八年级上数学课外辅导讲座 新人教版(15讲)

第一讲三角形

一、教学目标

1.了解与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线），会画出任意三角形的高、中线、角平

分线.

2.知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边.

3.了解与三角形有关的角（内角、外角）.

4.掌握三角形三内角和等于180。，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

5.会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题.

6.会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法.

二、例子

【例1】若的三边分别为4,无，9,则x的取值范围是，周长/的取值范围是

;当周长为奇数时，.

【变式题组】

1.若△ABC的三边分别为4,x,9,且9为最长边，则尤的取值范围是，周长/的

取值范围是.

2.设△ABC三边为a,b,c的长度均为正整数，且a<b<c,a+b+c^13,则以a,b,c为边的三

角形，共有个.

3.用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角

形个数是（）.

A.1B.2C.3D.4

【例2】已知等腰三角形的一边长为18c机，周长为58c%,试求三角形三边的长.

【变式题组】

1.已知等腰三角形两边长分别为6c〃z,12c〃z,则这个三角形的周长是（）

A.24cmB.30cmC.24c根或30c“zD.18cm

2.已知三角形的两边长分别是4"〃和则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是（）

A.13cmB.6cmC.5cmD.4cm

3.等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的腰长

为.

【例3】如图AO是△ABC的中线，OE是△AOC的中线，EF是△OEC的中线，FG是的中

线，右GFC~Icm,贝（JABC~•

【变式题组】

1.如图，已知点。、E、B分别是BC、AD,BE的中点，以谢=4,则SAEFC=.

2.如图，点。是等腰△ABC底边BC上任意一点，DELABE,DF±ACF,若一腰上的高为

4cm,贝DE+DF—.

3.如图，已知四边形ABCD是矩形（A£»A2），点E在BC上，且AE=AD,DPLAE于R则DP

与AB的数量关系是.

【例4】已知，如图，则NA+/8+/C+ND+NE

（例4题图）

【变式题组】

1.如图，则NA+/B+NC+/O+/E=.

2.如图，则NA+/8+/C+/O+/E+/F=.

3.如图，则NA+/B+NC+/3+NE+/F=.

（第3题图）

【例5】如图，已知NA=70。，BO、C。分别平分/ABC、ZACB.贝U/BOC

A

【变式题组】

1.如图，ZA=70°,ZB=40°,ZC=20°,贝U/80C=.

3.如图，ZO=140°,NP=100。，BP、CP分另1J平分NABO、ZACO,则/A=.

【例6】如图，已知/8=35。，ZC=47°,AD±BC,AE平分NBAC,则/EAD=.

（例6题图）

【变式题组】

1.（改）如图，已知N8=39。，ZC=61°,BDLAC,AE平分/8AC,则/BFE

2.如图，在△ABC中，ZACB=40°,AD平分N3AC,NACB的外角平分线人（第1题图）

交的延长线于点P,点尸是BC上一动点（F、。不重合）,过点尸作IK

EF_L8C交于点E,下列结论:①/P+NOEF为定值，②/P一/DEF为定值

中，有且只有一个答案正确，请你作出判断，并说明理由.

（第2题图）

*【例7】如图，在平面内将△ABC绕点A逆时针旋转至△AQC,使CC//AB,

若NBAC=70。，则旋转角a

【变式题组】

1.如图，用等腰直角三角形板画NAO2=45。，并将三角板沿。3方向平移到如图所示的虚线后绕点

M逆时针方向旋转22°,则三角板的斜边与射线的直角a=.

2.如图，在平面内将△AOB绕点。顺时针旋转a角度得到△049，若点4在48上时，则旋转角

a=.（ZAOB=90°,ZB=30°）

3.如图，△ABE和△AC。是△ABC沿着AB边，AC边翻折180。形成的，若NA4c=130。，则/a

三、练习

1.如图，图中三角形的个数为（）

A.5个B.6个C.7个D8个

2.如果三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形

C.直角三角形D.不确定

3.有4条线段，长度分别是4c〃z,8cm,10cm,12cm,选其中三条组成三角形，可以组成三角形的

个数是（）

A.1个8.2个C.3个D4个

4.下列语句中，正确的是（）

A.三角形的一个外角大于任何一个内角

B.三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和

C.三角形的外角中，至少有两个钝角

D.三角形的外角中，至少有一个钝角

5.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是（）

A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定

6.若一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角，则这个三角形是（）

A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定

7.如果等腰三角形的一边长是5CM,另一边长是9cm则这个三角形的周长是.

