2025届湖北省黄岗市浠水实验高中高考数学三模试卷含解析

2025届湖北省黄岗市浠水实验高中高考数学三模试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数的最大值为，最小正周期为，则有序数对为（）A． B． C． D．2．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（）A． B． C． D．3．一个频率分布表（样本容量为）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在上的频率为，则估计样本在、内的数据个数共有（）A． B． C． D．4．设，其中a，b是实数，则（）A．1 B．2 C． D．5．已知是虚数单位，则（）A． B． C． D．6．若不相等的非零实数，，成等差数列，且，，成等比数列，则（）A． B． C．2 D．7．的展开式中的一次项系数为（）A． B． C． D．8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如，．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（）A． B． C． D．以上都不对9．已知等差数列的公差不为零，且，，构成新的等差数列，为的前项和，若存在使得，则（）A．10 B．11 C．12 D．1310．已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的值可能为（）A． B． C． D．11．如图，在中，点为线段上靠近点的三等分点，点为线段上靠近点的三等分点，则（）A． B． C． D．12．已知f(x)，g(x)都是偶函数，且在[0,+∞)上单调递增，设函数F(x)=f(x)+g(1-x)-|f(x)-g(1-x)|，若a>0，则（）A．F(-a)≥F(a)且F(1+a)≥F(1-a)B．F(-a)≥F(a)且F(1+a)≤F(1-a)C．F(-a)≤F(a)且F(1+a)≥F(1-a)D．F(-a)≤F(a)且F(1+a)≤F(1-a)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数的定义域为______.14．设P为有公共焦点的椭圆与双曲线的一个交点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则______________.15．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T的值为________.16．在棱长为的正方体中，是正方形的中心，为的中点，过的平面与直线垂直，则平面截正方体所得的截面面积为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）的内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，点为边的中点，且，求的面积.18．（12分）如图所示，三棱柱中，平面，点，分别在线段，上，且，，是线段的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，，，求直线与平面所成角的正弦值.19．（12分）已知函数，.（1）判断函数在区间上的零点的个数；（2）记函数在区间上的两个极值点分别为、，求证：.20．（12分）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________________，，求的面积.21．（12分）已知数列{an}满足条件，且an+2＝（﹣1）n（an﹣1）+2an+1，n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn＝，Sn为数列{bn}的前n项和，求证：Sn．22．（10分）已知数列的前项和为，且满足（）.（1）求数列的通项公式；（2）设（），数列的前项和.若对恒成立，求实数，的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】函数（为辅助角）∴函数的最大值为，最小正周期为故选B2、D【解析】

利用列举法，从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有9种情况，由古典概型概率公式可得结果.【详解】《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．记这5部专著分别为，其中产生于汉、魏、晋、南北朝时期．从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有共10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有，共9种情况，所以所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为．故选D．【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，….，再，…..依次….…这样才能避免多写、漏写现象的发生.3、B【解析】

计算出样本在的数据个数，再减去样本在的数据个数即可得出结果.【详解】由题意可知，样本在的数据个数为，样本在的数据个数为，因此，样本在、内的数据个数为.故选：B.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.4、D【解析】

根据复数相等，可得，然后根据复数模的计算，可得结果.【详解】由题可知：，即，所以则故选：D【点睛】本题考查复数模的计算，考验计算，属基础题.5、B【解析】

根据复数的乘法运算法则，直接计算，即可得出结果.【详解】.故选B【点睛】本题主要考查复数的乘法，熟记运算法则即可，属于基础题型.6、A【解析】

由题意，可得，，消去得,可得，继而得到，代入即得解【详解】由，，成等差数列，所以，又，，成等比数列，所以，消去得，所以，解得或，因为，，是不相等的非零实数，所以，此时，所以．故选：A【点睛】本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.7、B【解析】

根据多项式乘法法则得出的一次项系数，然后由等差数列的前项和公式和组合数公式得出结论．【详解】由题意展开式中的一次项系数为．故选：B．【点睛】本题考查二项式定理的应用，应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数．同时本题考查了组合数公式．8、A【解析】

首先确定不超过的素数的个数，根据古典概型概率求解方法计算可得结果.【详解】不超过的素数有，，，，，，，，共个，从这个素数中任选个，有种可能；其中选取的两个数，其和等于的有，，共种情况，故随机选出两个不同的数，其和等于的概率．故选：.【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.9、D【解析】

利用等差数列的通项公式可得，再利用等差数列的前项和公式即可求解.【详解】由，，构成等差数列可得即又解得：又所以时，.故选：D【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题.10、C【解析】

利用二倍角公式与辅助角公式将函数的解析式化简，然后利用图象变换规律得出函数的解析式为，可得函数的值域为，结合条件，可得出、均为函数的最大值，于是得出为函数最小正周期的整数倍，由此可得出正确选项.【详解】函数，将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得的图象；再把所得图象向上平移个单位，得函数的图象，易知函数的值域为.若，则且，均为函数的最大值，由，解得；其中、是三角函数最高点的横坐标，的值为函数的最小正周期的整数倍，且．故选C．【点睛】本题考查三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题，解题的关键在于确定、均为函数的最大值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11、B【解析】

