浙江省舟山市市东海中学2021-2022学年高三数学理联考试题含解析

浙江省舟山市市东海中学2021-2022学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知定义在[1，+∞）上的函数f（x）=，则关于x的方程2nf（x）﹣1=0（n∈N*）的所有解的和为(

) A．3n2+3n B．3×2n+2+9 C．3n+2+6 D．9×2n+1﹣3参考答案：D考点：数列的求和；分段函数的应用．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：作出函数y=f（x），的图象：当n=1时，方程f（x）=的所有根之和为：=3×（1+2+22+22）．依此类推：取n时，方程f（x）=的所有根之和为：3（1+2+22+…+2n+1+2n+1），即可得出．解答： 解：根据f（x）=，y1=，y2=，…，．作出图象：当n=1时，方程f（x）=的所有根之和为：=3+6+12+12=3×（1+2+22+22）．依此类推：取n时，方程f（x）=的所有根之和为：3（1+2+22+…+2n+1+2n+1）=+3×2n+1=9×2n+1﹣3．故选：D．点评：本题考查了函数图象、方程的实数根转化为函数图象的交点、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．2.（5分）若（1﹣3x）2015=a0+a1x+…a2015x2015（x∈R），则的值为（）A．3B．0C．﹣1D．﹣3参考答案：C【考点】：二项式定理的应用．【专题】：计算题；二项式定理．【分析】：由（1﹣3x）2015=a0+a1x+…+a2015x2015（x∈R），得展开式的每一项的系数ar，代入到=﹣C20151+C20152﹣C20153+…+C20152014﹣C20152015，求值即可．解：由题意得：展开式的每一项的系数ar=C2015r?（﹣3）r，∴=﹣C20151+C20152﹣C20153+…+C20152014﹣C20152015∵C20150﹣C20151+C20152﹣C20153+…+C20152014﹣C20152015=（1﹣1）2015=0∴=﹣1．故选：C．【点评】：此题考查了二项展开式定理的展开使用及灵活变形求值，特别是解决二项式的系数问题时，常采取赋值法．3.已知,则(

)A.

B.C.

D.参考答案：D4.已知复数z满足：则复数的虚部为（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义即可得出．【解答】解：∵，∴z（1+i）（﹣i）=（2﹣i）（1﹣i），∴z（1﹣i）=1﹣3i，∴z（1﹣i）（1+i）=（1﹣3i）（1+i），∴2z=4﹣2i，∴z=2﹣i．则复数=2+i的虚部为1．故选：C．5.下列命题中，真命题是（）A．“x＞2”是”x2﹣x﹣2＞0”必要条件B．“?=0”是“⊥”充要条件C．?x∈R，x2+≥1D．?x∈R，cosx+sinx＞2参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．根据充分条件和必要条件的定义进行判断，B．根据向量垂直的等价条件进行判断，C．根据基本不等式的性质进行判断，D．根据三角函数的辅助角公式，结合三角函数的有界性进行判断．【解答】解：A．由x2﹣x﹣2＞0得x＞2或x＜1，则“x＞2”是”x2﹣x﹣2＞0”充分不必要条件，故A错误，B．若⊥，则?=0成立，当==时，满足?=0，但⊥不成立，故B错误，C．x2+=x2+1+﹣1≥2﹣1=2﹣1=1，当且仅当x2+1=，即x2+1=1，即x=0时取等号，故?x∈R，x2+≥1为真命题．D．cosx+sinx=sin（x+）∈[﹣，]，而2?[﹣，]，故?x∈R，cosx+sinx＞2错误，故D错误，故选：C6.双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于（

）（A）

（B） （C）

（D）参考答案：A略7.（5分）（2015?临潼区校级模拟）有一个几何体是由几个相同的正方体拼合而成（如图），则这个几何体含有的正方体的个数是（）A．7B．6C．5D．4参考答案：C【考点】：简单空间图形的三视图．【专题】：作图题；压轴题．【分析】：根据三视图的特征，画出几何体的图形，可得结论．解：由左视图、主视图可以看出小正方体有7个，从俯视图可以看出几何体个数是5．如图故选C．【点评】：本题考查简单空间图形的三视图，考查空间想象能力，是基础题．8.程序框图表示求式子23×53×113×233×473×953的值，则判断框内可以填的条件为（）A．i≤90？ B．i≤100？ C．i≤200？ D．i≤300？参考答案：B考点： 循环结构．

专题： 图表型．分析： 先根据已知循环条件和循环体判定循环的次数，然后根据运行的后输出的结果，从而得出所求．解答： 解：根据题意可知该循环体运行情况如下：第1次：s=1×23，i=1×2+1=5第2次：s=23×53，i=5×2+1=11第3次：s=23×53×113，i=11×2+1=23第4次：s=23×53×113×233，i=23×2+1=47第5次：s=23×53×113×233×473，i=47×2+1=95第6次：s=23×53×113×233×473×953，i=95×2+1=191因为输出结果是23×53×113×233×473×953的值，结束循环，判断框应该是i≤100？．故选B．点评： 本题主要考查了循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，以及周期性的运用，属于基础题．新课改地区高考常考题型．也可以利用循环的规律求解．9.

