【八年级上册数学苏科版】专题18 一次函数的图像和性质(解析版)（重点突围）

第第页专题18一次函数的图像和性质考点一正比例函数的图像和性质考点二判断一次函数的图像考点三根据一次函数的解析式判断其经过的象限考点四已知函数经过的象限求参数的范围考点五一次函数图像与坐标轴的交点问题考点六判断一次函数增减性考点七根据一次函数增减性求参数考点八一次函数图像平移问题考点九求一次函数解析式考点十一次函数的规律探究问题考点一正比例函数的图像和性质例题：（2022·湖北·武汉外国语学校美加分校八年级阶段练习）已知点(-2，1)在正比例函数上，则下列各点也在该函数图象上的是（

）A．(1，-2) B．(2，-1) C．(-2，-1) D．(-1，2)【答案】B【分析】先求出m的得到函数解析式，再分别将点的横坐标代入计算纵坐标，由此得到答案．【详解】解：∵点(-2，1)在正比例函数上，∴，得m=，∴，当x=1时，y=，故选项不符合题意；当x=2时，y=-1，故选项B符合题意；当x=-2时，y=1，故选项C不符合题意；当x=-1时，y=，故选项D不符合题意；故选：B．【点睛】此题考查了求函数解析式，判断点是否在函数图象上，正确求函数解析式，理解判断点的方法是解题的关键．【变式训练】1．（2021·天津市红桥区教师发展中心八年级期末）已知点，在正比例函数的图象上，且当时，有，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】正比例函数的性质得到2m-1＞0，然后解不等式即可．【详解】解：∵点，在正比例函数y=（2m-1）x的图象上，且当时，有，∴y随x的增大而增大，∴2m-1＞0，解得m＞．故选：D．【点睛】本题考查的是正比例函数图象上点的坐标特点，熟知正比例函数的性质是解答此题的关键．2．（2022·内蒙古鄂尔多斯·八年级阶段练习）若，是正比例函数图象上的两点，则______（填“＞”“＜”或“＝”）．【答案】＞【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征可求出y1、y2的值，比较后即可得出结论．【详解】解：∵（1，）、（2，）是正比例函数y=-x图象上的两点，∴，．∵-1＞-2，∴．故答案为：＞．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征求出的值是解题的关键．3．（2022·全国·八年级单元测试）若是正比例函数，则：(1)常数；(2)随的增大而（填“增大”或“减小”．【答案】(1)0(2)减小【分析】（1）根据正比例函数定义得到且，易得的值；（2）根据正比例函数的性质即可得到结论．（1）解：当且时，是的正比例函数，解得；故答案为：0（2）解：由（1）得，，，随的增大而减小；故答案为：减小．【点睛】本题主要考查了正比例函数的图象和性质，熟练掌握正比例函数的图象和性质是解题的关键．考点二判断一次函数的图像例题：（2022·安徽·金寨县天堂寨初级中学八年级阶段练习）一次函数与正比例函数（m，n为常数、且）在同一平面直角坐标系中的图可能是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论mn的符号，然后根据m、n同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．【详解】解：A、一次函数m＞0，n＞0；正比例函数mn＜0，矛盾；B、一次函数m＞0，n＜0；正比例函数mn＞0，矛盾；C、一次函数m＞0，n＜0，正比例函数mn＜0，成立；D、一次函数m＜0，n＞0，正比例函数mn＞0，矛盾，故选：C．【点睛】此题主要考查了一次函数和正比例函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y＝kx＋b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，经过第二、三、四象限．【变式训练】1．（2022·黑龙江·哈尔滨顺迈学校八年级期末）如图，同一直角坐标系中，能表示一次函数y=x+kb和y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】由于无法直接辨识一次函数y=x+kb和y=kx+b的图象各是哪条直线，因此要根据选项先得到，再根据k，b的正负分类讨论得出答案．【详解】解：A、一次函数y=kx+b经过第一、二、三象限，则k＞0，b＞0，则kb＞0；而一次函数y=x+kb与y轴交于负半轴，则kb＜0．kb＞0与kb＜0相矛盾，不符合题意；B、一次函数y=kx+b经过第二、三、四象限，则k＜0，b＜0，则kb＞0；而一次函数y=x+kb与y轴交于负半轴，则kb＜0．kb＞0与kb＜0相矛盾，不符合题意；C、一次函数y=kx+b经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，则kb＜0；而一次函数y=x+kb与y轴交于负半轴，则kb＜0．kb＜0与kb＜0相一致，符合题意；D、一次函数y=kx+b经过第二、三、四象限，则k＜0，b＜0，则kb＞0；而一次函数y=x+kb与y轴交于负半轴，则kb＜0．kb＞0与kb＜0相矛盾，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了一次函数图象，解题的关键是掌握一次函数的图象有四种情况：①当，，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象．2．（2022··八年级期末）一次函数与正比例函数（k，b是常数，且）的图像可能是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】根据一次函数的图像与系数的关系确定一次函数y＝kx＋b图像分析可得k、b的符号，进而可得k•b的符号，从而判断y＝kbx的图像是否正确即可解答．