8.三角形三条边长是三个连续的自然数，且三角形的周长不大于18,则这个三角形的三条边长分

别是.

9.如图，在△ABC中，ZA=42°,与/C的三等分线，分别交于点。、E,则/BQC的度数是

10.如图，光线/照射到平面镜上，然后在平面镜I、II之间来回反射,已知Na=55,Zy=75°,

5=-----------------------

11.如图，点。、E、尸分别是BC、AD.BE的中点,且EFC=1»贝IS&ABC~------------

12.如图，已知：Nl=/2,Z3=Z4,/BAC=63°,则ZDAC=.

13.如图，已知点O、E是BC上的点，且8£=48,。。=。4,/。4石=；/氏4。,

求/BAC的度数

培优升级-奥赛检测

1.在△ABC中，2/A=3/B,且/（7—30。=/4+/8,则△48（7是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形

C.有一个角是30。的直角三角形D.等腰直角三角形

B.C.

2.已知三角形的三边4、b、c的长都是整数，且好后C,如果b=7,则这样的三角形共有（）

A.21个B.28个C.49个D.54个

3.在△ABC中，ZA=50°,高BE、交于。点，则NBOC=.

4.在等腰△ABC中，一腰上的高与另一腰的夹角为26。，则底角的度数为.

5.如图，B尸平分NA2C交C。于点尸，£）尸平分NAOC交A3于点E,若/A=40。,

NC=38°,则/尸=.

6.如图，已知O48C是一个长方形，其中顶点A、B的坐标分别为（0,。）和（9,。）.点E在AB上,

11

且.点E在OC上，且。尸=—OC,点G在。4上，且使△GEC的面积为16,试求a

33

的值.

7.如图，已知四边形ABC。中，ZA+ZZ)CB=180°,两组对边延长后分别交于P、。两点，/P、

的平分线交于M，求证

第二讲全等三角形的性质与判定

考点*方法・破译

1.能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；

2.全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、

中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；

3.全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS,对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述

方法外，还有私法；

4.证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步

骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或

角，再设法对它们进行证明；

5..证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等,

这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延

长线中线、截取等等.

经典・考题・赏析

［例1］如图，AB//EF//DC,ZABC=90°,AB=CD,那么图中有全等三角形()

A.5对8.4对C.3对D.2对

AD

【变式题组】

i.（武汉2on）下列判断中错误的是（）

A.有两角和一边对应相等的两个三角形全等

B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等

C.有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等

D.有一边对应相等的两个等边三角形全等

2.（黄冈）已知命题：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，SLAD^BE,NA=NFDE,贝！|△ABC

3.（上海）已知线段AC与瓦）相交于点0,连接A2、DC,E为02的中点，尸为0C的中点，连接

EF（如图所示）.

⑴添加条件ZOEF^ZOFE,求证：AB=DC；

⑵分别将记为①，“N0EF=N0FE”记为②，“AB=OC”记为③，添加①、③,

以②为结论构成命题1;添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是命题，命

题2是命题（选择“真”或“假”填入空格）.

【例2】已知AB=OC,AE=DF,CF=FB.求证：AF=DE.

【变式题组】

1.如图，AD,8E是锐角△ABC的高，相交于点。，若8O=AC,BC=7,CD=2,则AO的长为

A.2B.3C.4D.5

2.如图，在△ABC中，AB^AC,ZBAC^90°,Afi1是过A点的一条直线，AE_LCE于E,BD±AE

于D,DE=4cm,CE=2cm,则BD=.

\

3.（孝感2013）已知：如图，在△ABC中，ZACB=9Q°,于点。，点E在AC上，CE=

BC,过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F.求证：AB=FC.

【例3】如图①，1凡将△ABC^\/\DEF的顶点B和顶点E重合，把△。所绕点B

顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O.

⑴当旋转至如图②位置，点8（E）、C、。在同一直线上时，/AfD与/。CA的数量关

系是；

⑵当△DEF继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由.

【变式题组】

1.（绍兴2013）如图，D、E分别为△ABC的AC、BC边的中点，将此三角形沿。E折叠，使点C

落在AB边上的点P处.若NCDE=48。，则/APD等于（）

A.42°B.48°C.52°D.58°

2.如图，RfZXABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△OEF,下列结论中错误的是（）

A.AABC义ADEFB.ZDEF=90°

C.AC=DFD.EC=CF

c

第2题图

3.一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式,

使点8、F、C、。在同一条直线上.

