2025届高考数学二轮总复习专题检测5统计与概率

专题检测5统计与概率(分值:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2024湖南长沙模拟)某10人的射击小组,在一次射击训练中射击成绩数据如下表所示,则这组数据的中位数为()成绩/环678910人数12241A.2 B.8 C.8.2 D.8.5答案D解析将射击成绩由小到大排列为6,7,7,8,8,9,9,9,9,10,所以其中位数为8+92=8.5.故选D2.(2024福建龙岩一模)2xy-1(x+y)7的展开式中含x5y2的项的系数为()A.-91 B.-21 C.14 D.49答案D解析2xy-1(x+y)7=2xy(x+y)7-(x+y)7.(x+y)7的展开式的通项为Tk+1=C7kx7则(x+y)7的展开式中含x4y3的项为T4=C73x4y3=35x4y3,含x5y2的项为T3=C72x5y2=21x5y2,则2xy-1(x+y)7的展开式中含x5y2的项的系数为2×35-1×21=493.(2023新高考Ⅱ,3)某学校为了了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生,则不同的抽样结果有()A.C400B.C400C.C400D.C答案D解析由题意,初中部和高中部总共有400+200=600(人),按照分层随机抽样的原理,应从初中部抽取400600×60=40(人),从高中部抽取200600×60=第一步,从初中部抽取40人,有C40040种方法,第二步,从高中部抽取20人,有C根据分步乘法计数原理,一共有C40040C200204.(2024辽宁鞍山二模)某校数学兴趣社团对“学生性别和选学生物学是否有关”作了尝试性调查.其中被调查的男女生人数相同.男生选学生物学的人数占男生人数的45,女生选学生物学的人数占女生人数的35.若依据小概率值α=0.1的独立性检验,可以认为选学生物学和性别有关,则被调查的男生人数不可能为附:χ2=n(ad-α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A.20 B.30 C.35 D.40答案A解析零假设为H0:选学生物学和性别无关.设被调查的学生人数为2m,则由题可得列联表如下.性别选学情况合计选学生物学未选学生物学男生4515m女生3525m合计75352m根据列联表中的数据,经计算得到χ2=2因为根据小概率值α=0.1的独立性检验,可以推断H0不成立,即认为选学生物学和性别有关,所以χ2≥x0.1=2.706,即2m21≥2.706,解得m≥28由题可知,m为5的倍数,所以m≥30且m为5的整数倍,故男生人数不可能为20.故选A.5.(2024广东江门一模)已知9名女生的身高(单位:cm)平均值为162,方差为26,若增加1名身高为172cm的女生,则这10名女生身高的方差为()A.32.4 B.32.8 C.31.4 D.31.8答案A解析设9名女生的身高分别为aicm,i=1,2,…,9.由题可知∑i=19ai=9×162,∑i=19(ai-162)2=9×26.增加1名女生后身高的平均值为110(∑i=19ai+172)=110(9×162+172)=163,所以这10名女生身高的方差为110[∑i=19(ai-163)2+(172-163)2]=110{∑i=19[(ai-162)-1]2+81}=110{∑i=19[6.(2024广东佛山二模)劳动可以树德、增智、健体、育美.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动实践比赛,已知冠军是甲、乙当中的一人,丁和戊都不是最差的,则这5名同学的名次排列(无并列名次)的可能结果共有()A.12种 B.24种 C.36种 D.48种答案B解析依题意,排第1名,有C21种方法,排丁和戊,有A32种方法,排余下2人,有A22种方法,所以这5名同学的名次排列(无并列名次)的可能结果共有C217.(2024华中师大一附中模拟)如图所示,已知一质点在外力的作用下,从原点O出发,每次向左移动的概率为23,向右移动的概率为13.若该质点每次移动1个单位长度,设经过5次移动后,该质点的坐标为X,则P(X>0)=A.50243 BC.29答案D解析依题意,当X>0时,X的可能取值为1,3,5.用Y表示5次移动中向左移动的次数,则Y~B5,23,所以P(X>0)=P(X=5)+P(X=3)+P(X=1)=P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2)=C50135230+C518.(2024广东湛江一模)在一次考试中有一道4个选项的双选题,其中B和C是正确选项,A和D是错误选项,甲、乙两名同学都完全不会这道题目,只能在4个选项中随机选取两个选项.设事件M=“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”,事件N=“甲、乙两人所选选项完全不同”,事件X=“甲、乙两人所选选项完全相同”,事件Y=“甲、乙两人均未选择B选项”,则()A.