【详解】解：根据一次函数的图像分析可得：A、由一次函数y＝kx＋b图像可知k＜0，b＞0，kb＜0；正比例函数y＝kbx的图像可知kb＞0，矛盾，故此选项错误，不满足题意；B、由一次函数y＝kx＋b图像可知k＞0，b＜0；即kb＜0，与正比例函数y＝kbx的图像可知kb＞0，矛盾，故此选项错误，不满足题意；C、由一次函数y＝kx＋b图像可知k＞0，b＜0；即kb＜0，与正比例函数y＝kbx的图像可知kb＜0，正确，故此选项正确，满足题意；D、由一次函数y＝kx＋b图像可知k＞0，b＞0；即kb＞0，与正比例函数y＝kbx的图像可知kb＜0，矛盾，故此选项错误，不满足题意．故选：C．【点睛】此题主要考查了一次函数图像，注意：一次函数y＝kx＋b的图像有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y＝kx＋b的图像经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y＝kx＋b的图像经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx＋b的图像经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx＋b的图像经过第二、三、四象．考点三根据一次函数的解析式判断其经过的象限例题：（2022·湖南·长沙市华益中学九年级期末）直线不经过第________象限．【答案】三【分析】由，，即可判断出图象经过的象限．【详解】解：∵直线中，，，∴直线的图象经过第一，二，四象限．∴直线的图像不经过第三象限，故答案为：三【点睛】本题考查了一次函数的图象的性质，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数图像与系数之间的关系．【变式训练】1．（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）一次函数的图象不经过的象限是________．【答案】四象限【分析】根据一次函数的性质解答即可．【详解】解：∵1＞0，4＞0，∴一次函数的图象经过一、二、三象限，即不经过第四象限．故答案为：四象限．【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数的图象经过第几象限，取决于x的系数及常数是大于0或是小于0．2．（2022·北京亦庄实验中学八年级期末）一次函数的图象不经过第_________象限．【答案】三【分析】根据一次函数的解析式和一次函数的性质，可以得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限．【详解】∵一次函数，，，∴该函数图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．故答案为：三．【点睛】本题考查一次函数的性质，明确题意，利用一次函数的性质是解答本题的关键．3．（2022·河南·西峡县城区二中八年级阶段练习）关于x的一次函数y=kx-k（k＜0）的图象不经过第______象限．【答案】三【分析】根据题意和一次函数的性质可以判断该函数经过哪几个象限，从而可以解答本题．【详解】解：∵关于x的一次函数y=kx-k（k＜0），∴该函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故答案为：三．【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，解答本题的明确题意，利用一次函数的性质解答．考点四已知函数经过的象限求参数的范围例题：（2022·甘肃·民勤县第六中学九年级期中）若函数的图像不经过第二象限，则m的取值范围______．【答案】【分析】由一次函数y=（m+1）x+m-3的图象不经过第二象限，可得k＞0，b≤0，列不等式组求解即可．【详解】解：∵一次函数y=（m+1）x+m-1的图象是直线且不经过第二象限，∴，解得-1＜m≤1，故答案为：-1＜m≤1．【点睛】考查一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是正确解答的前提，列不等式（组）是常用的方法．【变式训练】1．（2022·云南红河·八年级期末）函数经过第一、二、四象限，则在第______象限．【答案】四【分析】根据函数与象限的关系，判断出的取值范围，即可得出答案．【详解】如图，因为函数经过第一、二、四象限，所以，则M点在第四象限故答案为四【点睛】本题考查一次函数的图像及象限的定义，熟练掌握一次函数与象限的关系为关键，画出图形可以更直观得出答案．2．（2022·广东·惠州市惠城区博文学校八年级期末）当直线y＝（1－k）x－3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是____．【答案】k＞1【分析】根据直线经过的象限与一次函数系数的关系，可得出关于k的一元一次不等式，解之即可．【详解】当x=0时，y=－3．∴直线y=（1－k）x－3经过．∵直线y=（1－k）x－3经过第二、三、四象限，∴．∴k＞1．故答案为：k＞1．【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系．当k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．3．（2021·江苏·沭阳县修远中学八年级期末）若一次函数的图象不经过第四象限，则k的取值范围是__________．【答案】＜【分析】由一次函数的图象不经过第四象限，可得，再解不等式组可得答案．【详解】解：一次函数的图象不经过第四象限，由①得：＞由②得：＜故答案为：＜【点睛】本题考查的是一次函数的图像与性质，掌握一次函数的系数与经过的象限的关系是解题的关键．考点五一次函数图像与坐标轴的交点问题例题：（2022·广东·汕头市潮南实验学校八年级阶段练习）直线与x轴的交点坐标为___________，与y轴的交点坐标为___________．【答案】

