【八年级上册数学浙教版】1.3.2 几何命题的证明与三角形外角的性质 同步练习

第1章三角形的初步知识1.3证明第2课时几何命题的证明与三角形外角的性质基础过关全练知识点1几何命题的证明1.（2022浙江杭州拱墅期末）在探索并证明三角形内角和定理“三角形三个内角的和等于180°”时，圆圆同学添加的辅助线为“过点A作直线DE∥BC”.请写出“已知”“求证”，并补全证明.已知:求证:证明:如图，过点A作直线DE∥BC.知识点2三角形外角的性质2.（2022浙江杭州树兰中学期中）如图所示的图形中，x的值是（）A.70B.50C.60D.803.（2022浙江台州和合教育联盟期中）如图所示，如果将一副三角板按如图所示的方式叠放，那么∠1等于（）A.120°B.105°C.60°D.45°4.（2022浙江乐清英华学校检测）如图，已知直线a∥b，∠1=85°，∠2=35°，则∠3=（）A.85°B.60°C.35°D.50°5.（2020浙江杭州中考）如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F.若∠E=30°，∠EFC=130°，则∠A=.

6.（教材P19变式题）如图，P是△ABC内一点，∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，则∠BPC等于.

能力提升全练7.（2022浙江杭州中学期中）如图所示，已知∠A=70°，∠B=40°，∠C=30°，则∠D+∠E等于（）A.30°B.40°C.50°D.60°8.（2022浙江诸暨滨江教育集团月考）如图，∠ABD、∠ACD的平分线交于点P，若∠A=60°，∠D=20°，则∠P的度数为（）A.15°B.20°C.25°D.30°9.（2022浙江杭州余杭三校联考）如图，D，E，F分别是△ABC三边延长线上的点，∠D+∠E+∠F=107°，则∠1+∠2+∠3=°.

10.如图，∠A=m°，∠ABC的平分线和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC的平分线和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；……∠A2021BC的平分线和∠A2021CD的平分线交于点A2022，得∠A2022，则∠A2022=.

11.（1）小明在探究三角形的外角性质时发现:三角形不共顶点的三个外角的和等于360°，请证明小明的结论；（2）请你直接利用以上结论，解决下面的问题:一个正方形和两个等边三角形（等边三角形的三个内角都为60°）的位置如图所示，已知∠3=50°，则∠1+∠2的度数为.

素养探究全练12.[逻辑推理]（1）如图①，将△ABC纸片沿DE折叠，此时点A落在四边形BCDE的内部，则∠DAE与∠1，∠2之间有一种数量关系保持不变，请找出这种数量关系，并说明理由；（2）若将△ABC折成图②或图③，即点A落在BE或CD上，分别写出∠DAE与∠2，∠DAE与∠1之间的数量关系式，并说明理由；（3）若将△ABC折成图④，写出∠DAE与∠1，∠2之间的数量关系式，并说明理由；（4）若将△ABC折成图⑤，写出∠DAE与∠1，∠2之间的数量关系式，并说明理由.图①图②图③图④图⑤

第1章三角形的初步知识1.3证明第2课时几何命题的证明与三角形外角的性质答案全解全析基础过关全练1.解析已知:∠BAC、∠B、∠C是△ABC的三个内角.求证:∠BAC+∠B+∠C=180°.证明:过点A作直线DE∥BC.∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，∵∠BAC+∠DAB+∠EAC=180°，∴∠BAC+∠B+∠C=180°.2.C根据三角形外角的性质可得x+10+x=x+70，解得x=60.故选C.3.B如图，∠2=90°-45°=45°，由三角形外角的性质得∠1=∠2+60°=45°+60°=105°.故选B.4.D如图，∵∠1=∠2+∠4，∴∠4=85°-35°=50°，∵a∥b，∴∠3=∠4=50°.故选D.5.20°解析∵AB∥CD，∴∠ABF+∠EFC=180°，∵∠EFC=130°，∴∠ABF=50°，∵∠A+∠E=∠ABF=50°，∠E=30°，∴∠A=20°.6.135°解析如图，延长CP交AB于点D，∵∠BDC=∠2+∠A，∠BPC=∠1+∠BDC，∴∠BPC=∠1+∠2+∠A=15°+40°+80°=135°.能力提升全练7.B如图，延长CD交AB于F，设BE交CD于O，∵∠BFO=∠A+∠C=70°+30°=100°，∴∠DOE=∠B+∠BFO=40°+100°=140°，∵∠ODE+∠E+∠DOE=180°，∴∠ODE+∠E=180°-140°=40°.故选B.8.B如图，延长DC，与AB交于点E，∵∠ACD=∠A+∠AEC，∠AEC=∠ABD+∠D，∴∠ACD=60°+∠ABD+20°，∴∠ACD-∠ABD=80°，设AC与BP相交于O，则∠AOB=∠POC，∵BP，CP分别是∠ABD、∠ACD的平分线，∴∠P+12∠ACD=∠A+12∴∠P=60°-12（∠ACD-∠ABD）=60°-12×80°=20°.9.73解析∵∠D+∠3=∠CAB，∠E+∠1=∠ABC，∠F+∠2=∠ACB，∴∠D+∠E+∠F+∠1+∠2+∠3=∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，∵∠D+∠E+∠F=107°，∴∠1+∠2+∠3=73°.10.m22022°解析∵BA1．CA1分别平分∠ABC和∠ACD，∴∠ABC=2∠A1BC，∠ACD=2∠A1CD，又∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠A1，∴∠A1=m2°；同理可得∠A1=2∠A2，即∠A=22∠A2，∴∠A2=m22°，……，∴∠A2022=m22022°.11.解析（1）已知:如图，∠1．∠2．∠3是△ABC的三个不共顶点的外角.求证:∠1+∠2+∠3=360°.证明:∵∠1+∠BAC=180°，∠2+∠ABC=180°，∠3+∠ACB=180°，∴∠1+∠2+∠3+∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°×3=540°，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠1+∠2+∠3=540°-180°=360°.（2）∵等边三角形的内角都是60°，正方形的内角都是90°，三角形不共顶点的三个外角的和是360°，∴∠1+90°+∠2+60°+∠3+60°=360°，∴∠1+∠2=360°-90°-60°-60°-50°=100°.素养探究全练12.解析（1）∠1+∠2=2∠DAE.理由:如图1，延长BE，CD交于点P，连结AP.由折叠可得∠DAE=∠DPE，∵∠1=∠EAP+∠EPA，∠2=∠DAP+∠DPA，∴∠1+∠2=∠DAE+∠DPE=2∠DAE，即∠1+∠2=2∠DAE.（2）题图②中，∠2=2∠DAE.理由:如图2，延长BE，CD交于点P.由折叠可得∠DAE=∠P，∴∠2=∠DPE+∠DAE=2∠DAE，即∠2=2∠DAE.题图③中，∠1=2∠DAE.理由:如图3，延长BE，CD交于点P.由折叠可得∠DAE=∠P，∴∠1=∠EAP+∠P=2∠DAE，即∠1=2∠DAE.（3）∠2-∠1=2∠DAE.理由:如图4，延长BE，CD交于点P.由折叠可得∠DAE=∠P，∵∠2=∠3+∠P，∠3