事件M与事件N相互独立B.事件X与事件Y相互独立C.事件M与事件Y相互独立D.事件N与事件Y相互独立答案C解析由题可知P(M)=C42C21C21C42C42=23,P(N由题可知事件M与事件N互斥,所以P(MN)=0.又P(M)P(N)=19,所以事件M与事件N不相互独立,故A错误由题可知P(XY)=C因为P(X)P(Y)=124,所以事件X与事件Y不相互独立,故B错误由题可知P(MY)=C因为P(M)P(Y)=16,所以事件M与事件Y相互独立,故C正确由题可知事件N与事件Y互斥,所以P(NY)=0.又P(Y)P(N)=124,所以事件N与事件Y不相互独立,故D错误.故选C二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.(2024辽宁抚顺一模)采购经理指数(PMI)是国际上通用的监测宏观经济走势的指标,具有较强的预测、预警作用.2023年12月31日,国家统计局发布了中国制造业PMI指数(经季节调整)图,如下图所示,则下列说法正确的是()A.图中前三个月的数据的平均值为49.9%B.2023年四个季度的PMI指数中,第一季度方差最大C.图中PMI指数的极差为3.8%D.2023年PMI指数的75%分位数为50.1%答案AB解析对于A,根据题表中数据可知题图中前三个月的数据的平均值为13×(47%+50.1%+52.6%)=49.9%,故A对于B,从题表中数据可以看出2023年四个季度的PMI指数中,第一季度的波动性最大,稳定性最差,所以方差最大,故B正确;对于C,易知题图中PMI指数的极差为52.6%-47%=5.6%,故C错误;对于D,易知12×75%=9,可知2023年PMI指数的75%分位数为从小到大排列的第9项和第10项的平均数,即50.1%+50.2%2故选AB.10.(2024云南保山模拟)若(1+2x)2024=a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024,则下列正确的是()A.a0=1B.a0+a1+…+a2024=32024C.a0-a1+a2-a3+…+a2024=1D.a1-2a2+3a3+…+(-2024a2024)=-2024答案ABC解析令x=0,得a0=(1+2×0)2024=1,故A正确;令x=1,得a0+a1+…+a2024=(1+2×1)2024=32024,故B正确;令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a2024=(1-2×1)2024=1,故C正确;由(1+2x)2024=a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024两边同时求导,得2024×2×(1+2x)2023=a1+2a2x+3a3x2+…+2024a2024x2023,令x=-1,得a1-2a2+3a3+…+(-2024a2024)=2024×2×(1-2×1)2023=-4048,故D错误.故选ABC.11.(2024山西朔州一模)在信道内传输M,N,P信号,信号的传输相互独立,输入某一信号时,输出的信号字母不变的概率为α(0<α<1),输出其他两个字母的概率均为1-α2.设事件M1=“输入信号MMMM”,N1=“输入信号NNNN”,P1=“输入信号PPPP”,P(M1)=p1,P(N1)=p2,P(P1)=p3,且p1+p2+p3=1.设事件D=“依次输出MNPM”,A.若输入信号MMMM,则输出的信号只有两个M的概率为α2(1-α)2B.P(D|M1)=α21C.P(D|P1)=αD.P(M1|D)=2答案BCD解析因为输入某一信号时,输出的信号字母不变的概率为α(0<α<1),输出其他两个字母的概率均为1-α2,即输出的信号字母改变的概率为1-α,且信号的传输相互独立,所以用X表示输入4个字母的信号时,输出的信号中不变的字母个数,X~B(4,α),所以输入信号MMMM,输出的信号只有两个M的概率为P(X=2)=C42α2(1-α)2=6α2(1-α)P(D|M1)=P(DM1)P(M1P(D|P1)=P(DP1)P(P(D|N1)=P(D因为p1+p2+p3=1,所以Ω=M1∪N1∪P1,且M1,N1与P1两两互斥,所以由全概率公式,得P(D)=P(M1)P(D|M1)+P(N1)P(D|N1)+P(P1)P(D|P1)=α21-α22p1+α(1-α2)3p2+α1-α23p3=α2(1-α2)2p1+α1-α23(1-p1)=α(1-αα)2αp1+1-α2(1-p故选BCD.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.(2024山东济南一模)已知随机变量X~N(1,22),则D(2X+1)的值为.

答案16解析由X~N(1,22),可得D(X)=22=4,则D(2X+1)=4D(X)=16.13.(2024山东枣庄一模)盒子内装有编号为1,2,3,…,10的10个除编号外完全相同的玻璃球.从中任取三球,则其编号之和能被3整除的概率为.