##

【分析】分别令和，即可求解．【详解】解：当时，，解得：，∴直线与x轴的交点坐标为；当时，，∴直线与y轴的交点坐标为，故答案为：，【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与坐标轴的交点问题，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．【变式训练】1．（2021·云南临沧·八年级期末）直线与x轴的交点坐标是____________，与y轴交点坐标是____________，图象与坐标轴围成的三角形面积是____________．【答案】

（-2，0）

（0，2）

2【分析】令y=0，计算出x的值，可得与x轴交点坐标；令x=0，计算出y的值，可得与y轴交点坐标，然后可得图象与坐标轴所围成的三角形面积．【详解】解：∵当y=0时，x+2=0，解得：x=-2，∴图象与x轴交点坐标是（-2，0），∵当x=0时，y=2，∴与y轴交点坐标是（0，2），图象与坐标轴所围成的三角形面积是：×2×2=2，故答案为：（-2，0）；（0，2）；2．【点睛】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．2．（2022·海南省直辖县级单位·八年级期末）直线与x轴交点坐标为___________，与y轴交点坐标为___________，图象经过___________象限，y随着x的增大而___________．【答案】

（6，0）

（0，-3）

一、三、四

增大【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出直线与两坐标轴的交点坐标，利用一次函数图象与系数的关系，可得出直线经过第一、三、四象限，利用一次函数的性质，可得出y随着x的增大而增大．【详解】解：当y=0时，x-3=0，解得：x=6，∴直线y=x-3与x轴交点坐标为（6，0）；当x=0时，y=×0-3=-3，∴直线y=x-3与y轴交点坐标为（0，-3）．∵k=＞0，b=-3＜0，∴y随着x的增大而增大，直线y=x-3经过第一、三、四象限．故答案为：（6，0）；（0，-3）；第一、三、四；增大．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，利用一次函数图象上点的坐标特征，找出直线与两坐标轴的交点坐标是解题的关键．3．（2022·吉林·长春市第四十五中学八年级阶段练习）一次函数的图象与x轴的交点A的坐标为______，与y轴的交点为B的坐标为______，在x轴上有一点M，使得的面积为12，则M点的坐标为______．【答案】