，将,代入化简即可.【详解】.故选：B.【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题.12、A【解析】试题分析：由题意得，F(x)=2g(1-x),f(x)≥g(1-x)∴F(-a)=2g(1+a),f(a)=f(-a)≥g(1+a)2f(-a),f(a)=f(-a)<g(1+a)，∵a>0，∴(a+1)2-(a-1)∴若f(a)>g(1+a)：F(-a)=2g(1+a)，F(a)=2g(1-a)，∴F(-a)>F(a)，若g(1-a)≤f(a)≤g(1+a)：F(-a)=2f(-a)=2f(a)，F(a)=2g(1-a)，∴F(-a)≥F(a)，若f(a)<g(1-a)：F(-a)=2f(-a)=2f(a)，F(a)=2f(a)，∴F(-a)=F(a)，综上可知F(-a)≥F(a)，同理可知F(1+a)≥F(1-a)，故选A.考点：1.函数的性质；2.分类讨论的数学思想.【思路点睛】本题在在解题过程中抓住偶函数的性质，避免了由于单调性不同导致1-a与1+a大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化，另外，不要忘记定义域，如果要研究奇函数或者偶函数的值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

对数函数的定义域需满足真数大于0，再由指数型不等式求解出解集即可.【详解】对函数有意义，即.故答案为：【点睛】本题考查求对数函数的定义域，还考查了指数型不等式求解，属于基础题.14、【解析】设根据椭圆的几何性质可得,根据双曲线的几何性质可得，,即故答案为15、【解析】

由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序，模拟程序的运行，即可得到答案.【详解】根据题中的程序框图可得：,执行循环体，，不满足条件，执行循环体，，此时，满足条件，退出循环，输出的值为.故答案为：【点睛】本题主要考查了程序和算法，依次写出每次循环得到的，的值是解题的关键，属于基本知识的考查.16、【解析】

确定平面即为平面，四边形是菱形，计算面积得到答案.【详解】如图，在正方体中，记的中点为，连接，则平面即为平面．证明如下：由正方体的性质可知，，则，四点共面，记的中点为，连接，易证．连接，则，所以平面，则．同理可证，，，则平面，所以平面即平面，且四边形即平面截正方体所得的截面．因为正方体的棱长为，易知四边形是菱形，其对角线，，所以其面积．故答案为：【点睛】本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】

(1)利用正弦定理边化角,再利用余弦定理求解即可.(2)为为的中线,所以再平方后利用向量的数量积公式进行求解,再代入可解得,再代入面积公式求解即可.【详解】（1）由,可得,由余弦定理可得,故.（2）因为为的中线,所以,两边同时平方可得,故.因为,所以.所以的面积.【点睛】本题主要考查了利用正余弦定理与面积公式求解三角形的问题,同时也考查了向量在解三角形中的运用,属于中档题.18、（Ⅰ）证明见详解；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）取中点为，根据几何关系，求证四边形为平行四边形，即可由线线平行推证线面平行；（Ⅱ）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，即可求得线面角的正弦值.【详解】（Ⅰ）取的中点，连接，.如下图所示：因为，分别是线段和的中点，所以是梯形的中位线，所以.又，所以.因为，，所以四边形为平行四边形，所以.所以，.所以四边形为平行四边形，所以.又平面，平面，所以平面.（Ⅱ）因为，且平面，故可以为原点，的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，如下图所示：不妨设，则，所以，，，，.所以，，.设平面的法向量为，则所以可取.设直线与平面所成的角为，则.故可得直线与平面所成的角的正弦值为.【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行，以及用向量法求解线面角，属综合中档题.19、（1）；（2）见解析.【解析】

（1）利用导数分析函数在区间上的单调性与极值，结合零点存在定理可得出结论；（2）设函数的极大值点和极小值点分别为、，由（1）知，，且满足，，于是得出，由得，利用正切函数的单调性推导出，再利用正弦函数的单调性可得出结论.【详解】（1），，，当时，，，，则函数在上单调递增；当时，，，，则函数在上单调递减；当时，，，，则函数在上单调递增.，，，，.所以，函数在与不存在零点，在区间和上各存在一个零点.综上所述，函数在区间上的零点的个数为；（2），.由（1）得，在区间与上存在零点，所以，函数在区间与上各存在一个极值点、，且，，且满足即，，，又，即，，，，，由在上单调递增，得，再由在上单调递减，得，即.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，同时也考查了利用导数证明不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.20、横线处任填一个都可以，面积为．【解析】

无论选哪一个，都先由正弦定理化边为角后，由诱导公式，展开后，可求得角，再由余弦定理求得，从而易求得三角形面积．【详解】在横线上填写“”.解：由正弦定理，得.由，得.由，得.所以.又（若，则这与矛盾），所以.又，得.由余弦定理及，得，即.将代入，解得.所以.在横线上填写“”.解：由及正弦定理，得.又，所以有.因为，所以.从而有.又，所以由余弦定理及，得即.将代入，解得.所以.在横线上填写“”解：由正弦定理，得.由，得，所以由二倍角公式，得.由，得，所以.所以，即.由余弦定理及，得.即.将代入，解得.所以.【点睛】本题考查三角形面积公式，考查正弦定理、余弦定理，