八年级数学下全册教案

1

16・1分式

教学目标

了解分式、有理式的概念.理解分式有意义的条件，分式的值为零的

条件；

重点难点

重点：理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件.

难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.

例题讲解

例1.当x为何值时，分式有意义.

［分析］已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解

出字母x的取值范围.

［提问］如果题目为：当X为何值时分式无意义.你知道怎么解题吗？

这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概

XXSK.

(补充)例2.当m为何值时，分式的值为0?

(1)(2)⑶

［分析］分式的值为0时，必须同时满足两个条件：①分母不能为零；

。分子为零,这样求出的m的解集中的公共部分•就是这类题目的解.

随堂练习

1•判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？

9x+4,1,,,，

X

2.当x取何值时•下列分式有意义？

(1)(2)(3)

3•当x为何值时，分式的值为0?

(1)(2)⑶

课后练习

1.列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是整式？哪些是分式？

(1)甲每小时做x个零件，则他8小时做零件个♦做80个零

件需小时.

(2)轮船在静水中每小时走a千米，水流的速度是b千米/时，轮

船的顺流速度是千米/时轮船的逆流速度是千米/B立

(3)x、y两数的差及4的商是.

2•当x取何值时，分式无意义？

3•当x为何值时，分式的值为0?

2

16.1.2分式的基本性质

教学目标

理解分式的基本性质.会用分式的基本性质将分式变形.

重点难点

重点：理解分式的基本性质.

难点：灵活应用分式的基本性质将分式变形.

课堂引入3.23

420248

1«请同学彳以考虑：及9相等吗？及相等吗？为什么？

420248

2•说出及之间变形的过程，及之间变形的过程，并

说出变形依据？

3・提问分数的基本性质•让学生类比猜想出分式的基本性质.

例题讲解

P7例2.填空:

P11例3•约分：

P11例4•通分：

(补充)例5.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含〃」

号

随堂练习

1•填空：

(1)=(2)书

2•约分：

(1)(2)(3)(4)

3•通分：

(1)和(2)f和白(3)和

2xy3x

4-不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含〃-〃号.

(1)(2)(3)(4)

课后练习

1•判断下列约分是否正确：

(1)=7(2)=(3)=0

b

2•通分：

(1)和(2)和

3•不改变分式的值，使分子第一项系数为正«分式本身不带〃-〃

号

(1)(2)

3

16-2-1分式的乘除(一)

教学目标：理解分式乘除法的法则•会进行分式乘除运算.

重点难点

重点：会用分式乘除的法则进行运算.难点：灵活运用分式乘除的法则

进行运算.

课堂引入

1.出示P13本节的引入的问题1求容积的高•问题2求大拖拉机的

工作效率是小拖拉机的工作效率的倍.

［引入］从上面的问题可知，有时需要分式运算的乘除.本节我们就讨

论数量关系需要进行分式的乘除运算.我们先从分数的乘除入手类比出

分式的乘除法法则.

P14［观察］从上面的算式可以看到分式的乘除法法则.

［提问］P14［思考］类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法

则？

类似分数的乘除法法则得到分式的乘除法法则的结论.

例题讲解

P14例1.

P15例2.

P15例.

［分析］这道应用题有两问，第一问是：哪一种小麦的单位面积产量

最高？先分别求出〃丰收1号”、〃丰收2号〃小麦试验田的面积，再

分别求出〃丰收1号"、〃丰收2号"小麦试验田的单位面积产量，分

别是、，还要判断出以上两个分式的值，哪一个值更大.要根据问题的实

际意义可知a>l，因此(a-l)2=a2-2a+l<a2-2+L即(a-l)2<a2-l，可得出

〃丰收2号〃单位面积产量高.

随堂练习

计算

(1)4(2)(3)

ab

(4)-8xy.2y(6)

5xa-2a+\a+4a+4

课后练习

计算(1)(2)(3)

(4)(5)(6)42(x2-/)-^2

x35(y-x)3

4

16-2-1分式的乘除(二)

教学目标：熟练地进行分式乘除法的混合运算.

重点、难点

重点：熟练地进行分式乘除法的混合运算.难点：熟练地进行分式乘

除法的混合运算.

课堂引入

计算

(1)(2)

例题讲解

(P17)例4.计算

［分析］是分式乘除法的混合运算.分式乘除法的混合运算先统一成

为乘法运算.再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式•最后进

行约分•注意最后的计算结果要是最简的.