⑴求证：AB±ED；

⑵若PB=BC,找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.

【例4】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD、CE分别是AABC的边AC和AB边上的高,

点尸在2。的延长线，BP=AC,点。在CE上，CQ^AB.求证：⑴AP=A。；⑵AP_LAQ

【变式题组】

1.如图，已知/B=NE,BA=ED,点尸是CD的中点，求证：AF±CD.

2.（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离

为卬九，此时梯子的倾斜角为75。，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距

地面的垂直距离A®为加z,梯子倾斜角为45。，这间房子的宽度是（）

a+b

A.---mC.bmD.am

2

3.如图，已知五边形ABODE中，ZABC=ZAED=90°fAB=CD=AE=BC+DE=2.则五边形

ABCDE的面积为

演练巩固•反馈提高

1.（海南2011）已知图中的两个三角形全等，则Na度数是（）

2.如图，△ACB丝△Rd）,ZBCH=30。，则/ACM的度数是（）

A.20°B.30°C.35°D.40°

3.尺规作图作NAO8的平分线方法如下：以。为圆心，任意长为半径画弧交。4、OB于C、D,

再分别以点。、。为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P,作射线OP,由作法得

2

△OCP四△OOP的根据是（）

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

4.（武汉2012）如图，已知那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABCgAWC的是

（）

A.CB=CDB.ZBAC=ZDAC

C.ZBCA=ZDCAD.ZB=ZD=90°

第4题图第5题图

第6题图'E

5.有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC和△BOE,将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的

一个锐角顶点放在一起，如图，当48、。不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（）

A.△ABEgLCBDB.ZABE=ZCBD

C.ZABC=ZEBD=45°D.AC//BE

6.如图，△ABC和共顶点A,AB=AE,/1=N2,NEBC交AD于M,DE交AC于N,小

华说：“一定有△ABCgZXAED"小明说："△ABM经△AEN”那么（）

A小华、小明都对及小华、小明都不对

C.小华对、小明不对D小华不对、小明对

7.如图，已知AC=EC,BC=CD,AB=E。,如果NBCA=119°,ZACD=9S°，那么/ECA的度数是

8.如图，△ABCQADE,8C延长线交。E于R48=25°,NACB=105°,ZDAC=10°,则

/DFB的度数为.

9.如图，在△△ABC中，NC=90o,Z)E_LAB于D,8C=BO.AC=3,那么AE+DE=

10.如图，BA±AC,CD//AB.BC=DE,MBC±DE,若AB=2,CD=6,则AE=.

11.如图，AB=CD,AB//CD.BC=Ucm,同时有P、。两只蚂蚁从点C出发，沿C8方向爬行，P

的速度是O.lcm/s,Q的速度是0.2cmls.求爬行时间t为多少时，△APB2△QOC.

12.如图，ZvlBC中，NBCA=90°,AC^BC,AE1是2C边上的中线，过C作CF_LAE,垂足为P,

过8作BD1BC交CF的延长线于D.

⑴求证：AE=CD-,

⑵若AC=12cm,求8。的长.

13.（吉林）如图，AB=AC,AO_LBC于点。，AD等于AE,平分/ZME交。E于点£请你写

出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.

14.如图，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C放在直线/上，从另两个顶点A、8分别作/的垂

线，垂足分别为。、E.

⑴找出图中的全等三角形，并加以证明；

⑵若DE=a,求梯形ZM8E的面积.（温馨提示：补形法）

15.如图，AC±BC,AD±BD,AD=BC,CELAB,DF±AB,垂足分别是E、E求证：CE=DF.

培优升级*奥赛检测

1.如图，在△ABC中，AB=AC,E、尸分别是AB、AC上的点，且AE

=AF,BF、CE相交于点O,连接A。并延长交BC于点。，则图中全等三角形有（)

A.4对B.5对C.6对D.7对

2.如图，在△ABC中，AB=AC,OC=OD,下列结论中：®ZA=ZB②DE=CE,③连接。区则

0E平分NAOB,正确的是（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

3.如图，A在。E上，尸在AB上，且AC=CE,Z1=Z2=Z3,则。E的长等于（）

A.DCB.BCC.ABD.AE+AC

4.下面有四个命题，其中真命题是（）

A.两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等

B.两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等

C.有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等

D.两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等

5.在△ABC中，高和BE所在直线相交于”点，且8H=AC,贝!J/ABC=.