答案7解析依题意,问题相当于从1,2,3,…,10的10个数中任取3个,这3个数的和能被3整除的概率,显然样本空间包含的样本点个数为n(Ω)=C103=120,10个数中能被3整除的有3,6,9;除以3余数是1的有1,4,7,10;除以3余数是2的有2,5,8,取出的3个数的和能被3整除的事件A包含的样本点个数为n(A)=2C33所以P(A)=n14.(2024山东潍坊模拟)已知随机变量X~B(2,p),其中0<p<1,随机变量Y的分布列为Y012P231q表中0<q<23,则D(Y)的最大值为.我们可以用M=∑k=02P(X=k)lnP(X=k)P(Y=k)来刻画X与Y的相似程度,则当D(X)=12答案23-解析由题意,可得E(Y)=0×23-q+1×13+2×q=13+2则D(Y)=0-13+2q223-q+1-13+2q2×13+2-13+2qq2=-4q2+83q+29=-4(q-13)2+2因为0<q<23,所以当q=13时,D(Y)取得最大值所以P(Y=0)=13,P(Y=1)=13,P(Y=2)又由X~B(2,p),可得D(X)=2p(1-p)=12,解得p=1所以P(X=0)=C201201-122=14,P(X=1)=C21121-12=12,P(X=2)=C22(所以M=∑k=02P(X=k)lnP(X=k)P(Y=k)所以M-ln3四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)(2024山东济宁二模)为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性,某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响,为此对学生是否经常锻炼的情况进行了抽样调查,从全体学生中随机抽取男女各100名学生,经统计,抽查数据如下表所示.性别体育锻炼情况合计经常不经常男生8020100女生6040100合计14060200(1)依据小概率值α=0.005的独立性检验,分析性别与体育锻炼的经常性是否有关;(2)为提高学生体育锻炼的积极性,学校决定在上述经常参加体育锻炼的学生中,按性别用比例分配的分层随机抽样随机抽取7名同学组成体育锻炼宣传小组,并从这7名同学中选出3人担任宣传组长,记担任宣传组长的女生人数为X,求随机变量X的分布列及数学期望.附:χ2=n(ad-α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解(1)零假设为H0:性别与锻炼的经常性无关联,根据列联表中的数据,经计算得到χ2=200×(80×40-20×60)2100根据小概率值α=0.005的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为性别与锻炼的经常性有关联,此推断犯错误的概率不大于0.005.(2)由题可知,随机抽取的7名同学中男生4人,女生3人.易知X服从超几何分布,且N=7,M=3,n=3.X的分布列为P(X=k)=C3kC4E(X)=nM16.(15分)(2024新疆乌鲁木齐一模)地区生产总值(地区GDP)是衡量一个地区经济发展的重要指标,在2019年—2023年中,某地区的地区生产总值实现了“翻一番”的飞跃,从1464亿元增长到了3008亿元,若该地区在这五年中的年份编号x(2019年对应的x值为1,2020年对应的x值为2,以此类推)与地区生产总值y(单位:百亿元)的对应数据如下表:年份编号x12345地区生产总值y/百亿元14.6417.4220.7225.2030.08(1)该地区2023年的人均生产总值为9.39万元,若2023年全国的人均生产总值X(单位:万元)服从正态分布N(8.57,0.822),那么在全国其他城市或地区中随机挑选2个,用Y表示其中人均生产总值高于该地区的数量,求P(Y=1);(2)该地区的人口总数t(单位:百万人)关于年份编号x的经验回归方程为t^=0.2x+2.2,估算该地区人均生产总值(人均GDP)u(单位:万元)关于年份编号x的经验回归方程u^参考公式与数据:人均生产总值=地区生产总值÷地区人口总数;经验回归方程y=b^x+a^中,斜率参数和截距参数的最小二乘估计分别为若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545.解(1)易知9.39=8.57+0.82,因为X~N(8.57,0.822),所以P(X>9.39)=1-P(8.57-即全国某个其他城市或地区大于该地区的人均生产总值的概率约为0.16,则Y~B(2,0.16),所以P(Y=1)=C21×(0.16)×(1-0.16)=0(2)因为t^=0.2x+2.2,所以由题意可知,每年的人均生产总值分别依次为u1=14.640.2×1+2.2=6.1,u2=17.420.2×2+2.2=6.7,u3=20.所以x=15×(1+2+3+4+5)=3,u=15×(6.1+6.7+7.4+8.4则∑i=15(xi-x)(ui-u)=8.3,所以b^=∑i=15(xi-x)(ui-u)∑i=15(xi-x)217.(15分)(2024四川南充二诊)已知某科技公司的某型号芯片的各项指标经过全面检测后,分为Ⅰ级和Ⅱ级,两种品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示.