(补充)例.计算

kJ2x3yl9/],(-4b)

/n\2x—6.(x+3)(x-2)

⑵4一4尢+1。+3>

3-x

随堂练习

计算

(2)蒜―吐什靛

(1)

(A\,2、-^2-2x)J+V2X-V

(4)(xy-x2)---------------------广

XVX

课后练习

计算

2

⑴—-4年2(一专a-6a+93-a

⑵2

4-h一丁2+b3a-9

⑶y2_4y+41l2-6y(A\x+xy..xy

''2y-6(4)——乙++加2

y+39-y2x-xyy-xy

5

16-2.1分式的乘除(三)

教学目标：理解分式乘方的运算法则•熟练地进行分式乘方的运算.

重点难点：重点：熟练地进行分式乘方运算.难点：熟练地进行分式乘、

除'乘方的混合运算.

课堂引入

计算下列各题：

(1)铲中产()⑵-)

(3)铲籍)

［提问］由以上计算的结果你能推出(5〃(n为正整数)的结果吗？

b

例题讲解

(P17)例5.计算

随堂练习

1•判断下列各式是否成立，并改正.

2•计算

(1)(2)(3)

(4)5)(--)2)-S-(-A^4)(6)(一;)2.(一兰)3+(一^^)2

yx2x2ylay

课后练习

计算(1)(2)

(3)(4)2+(4)2+(@)4(4)(?)2.(工)3.(//)

aba'bcabb—a

6

16-2-2分式的加减(-)

教学目标：(1)熟练地进行同分母的分式加减法的运算，

(2)会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减.

重点难点

熟练地进行异分母的分式加减法的运算.

课堂引入

1.出示P18问题3、问题4♦教师引导学生列出答案.

2•下面我们先观察分数的加减法运算，请你说出分数的加减法运算

的法则吗？

3.分式的加减法的实质及分数的加减法相同，你能说出分式的加减

法法贝IJ?

4•你能说出最简公分母的确定方法吗？

例题讲解

（P20）例6,计算

（补充）例.计算

/-|\x+3yx+2y2x-3y

\-222122

x-yx-yx-y

［分析］第（1）题是同分母的分式加减法的运算•强调分子为多项式

时，应把多项事看作一个整体加上括号参加运算，结果也要约分化成最

简分式.

（2）-L+-L^-^_

x-36+2xx~-9

［分析］第（2）题是异分母的分式加减法的运算，先把分母进行因式

分解，再确定最简公分母，进行通分•结果要化为最简分式.

随堂练习

计算

⑴3a+2Jm+2nn2m

.但2_j2（2）

5a2b5ab5ab''n-mm-nn-m

（3）（A\5a-6b4a-5b7a-Sb

a+ba-ba+ba-b

课后练习

计算

,1、5a+6b3b-4aa+3b3b-aa+2b3a-4b

（）3a2bc

3ba2c3cba2a2-b2a2-b2b2-a2

/+h+\⑷

（3）b~++a113x

a-bb-a6x-4y6x-4y4y2-6x2

7

16-2-2分式的加减(二)

教学目标：明确分式混合运算的顺序•熟练地进行分式的混合运算.

重点难点：熟练地进行分式的混合运算.熟练地进行分式的混合运算.

例、习题的意图分析

例8是分式的混合运算.分式的混合运算需要注意运算顺序，式及

数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减最后结果分子、

分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.

例8只有一道题，训练的力度不够，所以应补充一些练习题,使学

生熟练掌握分式的混合运算.

P22页练习1:写出第18页问题3和问题4的计算结果.这道题及

第一节课相呼应,也解决了本节引言中所列分式的计算,完整地解决了

应用问题.

课堂引入

1.说出分数混合运算的顺序.

2•教师指出分数的混合运算及分式的混合运算的顺序相同.

例题讲解

(P21)例8.计算

［分析］这道题是分式的混合运算•要注意运算顺序，式及数有相同

的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减,最后结果分子、分母要进

行约分•注意运算的结果要是最简分式.

（补充）计算

x-2xx-4x+4x

［分析］这道题先做括号里的减法,再把除法转化成乘法,把分母的

〃-”号提到分式本身的前边..

随堂练习

计算⑴（2）

a-bb-aab

课后练习

8

16-2-3整数指数鬲

教学目标：

知道负整数指数嘉二十（a/0-n是正整数）.掌握整数指数鬲的

运算性质.会用科学计数法表示小于1的数.