6.如图，EB交AC于点、M,交FC于点、D,AB交FC于点、N,NE=NF=90。，/B=NC,AE=AF.

给出下列结论：①N1=N2；②BE=CF;③4ACNmLABM;④CD=DB,其中正确的结论有

_______.（填序号）

7.如图，为在△ABC的高，E为AC上一点,8E交于点£且有BE=AC,FD=CD.

⑴求证：BEXAC；

⑵若把条件"BF=AC”和结论“8ELAC”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.

8.如图，。为在△A3C的边8C上一点，且C£)=A8,ZBDA=ZBAD,AE是△ABO的中线.

求证：AC=2AE.

9.如图，在凸四边形ABCD中，E为△ACZ)内一点，满足AC=A。，AB=AE,ZBAE+ZBCE=90°,

NBAC=NEAD求证：ZC£D=90°.

10.如图，AB=AD,AC^AE,NBA£)=/C4E=180。.AH_LA8于反，H4的延长线交。E于G求

证：GD=GE.

BHC

第三讲角平分线的性质与判定

考点•方法•破译

1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.

2.角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.

3.有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.

经典・考题・赏析

【例1］如图，已知。。平分在04、边上截取04=。2,PMLBD,

PALLAO.求证：PM=PN

【变式题组】

1.如图，CP、8尸分别平分△A8C的外角NBCM、/CBN.求证：点P在/54c的平分线上.

2.如图，BD平分NABC,AB=BC,点P是延长线上的一点，PM±AD,PN_LCD求证：PM

=PN

【例2】(天津竞赛题)如图，己知四边形A2CD中，AC平分/区4。，于点E,

AE=-(AB+AD),如果ND=120°,求N8的度数

2

【变式题组】

v

1.如图，在△ABC中，CD平分/ACB,AC=5,BC=3.求

°ACBD

2.（河北竞赛）在四边形ABC£＞中，已知A8=a,AD=6.且BC=QC,对角线AC平分/BA。，问。

与b的大小符合什么条件时，有/2+/。=180°,请画图并证明你的结论.

【例3】如图，在△ABC中，ZBAC=90°,AB^AC,BE平分/ABC,CE_LBE.求证：CE^-BD

2

【变式题组】

1.如图，已知AC〃瓦），EA.分别平分NC4B、ZDBA,C£＞过点E,求证：AB=AC+BD.

2.如图，在△ABC中，48=60°,AD、CE分别是NBAC、N2CA的平分线，AD.CE相交于点

⑴请你判断FE和FD之间的数量关系，并说明理由;

⑵求证：AE+CD^AC.

演练巩固•反馈提高

1.如图，在此△ABC中，ZC=90°,8。平分/ABC交AC于。，若CD=n,AB=m,则△A3。

的面积是（）

11

A.—mnB.—mnC.mnD.2mn

32

2.如图，已知AB=AC,BE=CE,下面四个结论：①BP=CP；@AD±BC；③AE平分/8AC；④

其中正确的结论个数有（）个

A.1B.2C.3D.4

3.如图，在△ABC中，P、。分别是2C、AC上的点，PRLAB,PSLAC,垂足分别是R、S若

AQ=P。，PR=PS,下列结论：①AS=4R；©PQ//AR；③△2R尸之△（7".其中正确的是（）

4.如图，ZiABC中，AB^AC,AD平分NBAC,DELAB,DF±AC,垂足分别是E、F,则下列四

个结论中：①上任意一点到8、C的距离相等；②4。上任意一点到A3、AC的距离相等；

③Ar>_L8C且8D=CD；④?其中正确的是（）

A.②③B.②④C.②③④D.①②③④

5.如图，在放△ABC中，ZACB=90°,ZCAB=30°,NACB的平分线与NABC的外角平分线

交于E点,则ZAEB的度数为（）

A.50°B.45°C.40°D.35°

6.如图，尸是△ABC内一点，PDLAB^-D,PELBC^E,PFLACF,且PD=PE=PF,给出

下列结论：®AD=AF；®AB+EC=AC+BE；®BC+CF=AB+AF；④点尸是△ABC三条角

平分线的交点.其中正确的序号是（）4

A.①②③④IKB.①②③g

C①②④\\

D.②③④\\

7.如图，点尸是色.汉.

