【八年级上册数学苏科版】专题10 勾股定理及其逆定理(原卷版)

第第页专题10勾股定理及其逆定理考点一用勾股定理解三角形考点二以直角三角形三边为边的图形面积考点三勾股定理与网格问题考点四勾股定理与折叠问题考点五利用勾股定理求两条线段平方和(差)考点六利用勾股定理证明线段平方关系考点七判断三边能否构成直角三角形考点八在网格中判断直角三角形考点九图形上与已知两点构成直角三角形的点考点十利用勾股定理逆定理求解考点十一勾股定理逆定理解决实际问题考点一用勾股定理解三角形例题：（2022·湖南衡阳·八年级期末）在△ABC中，AB＝3，BC＝4，若△ABC是直角形，则AC的长应是（

）A．5 B． C．5或 D．5或【变式训练】1．（2022·福建省福州屏东中学八年级期中）已知一个直角三角形的两边分别为3和4，则第三边的长可以是__________．（写出一个即可）2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，AC＝10，CD＝8，BC＝3AD．求BC的长．考点二以直角三角形三边为边的图形面积例题：（2022·天津二中八年级期中）如图所示，三个大小不一的正方形拼合在一起，其中两个正方形的面积为144，225，那么正方形A的面积是（

）A．225 B．144 C．81 D．无法确定【变式训练】1．（2022·广东阳江·八年级期中）如图，直角三角形三边上的半圆面积之间的关系是________．2．（2022·全国·八年级）如图是一株美丽的勾股树，所有四边形都是正方形，所有三角形是直角三角形，若正方形A、B、C面积为2、8、5，则正方形D的面积为______．考点三勾股定理与网格问题例题：（2022·福建福州·八年级期末）在边长为1的小正方形组成的网格中，A、B、C、D、E在格点上，长度是的线段是（

）A．AB B．AC C．AD D．AE【变式训练】1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为__________．2．（2022·辽宁鞍山·八年级期中）如图，每个小正方形的边长都为1．求出四边形ABCD的周长和面积．考点四勾股定理与折叠问题例题：（2022·湖北咸宁·八年级期末）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（

）A．4cm B．4.75cm C．6cm D．5cm【变式训练】1．（2022·全国·八年级）如图，在中，．将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的周长为__________．2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝10，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠，点B恰好落在线段DE上的点F处，则BE的长为______．考点五利用勾股定理求两条线段平方和(差)例题：（2021·贵州六盘水·八年级阶段练习）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（

）A．6 B．9 C．12 D．18【变式训练】1．（2022·全国·八年级课时练习）在中，，，则（

）．A．100 B．200 C．300 D．4002．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于_____．考点六利用勾股定理证明线段平方关系例题：（2022·全国·八年级课时练习）如图，在等腰中，，点D是上一点，作等腰，且，连接．(1)求证：；(2)求证：．【变式训练】1．（2022·福建·漳平市教师进修学校八年级阶段练习）如图，在中，，，在中，，与交于点，且．求证：（1）；（2）．考点七判断三边能否构成直角三角形例题：（2022·广西柳州·八年级期中）以下列各组数为三边长，其中能构成直角三角形的是（