重点难点：掌握整数指数鬲的运算性质,会用科学计数法表示小于1的

数.

课堂引入

1•回忆正整数指数募的运算性质：

（1）同底数的鬲的乘法:=T（m,n是正整数）;

（2）寨的乘方：（"〃）w（m,n是正整数）;

（3）积的乘方：（aby=anbn（n是正整数）;

(4)同底数的器的除法:am^an=am-n(a^Q，m,n是正整数，m>

n)；

(5)商的乘方：(n是正整数)；

2•回忆0指数募的规定・即当awO时，=

3•1纳米=10©米，即1纳米米吗？

109

4•当n是正整数时，a~n=—(a/0).

an

随堂练习

1.填空

(1)-22=(2)(-2)2=(3)(-2)°=

(4)2O=(5)24二(6)(-2)力二

2.计算：(1)(x3y〉)2(2)x2y2・仅勺)3(3)(3xy2)2+(x-2y)3

课后练习

1.用科学计数法表示下列各数：

0•00004，-0.034,0.00000045,0.003009

2.计算

(1)(3X108)X(4X103)(2)(2X103)2^(10-3)3

9

16・3分式方程(一)

教学目标：

了解分式方程的概念和产生增根的原因,掌握分式方程的解法•会解可

化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.

会解可化为一元一次方程的分式方程•会检验一个数是不是原方程的

增根.

解分式方程的基本思路是将分式方程转化整式方程具体的方法是〃去

分母〃，即方程两边统称最简公分母.

课堂引入

提出本章引言的问题：

一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时•它沿江以最大航速顺

流航行100千米所用时间，及以最大航速逆流航行60千米所用时间相

等，江水的流速为多少？

分析：设江水的流速为1/千米/时，

根据〃两次航行所用时间相同〃这一等量关系，得到方程.

像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程.

例题讲解

(P34)例1.解方程

［分析］找对最简公分母x(x-3),方程两边同乘x(x-3),把分式方程转化

为整式方程，整式方程的解必须验根

这道题还有解法二：利用比例的性质〃内项积等于外项积〃，这样

做也比较简便.

(P34)例2.解方程

［分析］找对最简公分母(x-l)(x+2),方程两边同乘(x-D(x+2)时，学生

容易把整数1漏乘最简公分母(x-l)(x+2)，整式方程的解必须验根.

随堂练习

解方程

(1)(2)(3)

课后练习

解方程

(1)(2)

X为何值时，代数式的值等于2?

10

16・3分式方程(二)

教学目标：

会分析题意找出等量关系.会列出可化为一元一次方程的分式方程解

决实际问题.

重点难点

利用分式方程组解决实际问题.列分式方程表示实际问题中的等量关

系.

认知难点及突破方法

设未知数、列方程是本章中用数学模型表示和解决实际问题的关键步

骤，正确地理解问题情境，分圻其中的等量关系是设未知数、列方程的

基础.可以多角度思考，借助图形、表格、式子等进行分析•寻找等量

关系•解分式方程应用题必须双检验：(1)检验方程的解是否是原方

程的解；（2）检验方程的解是否符合题意.

例题讲解

P35例3

分析：本题是一道工程问题应用题，基本今系是：工作量二工作效率

X工作时间,这题没有具体的工作量.工作量虚拟为1，工作的时间单位

为〃月".

等量关系是：甲队单独做的工作量+两队共同做的工作量二1

P36例4

分析：是一道行程问题的应用题，基木关系是：速度二.这题用字母表

示已知数（量）.等量关系是：提速前所用的时间=提速后所用的时间

随堂练习

1.学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习.甲同学跳180个所用

的时间，乙同学可以跳240个；又已知甲每分钟比乙少跳5个，求每

人每分钟各跳多少个.

2.一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做，恰好按规定日期完

成;如果第二组单独做，需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3

天后,剩下的工程由第二组单独做，正好在规定日期内完成,问规定日期是

多少天？

3.甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，

然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度

是步行速度的4倍•求步行的速度和骑自行车的速度.