已知，则=

.参考答案：10.设全集，则为A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.不等式的解集是

参考答案：原不等式等价为，即，所以不等式的解集为。12.某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到频率分布直方图(如图所示)．则分数在[70,80)内的人数是________参考答案：30略13.如右图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线，过A作直线的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为

．参考答案：4【知识点】选修4-1

几何证明选讲N1连接OC，BE，如下图所示：

则∵圆O的直径AB=8，BC=4，∴△OBC为等边三角形，∠COB=60°

又∵直线l是过C的切线，故OC⊥直线l又∵AD⊥直线l∴AD∥OC

故在Rt△ABE中∠A=∠COB=60°∴AE=AB=4【思路点拨】连接OC，BE，由圆角定定理，我们可得BE⊥AE，直线l是过C的切线，故OC⊥直线l，△OBC为等边三角形，结合等边三角形的性质及30°所对的直角边等于斜边的一半，我们易求出线段AE的长．14.已知命题p：不等式|x﹣1|＞m的解集是R，命题q：f（x）=在区间（0，+∞）上是减函数，若命题“p或q”为真，命题“p且q”为假，则实数m的范围是

．参考答案：[0，2）【考点】复合命题的真假；绝对值不等式的解法．【专题】规律型．【分析】分别求出命题p，q成立的等价条件，然后根据若p或q为真命题，p且q为假命题，确实实数m的取值范围．【解答】解：∵不等式|x﹣1|＞m的解集是R，∴m＜0，即p：m＜0．若f（x）=在区间（0，+∞）上是减函数，则2﹣m＞0，即m＜2，即q：m＜2．若p或q为真命题，p且q为假命题，则p，q一真一假．若p真，q假，则．此时m无解．若p假，q真，则，解得0≤m＜2．综上：0≤m＜2．故答案为：0≤m＜2或[0，2）．【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系的应用，利用条件先求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．15.设向量，若，则实数

.参考答案：试题分析：由已知得，；由得所以有即，解得故答案为：.考点：向量的数量积的坐标运算.16.已知二次函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R），x∈R，若函数f（x）的最小值为f（﹣1）=0，则f（x）=．参考答案：x2+2x+1【考点】3W：二次函数的性质．【分析】通过二次函数的顶点坐标，得到参数a，b的方程，从而求出a，b的值，得到函数的解析式．【解答】解：∵二次函数f（x）=ax2+bx+1的最小值为f（﹣1）=0，∴，∴，∴f（x）=x2+2x+1．故答案为：x2+2x+1．17.若方程

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数. （1）求函数的最小值； （2）若≥0对任意的恒成立，求实数的值；（3）在（2）的条件下，证明：参考答案：解：（1）由题意，由得 当时,；当时，. ∴在单调递减，在单调递增.……3分 即在处取得极小值，且为最小值， 其最小值为 …………4分 （2）对任意的恒成立，即在上，. 由（1），设，所以. 由得. 易知在区间上单调递增，在区间上单调递减， ∴

在处取得最大值，而. 因此的解为，∴. ………………8分（3）由（2）知，对任意实数均有，即.令，则.∴.……………………10分∴.略19.某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]，得到A餐厅分数的频率分布直方图，和B餐厅分数的频数分布表：B餐厅分数频数分布表分数区间频数[0，10）2[10，20）3[20，30）5[30，40）15[40，50）40[50，60]35（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A餐厅评分低于30的人数；（Ⅱ）从对B餐厅评分在[0，20）范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在[0，10）范围内的概率；（Ⅲ）如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．参考答案：【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）由A餐厅分数的频率分布直方图求得频率与频数；（Ⅱ）用列举法求基本事件数，计算对应的概率值；（Ⅲ）从两个餐厅得分低于30分的人数所占的比例分析，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由A餐厅分数的频率分布直方图，得：对A餐厅评分低于30分的频率为（0.003+0.005+0.012）×10=0.2，所以，对A餐厅评分低于30的人数为100×0.2=20；（Ⅱ）对B餐厅评分在[0，10）范围内的有2人，设为M1、M2；对B餐厅评分在[10，20）范围内的有3人，设为N1、N2、N3；从这5人中随机选出2人的选法为：（M1，M2），（M1，N1），（M1，N2），（M1，N3），（M2，N1），（M2，N2），（M2，N3），（N1，N2），（N1，N3），（N2，N3）共10种．其中，恰有1人评分在[0，10）范围内的选法为：（M1，N1），（M1，N2），（M1，N3），（M2，N1），（M2，N2），（M2，N3）共6种；故2人中恰有1人评分在[0，10）范围内的概率为P==；（Ⅲ）从两个餐厅得分低于30分的人数所占的比例来看：由（Ⅰ）得，抽样的100人中，A餐厅评分低于30的人数为20，所以，A餐厅得分低于30分的人数所占的比例为20%；B餐厅评分低于30的人数为2+3+5=10，所以，B餐厅得分低于30分的人数所占的比例为10%；所以会选择B餐厅用餐．20.已知矩阵A＝，求矩阵A的特征值和特征向量．参考答案：矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－5λ＋6，(2分)由f(λ)＝0，解得λ1＝2，λ2＝3.(4分)当λ1＝2时，特征方程组为故属于特征值λ1＝2的一个特征向量α1＝；(7分)当λ2＝3时，特征方程组为故属于特征值λ2＝3的一个特征向量α2＝.(10分)21.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF//AB，证明：(Ⅰ)CD=BC；(Ⅱ)△BCD∽△GBD参考答案：22.如图所示，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，EF∩AC=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到五棱锥P﹣ABFED，且AP=，PB=．（1）求证：BD⊥平面POA；（2）求二面角B﹣AP﹣O的正切值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）证明PO⊥BD，AO⊥BD，然后利用直线与平面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角B﹣AP﹣O的正切值．