（3，0）

（0，-6）

（-1，0）或（7，0）【分析】令y=0，即可求出与x轴的交点A坐标；令x=0，即可求出与y轴的交点B坐标；根据点B的坐标可知三角形的高，结合三角形的面积公式，即可求出三角形的底AM的长度，分情况写出点M的坐标即可．【详解】当y=0时，0=2x-6，解得：x=3，∴A（3，0），当x=0时，y=2×0-6，解得：y=-6，∴B（0，-6），∵B（0，-6），∴的高为6，∴，解得：AM=4，当点M在点A左边时，M（3-4，0），即：M（-1，0），当点M在点A右边时，M（3+4，0），即：M（7，0），故答案为：（3，0），（0，-6），（-1，0）或（7，0）．【点睛】本题主要考查了坐标轴上点的坐标特征，掌握x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0是解题的关键．考点六判断一次函数增减性例题：（2021·贵州黔东南·八年级期末）已知M（-3，），N（2，）是直线上的两点，则，的大小关系____．【答案】##【分析】根据可知y随x的增大而减小，根据函数的增减性和x的大小即可判断最终结果．【详解】解：∵，∴y随x的增大而减小，∵，∴，故答案为：【点睛】本题考查一次函数的图象性质：当k>0，y随x增大而增大；当k<0时，y将随x的增大而减小，解题的关键是熟记一次函数的图象性质．【变式训练】1．（2022·湖南·郴州市第四中学八年级期末）已知点，都在直线y＝x＋2上，则______．（填“>”或“<”或“＝”）【答案】＜【分析】先根据一次函数解析式判断一次函数的增减性，由此即可得到答案．【详解】解：∵直线y＝x＋2中，，∴对于y＝x＋2，y随x增大而增大，∵点，都在直线y＝x＋2上，且，∴，故答案为：＜．【点睛】本题主要考查了比较一次函数函数值的大小，正确判断出一次函数的增减性是解题的关键．2．（2022·山西吕梁·八年级期末）已知点A（2，），B（3，）在一次函数的图象上，则与的大小关系是________．【答案】【分析】根据一次函数的增减性即可得出正确答案．【详解】解：∵一次函数中，，∴随的增大而减小，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数的增减性，熟练掌握一次函数的性质是本题的关键．3．（2022·黑龙江绥化·八年级期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝－2x＋1的图像经过，两点，则______（填“＞”“＜”或“＝”）【答案】＞【分析】根据一次函数的增减性判断即可．【详解】解：∵一次函数y＝－2x＋1的k=-2＜0，∴y随x的增大而减小，∵一次函数y＝－2x＋1的图像经过，两点，且1＜3，∴，故答案为：＞．【点睛】本题考查一次函数的性质，会根据一次函数的增减性判断函数值的大小是解答的关键．考点七根据一次函数增减性求参数例题：（2022·广东惠州·八年级期末）一次函数的值随x值的增大而减小，则常数a的取值范围是___【答案】a＜-3【分析】先根据一次函数的性质得出关于a的不等式a+3＜0，再解不等式即可求出a的取值范围．【详解】解：∵一次函数的值随x值的增大而减少，∴a+3＜0，解得a＜-3．故答案为：a＜-3．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．【变式训练】1．（2022·上海复旦五浦汇实验学校八年级期末）一次函数，若函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是______．【答案】【分析】根据一次函数的性质分析即可．【详解】解：，若函数值随的增大而减小，则据题意得：，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键．2．（2022·四川·成都外国语学校九年级期中）已知函数y=(k-1)x-1，若y随x的增大而减小，则k的取值范围为______．【答案】k<1【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可得结论．【详解】解：∵一次函数y=(k-1)x-1，y随x的增大而减小，∴k-1<0，∴k<1．故答案为：k<1．【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握一次函数的性质．3．（2022·河北秦皇岛·八年级期末）已知一次函数，y的值随x的值增大而减小，那么m的取值范围是____【答案】【分析】根据一次函数的增减性列出不等式，通过解该不等式即可求得的取值范围．【详解】解析：一次函数的函数值随的增大而减小，，．故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，在直线中，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，熟悉相关性质是解题的关键．考点八一次函数图像平移问题例题：（2022·内蒙古·满洲里市第五中学八年级期末）将直线向下平移3个单位，得到的直线与x轴的交点坐标为______．【答案】(2，0)【分析】根据函数图象平移的规律“上加下减”可求出平移后的直线解析式，再令其，求出x的值，即得出其与x轴的交点坐标．【详解】将直线向下平移3个单位后所得的直线解析式为：．令其，则，解得：，∴得到的直线与x轴的交点坐标为(2，0)．故答案为：(2，0)．【点睛】本题考查一次函数图象的平移，一次函数图象与坐标轴的交点坐标．掌握函数图象平移的规律“上加下减”是解题关键．【变式训练】1．（2022·甘肃·金昌市龙门学校八年级期中）将直线向上平移1个单位长度，平移后直线的解析式为______．【答案】y=2x+1【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．【详解】解：将直线y=2x向上平移1个单位长度，平移后直线的解析式为y=2x+1．故答案为：y=2x+1．【点睛】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．2．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处模拟预测）将直线y＝2x－1向下平移3个单位后得到的直线表达式为________．【答案】【分析】根据一次函数平移的规律解答．【详解】解：直线y＝2x－1向下平移3个单位后得到的直线表达式为y＝2x－1－3=2x－4，即y=2x－4，故答案为y=2x－4．【点睛】此题考查了一次函数平移的规律：左加右减，上加下减，熟记平移的规律是解题的关键．3．（2022·四川·西昌市川兴中学八年级阶段练习）把函数的图像向右平移2个单位再向上平移3个单位，可得到的图像表示的函数是________________【答案】y=-2x+8【分析】根据平移法则上加下减可得出解析式．【详解】解：由题意得：平移后的解析式为：y=-2（x-2）+1+3=-2x+8．故答案为：y=-2x+8．【点睛】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．考点九求一次函数解析式例题：（2021·广东湛江·八年级期末）已知一次函数的图象经过M（0，2），N（1，3）两点，求此一次函数的解析式．【答案】一次函数解析式为y=x+2【分析】设一次函数解析式为y=kx+b（k≠0），把M（0，2），N（1，3）代入得到关于k，b的方程组，求出k和b的值即可．【详解】设一次函数解析式为y=kx+b（k≠0），依题意得，解得，∴一次函数解析式为y=x+2．【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．【变式训练】1．（2022·甘肃·金昌市龙门学校八年级期中）若直线y=-x与一次函数y=x+m的图象交于点A，且点A的横坐标为-1．求该一次函数的解析式【答案】y=x+2【分析】先将x=-1代入y=-x,求出y的值，得到点A坐标，再将点A坐标代入y=x+m,利用待定系数法可得一次函数的解析式；【详解】解：∵点A的横坐标为-1，∴将x=-1代入y=-x，得y=1，则点A坐标为(-1，1)．将A(-1,1)代入y=x+m，得-1+m=1，解得m=2，所以一次函数的解析式为y=x+2；【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．2．（2022·湖南湘潭·八年级期末）已知，若一次函数(1)若函数图象经过点，求的值；(2)求满足条件（1）的直线与两坐标轴围成的三角形的面积；【答案】(1)1(2)4【分析】（1）把代入一次函数即可求得m的值；（2）将m的值代入一次函数求得一次函数的解析式，再求出一次函数与两坐标轴的交点即可求解．（1）解：∵一次函数过点，∴，解得m=1；（2）解：当m=1时，，∴一次函数，∴一次函数与两坐标轴的交点为（0，4），（2，0），∴．【点睛】本题主要考查了一次函数的性质、待定系数法求解一次函数以及一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．3．（2022·广东惠州·八年级期末）一次函数y＝kx＋b的图象经过A（－1，2），B（4，－）两点，并且与x轴交于点C，与y轴交于点E．(1)求一次函数的表达式；(2)若在x轴上有一动点D，当S△ABD＝2S△AOB时，求点D的坐标．(3)y轴上是否存在点P，使△CEP为等腰三角形，如果存在，直接写出三个满足条件P点的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)y＝－x＋(2)点D的坐标为（－3，0）或（9，0）(3)存在，点P坐标为，（任选三个即可）【分析】（1）把A（－1，2），B（4，－）两点代入y＝kx＋b得二元一次方程组求解即可；（2）先求出点C的坐标，进而求得S△AOB与S△ABD，从而求得CD的长，分类讨论求解点D的坐标即可；（3）求出CE的长，结合图形，写出当PE=CE时两种情形，当CE=CP时，当EP=CP时的情形．（1）解：将点A（－1，2），B（4，－）代入y＝kx＋b，得，解得∴一次函数的表达式为y＝－x＋（2）解：当－x＋＝0时，解得x＝3，∴C（3，0）．∵S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝|yA|·OC＋|yB|·OC＝×2×3+×3×＝，∴S△ABD＝2S△AOB＝．∵S△ABD＝S△ACD＋S△BCD＝|yA|·CD＋|yB|·CD＝×2×CD+××CD=∴，∴CD＝6，∵C（3，0），