课后练习

某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，

后来由于把速度加快!，结果于下午4时到达，求原计划行军的速度。

5

11

分式方程的根的情况

分式方程的增根

若方程詈r3二后有增根，求a的值若含-等二手有增根，求

m的值

2°°特殊的分式方程的根

若方程x+J=c+；的根是x尸c，1二;；研究下列方程的根：

①方程x+与二a+白的根是—②方程X-系二a-磊的根是

③方程X+含■=t+詈的根是—

3°°分式方程无解及有不等实根的问题

若方程白-5二2无解，求m的值若方程答-1=0无实根，

则a=

若方程等二3的解是非负数，求b的取值范围;方程系二系

有负根•a的范围是_

若关于x的方程。=笠的解为正数，求k的值

X-1X-X

4°°字母系数分式方程的解法

12

分式的概念和运算

1°°分式零点

下列分式中的字母取何值时，该分式①无意义②值为零

注意：

⑴当分子等于零而分母不等于零时分式的值为零

⑵当分母等于零时，分式无意义

⑶繁分式的每一个分母都不等于零时，分式有意义；不能先将繁分

式化简后再判断

2°°取值范围

①x取何值时,的值是正数②若不看的值为负数，求x的值

③已知己的值为整数，求整数x的值

3°°部分分式

利用部分分式计算：

4°°化简求值

求(22+1)(24+1)...(2"+1)的值(x2+l)(x4+l)...(x16+l)

-x+1

TH

231124

~a+3+~x+l+~Tx+1+?+1+r4I-QY产

13

分式中的化简求值①

1°°平方变换

已知m+f=3•求下列各式的值

①②（m-如③得

若土【=4,求父+土的值若卜+；3+（父+±+m）2=0求m的值

若M-5x-l=0,求M+7-11的值

2°°求值计算

若打”强求「”勺值若找二系'求的值

若,求嗡券的值

两种方法：①条件变形后代入②分子分母都除以xy

若ab二L求++击的值代入技巧:①变形代入②通分代入

3°°技巧变换

若4x-3y-6z=0，x+2y-7z=0,且x、y、z均不为零，求的值

若3X-2J一士求工

石31+2『-13,水y

两种方法:①一般方法②比值代换

若69+69=13乂丫，求的值

4°。倒数变换

设x二ay二缶z二六且a+b+cwO,求去+忐+捻的值

若x/x+l=O求下列各式的值

①xM+土②h°°°+/°°

14

分式中的化简求值②

产拓展创新

若分式不论x取何实数总有意义，求m的取值范围

两种方法：配方法；判别式法

已知不论x取什么数时,分式禽|(bx+5/O)都是一个定值，求a、

b应满足的关系式•并求出这个定值

方法步骤：①取x=0求定值②取x=l等特殊值代入，令所得分

式的值等于定值

2°°在下面的口和()中分别填入适当的代数式,使等式成立

111111111i111111

右「='T=4+不'于=彳+17'…，则mi丁=互+瓦'7二方+不，

在匚O中填上合适的数

30°综合运用:

已知/+2次1=0,求磊■詈的值。

计算岩，化简后再代入一个你喜欢的数求值

4。。分式方程的解法

去分母法+1-令二0击+*/

倒数法7T+磊=|化假分式为真分式及整式之和法头

A-1X+22X-4

x-6_x-4r-7

-x^7--3T8

1

17•1•1反比例函数的意义

教学目标

理解并掌握反比例函数的概念，能判断一个给定的函数是否为反比例

函数•并会用待定系数法求函数解析式，能根据实际问题中的条件确定

反匕例函数的解析式，体会函数的模型思想

重点难点

理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式

(k/0)还可以写成)，=%/(k/0)或乂丫=1<(k/0)的形式

课堂引入

1•什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？

2・体育课上测试了百米赛饱，那么，时间及平均速度的关系是怎样

的？

例习题分析

例1•见教材P47

分析：因为y是x的反比例函数，所以先设，再把x=2和y=6代

入上式求出常数k,即利用了待定系数法确定函数解析式。

例1・(补充)下列等式中，哪些是反比例函数

(1)(2)(3)xy=21(4)(5)

(6)(7)y=x-4

分析：根据反比例函数的定义•关键看上面各式能否改写成(k为

常数，kwO)的形式，(4)的分母不是只单独含x，(6)改写后是，

分子不是常数，只有(2)、(3)、(5)能写成定义的形式

课后练习

2

17•1•1反比例函数的意义

教学目标

理解并掌握反比例函数的概念，能判断一个给定的函数是否为反比例

函数，并会用待定系数法求函数解析式，能根据实际问题中的条件确定

反匕例函数的解析式，体会函数的模型思想

重点难点

理解反比例函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式

(k/0)还可以写成)，=%/(k/0)或xy=k(k/O)日勺形

(补充例题)

