,当且仅当时取等号.故答案为16点睛:(1)与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,可以使运算化繁为简.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径;(2)圆锥曲线中的最值问题,可利用基本不等式求解,但要注意不等式成立的条件.14、1【解析】

令,结合函数的奇偶性,求得,即可求解的值,得到答案.【详解】由题意,函数分别是上的奇函数和偶函数,且,令,可得,所以.故答案为:1.【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的应用,其中解答中熟记函数的奇偶性,合理赋值求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.15、②③【解析】

根据局部频率和整体频率的关系,依次判断每个选项得到答案.【详解】不能确定甲乙两校的男女比例,故①不正确;因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率,故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率,故②正确;因为不能确定甲乙两校的男女比例,故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系,故③正确.故答案为:②③.【点睛】本题考查局部频率和整体频率的关系,意在考查学生的理解能力和应用能力.16、2【解析】

设符合条件的点,由抛物线的定义可得,即可求解.【详解】设符合条件的点,则,所以符合条件的点有2个.故答案为:2【点睛】本题考查抛物线的定义的应用,考查抛物线的焦半径.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】

(1)根据条件形式选择,然后利用余弦定理和正弦定理化简,即可求出;(2)由(1)求出角,利用正弦定理和消元思想,可分别用角的三角函数值表示出,即可得到,再利用三角恒等变换,化简为,即可求出最大值.【详解】(1)∵,即,∴变形得:,整理得:,又,∴;(2)∵,∴,由正弦定理知,,∴,当且仅当时取最大值.故的最大值为.【点睛】本题主要考查正弦定理,余弦定理,三角形面积公式的应用,以及利用三角恒等变换求函数的最值,意在考查学生的转化能力和数学运算能力,属于基础题18、(1),;(2),证明见解析【解析】

(1)利用已知条件建立等量关系求出数列的通项公式.(2)利用裂项相消法求出数列的和,进一步利用放缩法求出结论.【详解】(1),,得是公比为的等比数列,,,当时,数列的前项积为,则,两式相除得,得,又得,;(2),故.【点睛】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,数列的前项和的应用,裂项相消法在数列求和中的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力,属于中档题.19、(Ⅰ)(Ⅱ)证明见解析.【解析】由与,得,,的方程为.设,则,由得.①(Ⅰ)由,得,②,③由①、②、③三式,消去,并求得,故.(Ⅱ),当且仅当或时,取最小值,此时,,故与共线.20、(1);(2)或.【解析】

(1)利用正弦定理对已知代数式化简,根据余弦定理求解余弦值;(2)根据余弦定理求出b=1或b=3,结合面积公式求解.【详解】(1)已知等式3sin2A+3sin2B=4sinAsinB+3sin2C,利用正弦定理化简得:3a2+3b2﹣3c2=4ab,即a2+b2﹣c2ab,∴cosC;(2)把a=3,c,代入3a2+3b2﹣3c2=4ab得:b=1或b=3,∵cosC,C为三角形内角,∴sinC,∴S△ABCabsinC3×bb,则△ABC的面积为或.【点睛】此题考查利用正余弦定理求解三角形,关键在于熟练掌握正弦定理进行边角互化,利用余弦定理求解边长,根据面积公式求解面积.21、(1)(2)见解析【解析】

(1)取,

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