Ⅰ级品Ⅱ级品若只利用该指标制定一个标准,需要确定临界值K,按规定须将该指标大于或等于K的产品应用于A型手机,小于K的产品应用于B型手机.若将Ⅰ级品中该指标小于临界值K的芯片错误应用于A型手机会导致芯片生产商每部手机损失800元;若将Ⅱ级品中该指标大于或等于临界值K的芯片错误应用于B型手机会导致芯片生产商每部手机损失400元;假设数据在组内均匀分布,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.(1)设临界值K=70时,将2个不作该指标检测的Ⅰ级品芯片直接应用于A型手机,求芯片生产商的损失ξ(单位:元)的分布列及期望;(2)设K=x且x∈[50,55],现有足够多的芯片Ⅰ级品、Ⅱ级品,分别应用于A型手机、B型手机各1万部的生产:方案一:将芯片不作该指标检测,Ⅰ级品直接应用于A型手机,Ⅱ级品直接应用于B型手机;方案二:重新检测该芯片Ⅰ级品,Ⅱ级品的该项指标,并按规定正确应用于手机型号,会避免方案一的损失费用,但检测费用共需要130万元.请求出按方案一,芯片生产商损失费用的估计值f(x)(单位:万元)的表达式,并从芯片生产商的成本考虑,选择合理的方案.解(1)当临界值K=70时,Ⅰ级品中该指标小于70的频率为(0.002+0.005+0.023)×10=0.3,所以将不作该指标检测的Ⅰ级品芯片直接应用于A型手机,每部手机损失800元的概率为310.用X表示将2个不作该指标检测的Ⅰ级品芯片直接应用于A型手机,其中指标小于70的芯片数量,则X~B2,310ξ的可能取值为0,800,1600,所以P(ξ=0)=P(X=0)=C20×3100×7102=49100P(ξ=1600)=P(X=2)=C2所以ξ的分布列为ξ08001600P49429所以E(ξ)=0×49100+800×42100+1600(2)当临界值K=x且x∈[50,55]时,若采用方案一,则Ⅰ级品中该指标小于临界值K的频率为0.002×10+0.005×(x-50)=0.005x-0.23,所以可以估计10000部A型手机中有10000(0.005x-0.23)=50x-2300(部)手机芯片应用错误;Ⅱ级品中该指标大于或等于临界值K的频率为0.01×10+0.03×(60-x)=-0.03x+1.9,所以可以估计10000部B型手机中有10000(-0.03x+1.9)=19000-300x(部)手机芯片应用错误,所以f(x)=0.08(50x-2300)+0.04(19000-300x)=576-8x,即f(x)=576-8x,x∈[50,55],因为x∈[50,55],所以f(x)∈[136,176].又采用方案二需要检测费用共130万元,故从芯片生产商的成本考虑,应选择方案二.18.(17分)(2024山东潍坊一模)若ξ,η是样本空间Ω上的两个离散型随机变量,则称(ξ,η)是Ω上的二维离散型随机变量或二维随机向量.设(ξ,η)的所有可能取值为(ai,bj),i,j=1,2,…,记pij表示(ai,bj)在Ω中出现的概率,其中pij=P(ξ=ai,η=bj)=P[(ξ=ai)∩(η=bj)].(1)将三个相同的小球随机放入编号为1,2,3的三个盒子中,记1号盒子中的小球个数为ξ,2号盒子中的小球个数为η,则(ξ,η)是一个二维随机变量.①写出该二维离散型随机变量(ξ,η)的所有可能取值;②若(m,n)是①中的值,求P(ξ=m,η=n).(结果用m,n表示)(2)P(ξ=ai)称为二维离散型随机变量(ξ,η)关于ξ的边缘分布律或边际分布律,求证:P(ξ=ai)=∑j=1+(1)解①该二维离散型随机变量(ξ,η)的所有可能取值为(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0).②依题意,0≤m≤3,0≤n≤3,0≤m+n≤3,P(ξ=m,η=n)=P[(ξ=m)∩(η=n)]=P(ξ=m|η=n)·P(η=n),显然η~B3,13,则P(η=n)=C3n13n233-n,P(ξ=m|η=n)=C3-n(2)证明由定义及全概率公式知,P(ξ=ai)=P{(ξ=ai)∩[(η=b1)∪(η=b2)∪…∪(η=bj)∪…]}=P{[(ξ=ai)∩(η=b1)]∪[(ξ=ai)∩(η=b2)]∪…∪[(ξ=ai)∩(η=bj)]∪…}=P[(ξ=ai)∩(η=b1)]+P[(ξ=ai)∩(η=b2)]+…+P[(ξ=ai)∩(η=bj)]+…=∑j=1+∞P[(ξ=ai)∩(η=bj)]=∑j=1+∞P(ξ=ai,η=b19.(17分)(2024福建漳州模拟)“绿色出行,低碳环保”的理念已经深入人心,逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行,低碳环保”号召,他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影响,其中,甲每天选择“共享单车”的概率为12,乙每天选择“共享单车”的概率为23,丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为34,从第二天起,若前一天选择“共享单车”,后一天继续选择“共享单车”的概率为14,若前一天选择“地铁”,后一天继续选择“地铁”的概率为(1)若3月1日有2人选择“共享单车”出行,求丙选择“共享单车”的概率;(2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行