例2•(补充)当m取什么值时«函数y=(m-2)/〃/是反比例函数？

分析：反比例函数(kwO)的另一种表达式是)，=女尸(kwO)，后一

种写法中x的次数是-1，因此m的取值必须满足两个条件，即m-2

工0且3-m2=・1，特别注意不要遗漏kwO这一条件，也要防止出现

3-m2=l的错误。

解得m=-2

例3•(补充)已知函数y=yi+y2，yi及x成正比例，y2及x成反

比例，且当x=l时-y=4;当x=2时«y=5

(1)求y及x的函数关系式

(2)当x=-2时,求函数y的值

分析：此题函数y是由力和丫2两个函数组成的，要用待定系数法来

解答•先根据题意分别设出力、y2及x的函数关系式•再代入数值•

通过解方程或方程组求出比例系数的值。这里要注意力及x和y2及x

的函数关系中的比例系数不一定相同，故不能都设为k-要用不同的字

母表示。

随堂练习

1•苹果每千克x元，花10元钱可买y千克的苹果，则y及x之间

的函数关系式为

2-若函数y=(3+M/是反比例函数，则m的取值是

3・矩形的面积为4，一条边的长为x，另一条边的长为y，则y及x

的函数解析式为

4•已知y及x成反比例•且当x=-2B寸，y=3，则y及x之间的

函数关系式是，

当x=-3时•y=

5・函数中自变量x的取值范围是

课后练习

已知函数y=yi+y2，yi及x+1成正比例，y2及x成反比例，且

当x=l时ty=0;当x=4时-y=9*求当x=-1时y的值

3

17-1-2反比例函数的图象和性质（1）

教学目标

会用描点法画反比例函数的图象，结合图象分析并掌握反比例函数的

性质,体会函数的三种表示方法•领会数形结合的思想方法

重点难点

理解并掌握反比例函数的图象和性质，正确画出图象，通过观察、分

析，归纳出反比例函数的性质

课堂引入

提出问题：

1•一次函数y=kx+b（k、b是常数，k/0）的图象是什么？其性

质有哪些？正比例函数y=kx（k00）呢？

2­画函数图象的方法是什么?其一般步骤有哪些？应注意什么？

3•反比例函数的图象是什么样呢？

例习题分析

例2•见教材P48，用描点法画图，注意强调:

(1)列表取值时，xwO,因为x二0函数无意义•为了使描出的点

具有代表性,可以为中心，向两边对称式取值•即正、负数各一

半•且互为相反数，这样也便于求y值

(2)由于函数图象的特征还不清楚•所以要尽量多取一些数值，

多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确

(3)连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接•切

忌画成折线

(4)由于x/0•k/0•所以尸0•函数图象永远不会及x轴、y

轴相交•只是无限靠近两坐标轴

课后练习

4

17-1-2反比例函数的图象和性质(1)

教学目标

会用描点法画反比例函数的图象，结合图象分析并掌握反比例函数的

性质,体会函数的三种表示方法，领会数形结合的思想方法

重点难点

理解并掌握反比例函数的图象和性质•正确画出图象，通过观察、分

析，归纳出反比例函数的性质

课堂引入

例1•(补充)已知反比例函数尸⑺-1)-一的图象在第二、四象限，

求m值，并指出在每个象限内y随x的变化情况？

例2•(补充)如图，过反比例函数(x>0)的图象上任意两点A、

(B)SI=S2

(C)SX<S2

(D)大小关系不能确定

分析：从反比例函数(k/O)的图象上任一点P(x，y)向x轴、y

轴作垂线段，及x轴、y轴所围成的矩形面积5=网=陶，由此可得Si

=S，故选B

22

随堂练习

1-已知反比例函数，分别根据下列条件求出字母k的取值范围

(1)函数图象位十第一、三象限

(2)在第二象限内，y随x的增大而增大

2•函数y=-ax+a及(a/0应同一坐标系中的图象可能是()