）A．1，2，3 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7【变式训练】1．（2022·江西萍乡·八年级开学考试）若的三边长a，b，c满足，则是____________．2．（2022·广东·东莞市松山湖莞美学校八年级期中）已知△ABC的三边a，b，c满足（a﹣5）2+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，则△ABC是_____三角形．考点八在网格中判断直角三角形例题：（2022·湖北·谷城县教学研究室八年级期末）如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上（即小正方形的项点上），则图中的度数为___________．【变式训练】1．（2022·吉林松原·八年级期末）如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为___．2．（2022·青海西宁·八年级期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△的顶点都在格点上，．(1)__________；(2)判断△的形状，并说明理由．考点九图形上与已知两点构成直角三角形的点例题：（2022·全国·八年级专题练习）同一平面内有，，三点，，两点之间的距离为，点到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点有______个．【变式训练】1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当_________s时，是等腰三角形；当_________s时，是直角三角形．2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．(1)求BC边的长；(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值；(3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值．考点十利用勾股定理逆定理求解例题：（2022·河北衡水·八年级期中）如图，已知在中，，．（1）的度数为_____；（2）若是的中点，则的度数为_____．【变式训练】1．（2022·福建福州·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=8，AD=，∠ACD=90°，求∠B的度数．2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB上一点，BD＝9，CD＝12(1)求证：CD⊥AB；(2)求AC的长．考点十一勾股定理逆定理解决实际问题例题：（2022·湖南张家界·八年级期中）已知某开发区有一块四边形空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要300元，求一共需要投入多少元．【变式训练】1．（2022·四川广安·八年级期末）城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图为该空地的示意图，已知，，，，．现计划在空地上种草，若每平方米草地造价30元，在这块空地上全部种草的费用是多少元？2．（2022·四川宜宾·八年级期末）“村村通”公路是我国的一项重要的民生工程，如图，A，B，C三个村都分别修建了一条互通公路，其中AB=BC，现要在公路BC边修建一个景点M（B，C，M在同一条直线上），为方便A村村民到达景点M，又修建了一条公路AM，测得AC=13千米，CM=5千米，AM=12千米.(1)判断△ACM的形状，并说明理由；(2)求公路AB的长.3．（2022·山东聊城·八年级期末）聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？一、选择题1．（2022·江苏·海安市南莫中学八年级期中）下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是（）A．3、4、5 B．1、、2 C．13、14、15 D．8、15、172．（2022·福建龙岩·八年级期末）一个直角三角形有两条边分别是3cm，4cm，则第三条边的长度是(

)A．5cm B．cm C．5cm或cm D．以上都不对3．（2022·辽宁铁岭·八年级期末）已知，则以a，b，c为三边长的三角形是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定4．（2022·辽宁抚顺·八年级期末）在中，，D为BC边的中点，则AD的长为（

）．A．4 B．5 C． D．105．（2022·陕西咸阳·八年级期末）如图，在长为2的线段AB上，用尺规作如下操作：过点B作BC⊥AB，使得BC=，连接AC，在AC上截取CE=CB，在AB上截取AD=AE，则BD的长为（

）A． B． C． D．二、填空题6．（2021·江苏镇江·八年级期中）在如图所示的直角三角形中，x=____．7．（2022·河南许昌·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ABC=90．∠ACB=60°．BD⊥AC，重足为D．若AB=6．则DC的长为__________．8．（2022·上海市风华初级中学八年级期末）如图，在△ABC中，AB=6，BC=10，AC=8，点D是BC的中点，如果将△ACD沿AD翻折后，点C的对应点为点E，那么CE的长等于________.9．（2022·辽宁沈阳·八年级期末）在中，，点D为的中点，点E在边上，将沿着翻折，使点C落在点F处，当时，________．10．（2022·青海西宁·八年级期末）如图，点是射线外一点，连接，cm，点到的距离为3cm．动点从点出发沿射线以2cm/s的速度运动．设运动的时间为秒，当为__________秒时，为直角三角形．三、解答题11．（2022·吉林白城·八年级期末）如图，在中，∠ACB＝90°，AB＝20，AC＝12，把沿AD折叠，使AB落在直线AC上．(1)BC＝______；(2)求重叠部分（阴影部分）的面积．12．（2022·广东清远·八年级期中）已知△ABC的三边分别为a，b，c，且a＋b＝3，ab＝1，．(1)求的值；(2)试判断△ABC的形状，并说明理由．13．（2022·广东·汕头市蓝田中学八年级期中）如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1．(1)BC＝，AD＝，连接BD，判断△ABD的形状为；(2)求四边形ABCD的面积．14．（2022·山东聊城·八年级期中）如图，在中，D是BC的中点，，垂足为D，交AB于点E，且．(1)判断的形状，并证明你的结论；(2)若，，求AE的长．15．（2022·河南洛阳·八年级期末）如图，△中，，，，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线运动，设运动时间为t秒．(1)若