《正弦函数的定义及其性质分析综述》2100字

正弦函数的定义及其性质分析综述目录TOC\o"1-2"\h\u21260正弦函数的定义及其性质分析综述 164361.1正弦函数的定义 180851.2正弦函数的图像 284491.3正弦函数的周期性 2168171.3.1函数周期性的定义 218481.3.2正弦函数的周期性 215502由于 3216951.4正弦函数的奇偶性 3178601.4.1函数奇偶性的定义 3244141.4.2正弦函数的奇偶性 4164511.5正弦函数的单调性 4310791.5.1函数单调性的定义 4193791.5.2怎样判别函数单调性 4266451.5.2正弦函数的单调性 51.1正弦函数的定义三角函数是基本初等函数之一,它是以角度为自变量,以任意角的终边与单位圆交点坐标或着它的比值为因变量的函数.也可以用与单位圆有关的各种线段的长度来定义，如对正弦函数的定义就是用正弦线来定义.教材通过类比锐角三角函数的定义，直接给出三角函数的代数定义，以任意角为自变量，以比值为函数值的函数.设是一个任意角，终边上任意一点(除端点外)的坐标为，它与原点的距离为，其中，那么比值叫的正弦，即[2].下面是借助单位圆作出有向线段来表示正弦函数，给出正弦函数的几何意义.如图1,设为任意角,把角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于，那么叫做的正弦,记作，即.图SEQ图\*ARABIC1用单位圆上点的坐标定义三角函数,除了考虑到使学生在三角函数学习之初就能感受到单位圆的重要性,为后续借助单位圆的直观讨论三角函数的图象与性质奠定坚实的基础外,主要还是为了这样的定义能够更好地反映三角函数的本质[3].用单位圆定义正弦函数使正弦函数反映的数形关系更为直接,为后面学习正弦函数的性质奠定了很好的直观基础.1.2正弦函数的图像函数本身指的是自变量和因变量的相互变化关系,是高度抽象的,利用图像能够更加直观具体的分析函数的特征,也能更好地理解函数的多种性质,例如周期性、单调性、对称性等，都能够清晰全面地将函数的变化趋势呈现出来.在使用函数图像的方法的过程中,它可以促进许多高中数学问题的解决和发展,图像的特征也可以直接或间接地判断函数的特征,有利于促进高中数学问题的解决,可以大大提高高中数学的准确性.如图2所示,在直角坐标系的轴上取一点,以为圆心,以单位长为半径作一个圆,从圆与轴的交点开始,把圆分成12等份,然后过圆上各分点作轴的垂线,得到等角对应的正弦线.同样,再将轴上从到这一部分分成12等份.把角的正弦线向右平移,使它的起点与轴上的点重合,然后用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来,就得到了函数的图像.图SEQ图\*ARABIC2的图像由图像可知，正弦函数的定义域为，值域为.1.3正弦函数的周期性1.3.1函数周期性的定义对于函数,如果存在非零实数,使得当取定义域内每一个值时,都有,那么函数数就叫做周期函数(periodicfunction).非零常数叫做这个函数的周期(period).如果在周期函数的所在周期中存在一个最小的正整数,那么这个最小正整数就叫做的最小正周期(minimalpositiveperiod).1.3.2正弦函数的周期性如图3所示，通过观察正弦函数的图像可知，正弦函数具有“周而复始”的变化规律，因为周期函数的周期不止一个，所以他的周期可以是，，，……等.因此都是它的周期，它的最小正期为.通过观察正弦函数图像以及诱导公式可以看出，当自变量的值增加的整数倍时,函数值就重复出现.当自变量在定义域内每增加或减少一定值，它的函数值就重复出现,因此正弦函数是周期函数.图SEQ图\*ARABIC3的图像1.3.3函数的周期性例1求函数的周期.分析我们知道的周期为.那么不妨令，那么,因此由于因此自变量至少增加到，函数值才能重复出现.即.用自变量的系数表示周期也是我们在解题中常常要用到的.根据这个结论，我们可以直接写出这类正弦函数的解析式的周期.1.4正弦函数的奇偶性本部分主要分析了奇偶函数的特点，以及判断正弦函数的奇偶性，通过对相关实例的解答,加深学生对奇偶函数的理解，从而使高中生充分掌握正弦函数奇偶性的性质.1.4.1函数奇偶性的定义一般地,如果对于函数的定义域内任意一个,都有,则称函数为偶函数.

一般地,如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数是奇函数.1.4.2正弦函数的奇偶性如图3，观察正弦函数图像，可以看出正弦函数图像关于原点对称.由周期性可知，的对称中心坐标为，它的对称轴方程为设，即为图像上任意一点，它关于原点的对称点是，也就是.由诱导公式可知，图像上任意一点关于原点的对称点是，它也在图像上.所以，正弦函数关于原点对称，正弦函数是奇函数.1.5正弦函数的单调性1.5.1函数单调性的定义一般地,设函数的定义域为：如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就说在这个区间上是增函数（increasingfunction）,这个区间就为单调增区间.如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就说在这个区间上是减函数（decreasingfunction）,这个区间就为单调减区间.1.5.2怎样判别函数单调性使用定义方法证明或判断函数单调性的步骤如下:(1)任意取值：在区间D上任取，且；(2)作差计算：求解,并做适当的变形（判断单调性最困难的步骤是在差时进行变形处理,常见的处理方法有因式分解、配方法、有理化、通分等）；(3)判定符号：判断的符号大于0还是小于0；(4)得出结论：函数f(x)是增函数或者减函数.对于一些简单函数单调性的判断，可以利用定义法很快判断.除了