3•在平面直角坐标系内，过反比例函数(k>0)的图象上的一点分

别作x轴、y轴的垂线段，及x轴、y轴所围成的矩形面积是6•则函

数解析式为__________

课后练习

1-若函数y=（2m-l）x及的图象交于第一、三象限•则m的取值范

围是—

2­反比例函数，当x=・2B寸，y=;当x<・2时；y的取

值范围是；_

当x>-2时；y的取值范围是

3.已知反比例函数y=（”2）产6，当工〉0时，y随X的增大而增

大，求函数关系式

5

17-1-2反比例函数的图象和性质（2）

教学目标

使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象及性质，能灵活运用函

数图象和性质解决一些较综合的问题•深刻领会函数解析式及函数图象

之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法

重点难点

理解反比例函数的图象和性质，利用它们解决一些综合问题，学会从

图象上分析、解决问题

课堂引入

复习上节课所学的内容

1•什么是反比例函数？2•反比例函数的图象是什么？有什么性质？

例习题分析

例3・见教材P51

分析：反比例函数的图象位置及y随x的变化情况取决于常数k的

符号•因此要先求常数k，而题中已知图象经过点A（2-6），即表明

把A点坐标代入解析式成立，所以用待定系数法能求出k，这样解析式

也就确定了。

例4•见教材P52

课后练习

6

17-1-2反比例函数的图象和性质（2）

教学目标

使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象及性质，能灵活运用函

数图象和性质解决一些较综合的问题•深刻领会函数解析式及函数图象

之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法

重点难点

理解反比例函数的图象和性质，利用它们解决一些综合问题，学会从

图象上分析、解决问题

课堂引入

例1•（补充）若点A（-2，a）、B（・1，b）、C（3，c）在反

比例函数（k<0）图象上，则a、b、c的大小关系怎样？

补充例1目的是引导学生在解有关函数问题时，要数形结合，另外，

在分析反比例函数的增减性时，一定要注意强调在哪个象限内。

分析：由k<0可知，双曲线位于第二、四象限，且在每一象限内♦

y随x的增大而增大，因为A、B在第二象限，且故b>a

>0;又C在第四象限，则c<0，所以

b>a>0>c

此题还可以画草图•比较a、b、c的大小，利用图象直观易懂•不

易出错•应学会使用。

例2•（补充）如图•一次函数y=kx+b的图象及反比例函数

的图象交于A（-2,1）、B（l，n）两点

（1）求反比例函数和一次函数的解析式

（2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范

围

补充例2是一道有关一次函数和反比例函数的综合题•目的是提高

学生的识图能力,并能灵活运用所学知识解决一些较综合的问题。

分析：因为A点在反比例函数的图象上，可先求出反比例函数的解

析式，又B点在反比例函数的图象上，代入即可求出n的值，最后再由

A、B两点坐标求出一次函数解析式y=-x-1，第（2）问根据图象可

得x的取值范围x<-2或O〈x<l，这是因为比较两个不同函数的值

的大小时­就是看这两个函数图象哪个在上方,哪个在下方。

随堂练习

1若直线y=kx+b经过第一、二、四象限则函数的图象在（）

（A）第一、三象限（B）第二、四象限（C）第三、四象限（D）

第一、二象限

2•已知点（-1，.）、（2,y2）、（冗・y?）在双曲线上•则下

列关系式正确的是（）

（）（）（）（）

Ayi>y2>y3Byi>y3>y2Cy2>yi>y3D

Y3>yi>V2

课后练习

1•已知反比例函数的图象在每个象限内函数值y随自变量x的增大

而减小，目k的值还满足9-2（20lR2k・1，若k为整数，求反比例函

数的解析式

2•已知一次函数y=的图像及反比例函数的图像交于A、B两

点,且点A的横坐标和点B的纵坐标都是-2,

求（1）一次凶数的解析式；（2）MOB的面积

7

17-2实际问题及反比例函数（1）

教学目标

利用反比例函数的知识分析、解决实际问题，渗透数形结合思想,提

高学生用函数观点解决问题的能力

重点难点

利用反比例函数的知识分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解

析式，解决实际问题

课堂引入

寒假到了，小明正及几个同伴在结冰的河面上溜冰，突然发现前面有

一处冰出现了裂痕，小明立即告诉同伴分散趴在冰面上，匍匐离开了危

险区。你能解释一下小明这样做的道理吗？

例习题分析

例1•见教材第57页

分析：（1）问首先要弄清此题中各数量间的关系，容积为IO,,底

面积是S，深度为d，满足基本公式：圆柱的体积二底面积x高，由题

意知S是函数，d是自变量，改写后所得的函数关系式是反比例函数的

形式,（2）问实际上是已知函数S的值，求自变量d的取值，（3）

问则是及（2）相反

例2・见教材第58页

分析：此题类似应用题中的〃工程问题〃，关系式为工作总量二工

作速度x工作时间，由于题目中货物总量是不变的，两个变量分别是速