第7题图0FABC两个外角平分CDBB第io题图CM

第9题图

线的交点，则下列说法中不正确的是（）

A.点P到△A8C三边的距离相等8.点尸在/A8C的平分线上

C.NP与的关系是：ZP+-ZB=90°D.NP与的关系是：ZB=-ZP

22

8.如图，2。平分/ABC,CO平分NACE,8。与C£＞相交于。给出下列结论：①点。到A3、AC

的距离相等；②/BAC=2/BDC；®DA^DC；④。3平分NADC其中正确的个数是（）

A.1个8.2个C.3个D4个

9.如图，△ABC中，ZC=90°A。是△ABC的角平分线，DE±ABE,下列结论中：①AQ平分

ZCDE；②NBAC=NBDE；③OE平分NAO8；④AB=AC+BE其中正确的个数有（）

A.3个B.2个C.1个Z）.4个

10.如图，已知2。是NABC的内角平分线，CQ是NACB的外角平分线，由。出发，作点。到BC、

AC和AB的垂线QM、QN和。K,垂足分别为M、N、K,贝UQW、QN、QK的关系是—

11.如图，AO是/8AC的平分线，DELABE,DF±ACF,且DB=OC.求证：BE=CF

12.如图，在△ABC中，是4BAC的平分线，OE_LAB于点E,。歹_L4C于点E求证：AD1EF.

培优升级•奥赛检测

1.如图，直线小东73表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距

离相等，则可选择的地址有（）

A.一处B.二处C.三处D.四处

2.已知出△A8C中，ZC=90°,AO平分/BAC交BC于。，若BC=32,且8£）:CZ）=9:7,则。

到A8边的距离为（）

A.18B.16C.14D.12

3.如图，△ABC中，NC=90°,是△ABC的平分线，有一个动点尸从A向B运动.已知：DC

5.如图，已知AB〃CZ）,O为NCAB、NACD的平分线的交点，OE_LAC,且OE=2,则两平行线

AB,C。间的距离等于

6.如图，平分/BAC,EF±AD,垂足为P,的延长线于BC的延长线相交于点G.求证：Z

'P

BDCG

1

G=-(ZACB-ZB)

7.如图,在△ABC^p,AB>AC,AD是/R4c的平分线，尸为AC上任意一点.:AB-AC>DB-DC

8.如图，在△ABC中，ZBAC=60°,ZACB=40°,P、。分别在8C、AC上，并且AP、BQ分

别为/8AC、/ABC的角平分线上.求证：BQ+AQ=AB+BP

第四讲轴对称及轴对称变换

考点•方法・破译

1.轴对称及其性质

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这

条直线成轴对称，这条直线叫对称轴.

轴对称的两个图形有如下性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任何一对

对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交,

那么交点在对称轴上.

2.线段垂直平分线

线段垂直平分线也叫线段中垂线，它反映了与线段的两种关系：①位置关系一一垂直；②数量

关系----平分.

性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

3.当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高（或垂线）、或求几条折线段的最小值等情

况时，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件.

经典・考题・赏析

【例1】（兰州）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后

OOO

OOO

OOO

匾nOOO

CD

【变式题组】

1.将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（）

2.（荆州）如图，将矩形纸片ABCD沿虚线EP折叠，使点A落在点G上，点。落在点”上；然后

再沿虚线GH折叠，使2落在点E上，点C落在点尸上，叠完后，剪一个直径在BC上的半圆,

再展开，则展开后的图形为（)

AGBEG(A)BE(B)G(A)

DHCH(D)CH(D)

［例2］（襄樊）如图，在边长为1的正方形网格中,将△A8C向右平移两个单位长度得到△

A'B'C',则与点8'关于x轴对称的点的坐标是（）

A.(0,-1)B.(1,1)C.(2,-1)D.(1,-1)

【变式题组】

1.若点尸（一2,3）与点。（a,b）关于x轴对称，则a、6的值分别是（）

A.—2,32,3C.—2,—3D.2,—3

2.在直角坐标系中，己知点P（—3,2）,点。是点P关于x轴的对称点，将点

Q向右平移4个单位得到点R,则点R的坐标是.