∴当点D在点C的左侧时，点D的坐标为（－3，0），当点D在点C的右侧时，点D的坐标为（9，0），综上所述，点D的坐标为（－3，0）或（9，0）．（3）解：存在，点P坐标为，．如下图，∵∴当时，∵，∴，当时，∵，点在y轴的负半轴，∴，当时，∵OC⊥，OE=，∴，∵点在y轴的负半轴，∴，当时，设，∵C（3，0），OE=，∴=，，∴，解得，∴，综上所述，存在点P坐标为，使△CEP为等腰三角形．【点睛】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数的性质，等腰三角形的分类等知识，解决问题的关键是画出符台条件的图形．考点十一次函数的规律探究问题例题：（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（图中所示的阴影部分），其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第个等腰直角三角形的面积是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，可得第个等腰直角三角形的直角边长，求出第个等腰直角三角形的面积，用同样的方法求出第个等腰直角三角形的面积，第个等腰直角三角形的面积，找出其中的规律即可求出第个等腰直角三角形的面积．【详解】解：当时，，根据题意，第个等腰直角三角形的直角边长为，第个等腰直角三角形的面积为，当时，，第个等腰直角三角形的直角边长为，第个等腰直角三角形的面积为，当时，，第个等腰直角三角形的直角边长为，第个等腰直角三角形的面积为，依此规律，第个等腰直角三角形的面积为，故选：C．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征与规律的综合，涉及等腰直角三角形的性质，找出规律是解题的关键．【变式训练】1．（2022·山东日照·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，依次在x轴上排列的正方形都有一个顶点在直线上，从左到右分别记作，，，，已知顶点的坐标是，则的纵坐标为（