度v和时间t，因此具有反比关系,（2）问涉及了反比例函数的增减性，

即当自变量t取最大值时，函数值v取最小值是多少？

课后练习

8

17-2实际问题及反比例函数（1）

教学目标

利用反比例函数的知识分析、解决实际问题•渗透数形结合思想•提

高学生用函数观点解决问题的能力

重点难点

利用反比例函数的知识分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解

析式•解决实际问题

课堂引入

例1•（补充）某气球内充满了一定质量的

气体•当温度不变时，气球内气体的气压户（千

帕）是气体体积1/（立方米）的反比例函数­其

图像如图所示（千帕是一种压强单位）

（1）写出这个函数的解析式；

（2）当气球的体积是0.8立方米时•气球内的气压是多少千帕？

（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸•为了安全起见，

气球的体积应不小于多少立方米？

分析：题中已知变量P及，是反比例函数关系，并且图象经过点A，

利用待定系数法可以求出户及1/的解析式，得，（3）问中当户大于

144千帕时，气球会爆炸，即当P不超过144千帕时•是安全范围。

根据反比例函数的图象和性质•P随1/的增大而减小，亘先求出气压P

=144千帕时所对应的气体体积，再分析出最后结果是不小于2立方米

3

随堂练习

1•京沈高速公路全长658km，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北

京，则汽车行完全程所需时间t(h)及行驶的平均速度v(km/h)之

间的函数关系式为

2・完成某项任务可获得500元报酬I，考虑由x人完成这项任务•

试写出人均报酬y(元)及人数x(人)之间的函数关系式

3•一定质量的氧气，它的密度0(kg/m3)是它的体积1/(m3)的

反匕例函数，当1/=10时，夕二1.43，(1)求夕及1/的函数今系式；

(2)求当1/=2时氧气的密度0

课后练习

1•小林家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的

速度为v(米/分)，所需时间为t(分)

(1)则速度v及时间t之间有怎样的函数关系？

(2)若小林到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？

(2)如果小林骑车的速度最快为300米/分,那他至少需要几分钟到达

单位？

2•学校锅炉旁建有一个储煤库•开学初购进一批煤，现在知道：按

每天用煤0.6吨计算•一学期(按150天计算)刚好用完,若每天的耗

煤量为x吨，那么这批煤能维持y天

(1)则y及x之间有怎样的函数关系？

(2)画函数图象

(3)若每天节约0.1吨，则这批煤能维持多少天？

9

17-2实际问题及反比例函数(2)

教学目标

利用反比例函数的知识分析、解决实际问题，渗透数形结合思想•进

一步提高学生用函数观点解决、可题的能力，体会和认识反比例函数这一

数学模型

重点难点

利用反比例函数的知识分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解

析式，解决实际问题

课堂引入

1・小明家新买了几桶墙面漆•准备重新粉刷墙壁•请问如何打开这

些未开封的墙面漆桶呢？其原理是什么？

2•台灯的亮度、电风扇的转速都可以调节，你能说出其中的道理吗？

例习题分析

例3•见教材第58页

分析：题中已知阻力及阻刀期不变，即阻力及阻力臂的积为定值，

由〃杠杆定律〃知变量动力及动力皆成反比关系•写出函数关系式，得

到函数动力F是自变量动力臂/的反比例函数，当/=1.5时，代入解析

式中求F的值；（2）问要利用反比例函数的性质，/越大F越小，先求

出当F=200时，其相应的/值的大小，从而得出结果。

例4,见教材第59页

分析：根据物理公式PR=U2•当电压U一定时，输出功率P是电

阻R的反比例函数，则，（2）问中是已知自变量R的取值范围，即110

<R<220•求函数P的取值范围，根据反比例函数的性质•电阻越大则

功率越小•

得220WPV440

课后练习

10

17-2实际问题及反比例函数（2）

教学目标

利用反比例函数的知识分析、解决实际问题•渗透数形结合思想，进

一步提高学生用函数观点解决、可题的能力，体会和认识反比例函数这一

数学模型

重点难点

利用反比例函数的知识分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解

析式•解决实际问题

课堂引入

例1•（补充）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行

消毒，已知药物燃烧

时，室内每立方米空气F（老克）

中的含药量y（毫克）及

时间x（分钟）成为正比

例，药物燃烧后，y及X，一7分的

成反比例（如图）•现测

得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克•请根据

题中所提供的信息，解答下列'可题：

⑴药物燃烧时,y关于x的函数关系式为，自变量x的取值

范为;

药物燃烧后，y关于x的函数关系式为.

（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进

办公室,那么从消毒开始,至少需要经过分钟后,员工才能回到

办公室；

（3）研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间

不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有

效?为什么？

分析：（2）燃烧时，药含量逐渐增加，燃烧后•药含量逐渐减少•

因此,只能在燃烧后的某一时间进入办公室，先将药含量y=1.6代人•

求出x=30•根据反比例函数的图象及性质知药含量y随时间x的增大

而减小，求得时间至少要30分钟

(3)药物燃烧过程中,药含量逐渐增加，当y=3时,代入中，得

x=4•即当药物燃烧4分钟时•药含量达到3毫克；药物燃烧后•药含

量由最高6毫克逐渐减少，其间还能达到3毫克，所以当y=3时，代

入，得x=16，持续时间为16-4=12>10•因此消毒有效

随堂练习

某厂现有800吨煤•这些煤能烧的天数y及平均每天烧的吨数x之

间的函数关系是()

(A)(x>0)(B)(x>0)(C)y=300x(x>0)(D)y=300x(x

>0)

课后练习

一场暴雨过后•一洼地存雨水20米3，如果将雨水全部排完需t分钟，

排水量为a米3/分，且排水时间为5~10分钟

(1)试写出t及a的函数关系式，并指出a的取值范围；

(2)请画出函数图象

(3)根据图象回答：当排水量为3米7分时.排水的时间需要多长？

1

18-1勾股定理(一)

一、教学目标

了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾

股定理。

二、重点、难点

1•重点：勾股定理的内容及证明。2•难点：勾股定理的证明。

三、课堂引入

让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角^ABC，用刻度尺量出

AB的长°

再画一个两直角边为5和12的直角^ABC，用刻度尺量AB的长。

你是否发现32+42及52的朱系宁+122和132的关系即32+42=52，

52+122=132•那么就有勾，股2二弦2。

对于任意的直角三角形也有这个性质吗？

四、例题分析

例1（补充）已知：在^ABC中，zC=90°，NA、NB、NC的对边为

a、b、c。

求证：a2+b2=c2。

分析：

⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑斑，让学生拼摆

不同的形状，利用面积相等进行证明。

⑵拼成如图所不,其等量关系为：4s△+S小正二S大正

4xiab+（b-a）2=c2，化简可证。

⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。

（4）勾股定理的证明方法，达300余种。这个古老的精彩的证法，出

自我国古代无名数学家之手

五'学生练习

已知：在aABC中•zC=90°，NA、NB、/C的对边为a、b、c。

求证:a2+b2=c20

2

18・1勾股定理（一）

一、教学目标

了解勾股定理的发现过程•掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾

股定理。

二、重点、难点

1•重点：勾股定理的内容及证明。2•难点：勾股定理的证明。

三、教学过程

综合运用

1•勾股定理的具体内容

是：°

2・如图，直角SBC的主要性质是：zC=90°•（用几何语言表示）

⑴两锐角之间的关系：；

⑵若D为斜边中点，则斜边中线;

⑶若NB=30。，则NB的对边和斜边：;

⑷三边之间的关系：。

3・MBC的三边a、b、c，若满足b2=a?+c2，则=90°;若

满足b2>c2+a2•则NB是角；若满足b2<c2+a2.则NB

是角。

4•根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。

课后练习

1•已知在RfABC中•zB=90°，a、b、c是3BC的三边•则

⑴c=°（已知a、b,求c）

（2）a=。（已知b、c，求a）

（3）b=°（已知a、c，求b）

2­在AABC中，zBAC=120°，AB=AC=ioV3cm，一动点P从B向

C以每秒2cm的速度移动，间当P点移动多少秒时•PA及腰垂直。

3•已知：如图，在SBC中，AB=AC，D在CB的延长线上。

求证：⑴AD?-AB?=BDCD

⑵若D在CB上・结论如何，试证明你的结论。

3