）A． B． C． D．2022【答案】B【分析】求出P1、P2、P3、P4的坐标即可总结出规律即可解答．【详解】解：∵P1坐标为（1，1），P2（2，2），P3（4，4），P4（8，8），，∴点P2022的纵坐标为，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征，解答此题的关键是熟知一次函数图像上点的坐标特点，可用取特殊值的方法求定点坐标寻找规律解答．2．（2022·河南·信阳市浉河区新时代学校八年级期末）如图，已知直线l：y＝x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，以OB1为半径作弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，以OB2，为半径作弧交x轴于点A3……按此作法进行下去，则点An的坐标为（

）A．（2n，0） B．（2n﹣1，0） C．（2n+1，0） D．（2n+2，0）【答案】B【分析】根据题意，由A（1，0）和直线l关系式y=x,可以求出点B1的坐标，在Rt△OA1B1中，根据勾股定理，可以求出OB1的长；再根据OB1=OA2确定A2点坐标，同理可求出A3、A4、A5……，然后再找规律，得出An的坐标，从而求得点A20的坐标．【详解】当x=1时，y=x=，即A1B1=，在Rt△OA1B1中，由勾股定理得OB1=2，∵OB1=OA2，∴A2（2，0）同理可求：A3（4，0）、A4（8，0）、A5（16，0）……由点：A1（1，0）、A2（2，0）、A3（4，0）、A4（8，0）、A5（16，0）……即：A1（20，0）、A2（21，0）、A3（22，0）、A4（23，0）、A5（24，0）…可得An（2n-1，0）故选：B．【点睛】考查一次函数图象上的点坐标特征，勾股定理，以及点的坐标的规律性．在找规律时，应特别注意A点的横坐标的指数与A所处的位数容易搞错．一、选择题1．（2022·湖南师大附中博才实验中学九年级阶段练习）一次函数与y轴的交点是（）A．（0，2） B．（0，） C．（2，0） D．（，0）【答案】A【分析】令，即可求解．【详解】解：当时，，∴一次函数与y轴的交点是（0，2）．故选：A【点睛】本题主要考查了一次函数的与坐标轴的交点，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．2．（2022·福建龙岩·八年级期末）对于函数，下列结论正确的是（

）A．它的图象必经过点 B．它的图象经过第一、三、四象限C．当时， D．的值随值的增大而减小【答案】A【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：当时，，则它的图象必经过点，故选项A正确，符合题意；因为，则它的图象经过第一、二、三象限，故选项B错误，不符合题意；因为，则y随x的增大而增大，当时，，故当时，，故选项C错误，不符合题意；该函数随的增大而增大，故选项D错误，不符合题意；故选：A．【点睛】本题一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．3．（2022·海南·儋州川绵中学八年级期中）对于一次函数，下列结论错误的是（

）A．函数的图象与x轴的交点坐标是（0，4）B．函数值随自变量的增大而减小C．函数的图象不经过第三象限D．函数的图象向下平移4个单位长度得的图象【答案】A【分析】分别根据一次函数的性质及函数图象平移的法则进行解答即可．【详解】解：A、令y＝0，则x＝2，因此函数的图象与x轴的交点坐标是（2，0），故A符合题意；B、因为一次函数y＝−2x＋4中k＝−2＜0，因此函数值随x的增大而减小，故B不符合题意；C、因为一次函数y＝−2x＋4中k＝−2＜0，b＝4＞0，因此此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，故C不符合题意；D、由“上加下减”的原则可知，函数的图象向下平移4个单位长度得y＝−2x的图象，故D不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查的是一次函数的性质及一次函数的图象与几何变换，熟知一次函数的性质及函数图象平移的法则是解答此题的关键．4．（2022·四川·西昌市川兴中学八年级阶段练习）一次函数在时对应的值为，则该函数的解析式为（

）A．或 B．或C．或 D．不能确定【答案】B【分析】分两种情况讨论：（1）当x=-2时，y=4；x=-1时，y=9；（2）当x=-2时，y=9；x=-1时，y=4；据此利用待定系数法求出一次函数解析式即可．【详解】解：由题意分两种情况讨论：（1）当x=-2时，y=4；x=-1时，y=9；代入解析式得：，解得：，函数解析式为y=5x+14；（2）当x=-2时，y=9；x=-1时，y=4；代入解析式得：，解得：，函数解析式为y=-5x-1；故选：B．【点睛】此题考查了一次函数的性质，解题关键是能根据函数的增减性和函数值的取值范围确定自变量与函数的两组对应值，再利用待定系数法求出函数解析式．5．（2021·四川泸州·八年级期末）如图△A1B1A2.，△A2B2A3，△A3B3A4，……，△AnBnAn+1都是等腰直角三角形，其中点A1，A2，……，An在x轴上，点B1，B2，……，Bn在直线y=x上，已知OA1=1，则OA2019的长是（

）A．22017 B．22018 C．22019 D．22020【答案】B【分析】根据一次函数的性质可得∠B1OA1=45°，然后求出△OA2B2是等腰直角三角形，△OA3B2是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半求出OA3，同理求出OA4，然后根据变化规律写出即可．【详解】解：∵直线为y=x，∴∠B1OA1=45°，∵△A2B2A3是等腰直角三角形，∴B2A2⊥x轴，∠B2A3A2=45°，∴△OA2B2是等腰直角三角形，△OA3B2是等腰直角三角形，∴OA3=2A2B2=2OA2=2×2=4，同理可求OA4=2OA3=2×4=23，…，所以，OA2019=22018．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，熟记性质并确定出等腰直角三角形是解题的关键．二、填空题6．（2022·广东·惠州市小金茂峰学校八年级期末）如果正比例函数的图像经过点，那么的值是__．【答案】3【分析】将点代入函数解析式，即可求解．【详解】解：把代入函数解析式，得：，解得：k＝3．故答案为：3．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，掌握正比例函数的定义，是解题的关键．7．（2022·黑龙江齐齐哈尔·八年级期末）直线与轴交点坐标为______，与轴交点为______，随的增大而______．【答案】

增大【分析】根据题意，令，得，可得直线与轴的交点坐标，令，则，可得直线与轴的交点坐标，根据一次函数解析式中，则随的增大而增大．【详解】解：令，则，解得，故直线与轴的交点坐标为；令，则，故直线与轴的交点坐标为；直线中，随的增大而增大．故答案为：，，增大．【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴交点，判断一次函数的增减性，掌握一次函数的性质是解题的关键．8．（2022·黑龙江·哈尔滨顺迈学校八年级期末）点P（1，）和点Q（2，）是一次函数，y=-3x+b的图象上的两点，则与大小关系是____________．【答案】【分析】k＝﹣3＜0，故函数y的值随x的增大而减小，即可求解．【详解】解：∵k＝﹣3＜0，∴函数y的值随x的增大而减小，∵1＜2，故答案为．【点睛】本题考查了一次函数的性质，根据k的正负确定一次函数的增减性是解题的关键.9．（2022·四川成都·二模）一次函数的值随着x值的增大而减小，则常数m的取值范围为_____．【答案】【分析】根据一次函数的性质可知：2m+1＜0，即可求解．【详解】∵一次函数y＝（2m+1）x-2的函数值随x值的增大而减小，∴2m+1＜0∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数的性质，理解当k<0时，y随x值的增大而减小是解题的关键．10．（2022·上海·上外浦东附中八年级期中）已知直线在轴上的截距为，则直线解析式为______．【答案】##y=1+x【分析】根据题意，可得，求出的值，即可确定直线解析式．【详解】解析：解：根据题意，得，解得，即直线的解析式为：，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数的解析式，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．三、解答题11．（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校八年级阶段练习）已知直线y=kx+b经过M(0,7)、N(3,-2)两点．(1)求该直线的解析式；(2)当y=4时，求x的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用待定系数法即可求出直线解析式；（2）把y=4代入直线解析式，即可解得x的值．（1）解：把代入得：，∴，∴；（2）当时，，∴．【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式以及知道函数值求x的值，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．12．（2022·河南南阳·八年级阶段练习）已知y是x的正比例函数，且当x＝2时，y＝﹣6．(1)求这个正比例函数的表达式；(2)若点，在该函数图象上，试比较，的大小．【答案】(1)y＝﹣3x(2)【分析】（1）利用待定系数法求正比例函数解析式；（2）根据正比例函数的性质进行判断．（1）解：∵y是x的正比例函数，∴设，把x＝2，y＝6代入得2k＝﹣6，解得k＝﹣3，∴这个正比例函数的表达式为y＝﹣3x；（2）解：∵k＝﹣3＜0，∴y随x的增大而减小，又∵，∴．【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式：先设出一次函数的解析式为y＝kx（k≠0），再把一组对应值代入得到k得到正比例函数解析式．也考查了正比例函数的性质．13．（2022·广东·番禺市桥桥兴中学八年级期中）已知一次函数．(1)画出这个函数的图象；(2)求坐标轴所围成的三角形的面积；(3)图象上有两点，，当时，则______填、或．【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出该一次函数图象与两坐标轴的交点坐标，描点、连线，即可画出一次函数的图象；（2）由（1）的结论结合三角形的面积计算公式，即可求出一次函数y=-x+3的图象与坐标轴所围成的三角形的面积；（3）由k=-1＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合＞可得出＜．（1）解：当x=0时，y=-1×0+3=3，∴一次函数y=-x+3的图象与y轴交于点（0，3）；当y=0时，-x+3=0，解得：x=3，∴一次函数y=-x+3的图象与x轴交于点（3，0）．描点、连线，画出函数图象如图所示．．（2）解：∵一次函数y=-x+3的图象与x轴交于点（3，0），与y轴交于点（0，3），∴一次函数y=-x+3的图象与坐标轴所围成的三角形的面积=×3×3=；（3）解：∵k=-1＜0，∴y随x的增大而减小，又∵图象上有两点（，），（，），且＞，∴＜．故答案为：＜．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出该一次函数图象与两坐标轴的交点坐标；（2）利用三角形的面积计算公式，求出一次函数的图象与坐标轴围成三角形的面积；（3）牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”．14．（2020·广东·河源市东华实验学校八年级期中）已知函数．(1)若函数的图像经过原点，求m的值；(2)若函数的图像与y轴交点的纵坐标为，求m的值，并指出该函数过哪几个象限？(3)在（2）的前提下，方程的解为___________．【答案】(1)3(2)，该函数过第一、第三和第四象限；(3)【分析】（1）将(0，0)代入，解出m即可；（2）将(0，-2)代入，解出m，即可得出原函数解析式，再根据一次函数的图像和性质即可判断其经过的象限；（3）将代入，即得出关于x的一元一次方程，解之即可．（1）∵该函数的图像经过原点，∴可将(0，0)代入，得：，解得：；（2）∵该函数的图像与y轴交点的纵坐标为，∴可将(0，-2)代入，得：，解得：．∴原函数解析式为．∵3>0，-2<0，∴该函数过第一、第三和第四象限；（3）将代入，得：，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查一次函数的图像和性质，解一元一次方程．掌握函数图像上的点的坐标满足其解析式是解题关键．1