3.（荆州）已知点P（a+1,2a—1）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范

围为•

B

【例3】如图，将一个直角三角形纸片48c(NACB=90°),沿线段C。折叠，使点B落在8处,

若/ACBi=70°,则NACD=()

A.30°B.20°C.15°D.10°

【变式题组】

1.(孝感)如图，把一个长方形纸片沿E尸折叠后，点。、C分别落在点。‘、C’的位置.若NEF8

=65°,则乙等于()

A.70°B.65°C.50°D.25°

2.如图，△A8C中，ZA=30°,以BE为边,将此三角形对折，其次，又以8A为边，再一次对

折，C点落在8E上，此时/CDB=82°,则原三角形中/8=.

【例4】如图，在△ABC中，为/3AC的平分线，是的垂直平分线，E为垂足，EF交BC

的延长线于点R求证：NB=/CAF.

【变式题组】

1.如图，点。在△ABC的BC边上，且2C=B£)+A。，则点D在________的垂直平分线上.

2.如图，△A8C中，ZABC=90°,ZC=15°,DE±ACE,MAE=EC,AB=3cm,则。C

3.如图，△ABC中，ZBAC=126°,尸G分别为A3、AC的垂直平分线，则NEAG=.

4.△ABC中，AB=AC,AB边的垂直平分线交AC于尸，若48=12cm△8CF的周长为20c%,则

△ABC的周长是cm.

【例5】（荆州）如图，在3X3的正方形格点图中，有格点△ABC和△£>££且△ABC和△。所关

于某直线成轴对称，请在下面的备用图中画出所有这样的△OER

【变式题组】

1.如图，在2X2的正方形格点图中，有一个以格点为顶点的△A8C,请你找出格点图中所有

与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有个.

2.如图甲，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件:

⑴涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；

⑵涂黑部分成轴对称图形。

如图乙是一种涂法，请在图1—3中分别设计另外三种涂法.（在所设计的图案中,

若涂黑部分全等，则认为是同一种不同涂法，如图乙与图丙）

图甲图乙

［例6］如图,牧童在A处放牛，其家在8处,若牧童从A处出发牵牛到河岸CD处

饮水后回家，试问在何处饮水，所求路程最短?

【变式题组】

1.（山西）设直线/是一条河，P、。两地相距8千米，P、。两地到/地距离分别为2千米、5千米,

欲在/上的某点M处修建一个水泵站向P、。两地供水.现在如下四种铺设管道方案，图中的

实线表示辅设的管道，则铺设的管道最短的是（）

2.若点A、B是锐角NMON内两点，请在OM、ON上确定点C、点、D,使四边形ABC。周长最小,

写出你作图的主要步骤并标明你确定的点.

N

演练巩固*反馈提高

1.（黄冈）如图，△ABC与AA'B'C关于直线/对称，且NA=78°,/C'=48°,则的

度数是（）.

A.48°B.54°C.74°D.78°

2.(泰州)如图，把一张长方形纸片对折，折痕为A8,再以48的中点O为顶点把平角N49B三等

分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以。为顶点的等腰三角形，那么剪出的

等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是()

A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形

3.图1是四边形纸片ABC。，其中NB=120°,/。=50°,若将其右下角向内折出恰使

CP//AB,RC//AD,如图2所示，则NC=()

A.80°B.85°C.95°D.110°

4.如图，阴影部分组成的图案既是关于无轴成轴对称的图形又是关于y轴成轴对称的图形，若点A

的坐标是(1,3),则点M和点N的坐标分别是()

A.M(1,—3),N(—1,—3)B.M(—1,—3),N(—1,3)

C.M(—1,—3),N(1,—3)D.M(—1,3),N(1,—3)

5.点P关于x轴对称的对称点P的坐标是（一3,5）,则点尸关于了轴对称的对称点的坐标是（）

A.（3,-5）B.（-5,3）C.（3,5）D.（5,3）

06.已知2a+2）关于y轴对称的点在第二象限，则。的取值范围是（）

A.—Ka<lB.—IWaWlC.。>1D.a>—1

7.如图，镜子中号码的实际号码是.

8.如图，正方形的边长为4的，则图中阴影部分的面积为cm2.

9.已知点A（2a+3b,-2）和B（8,3a+26）关于无轴对称，则a+b=.

10.如图，在△ABC中，OE、0P分别是AB、AC中垂线，且NABO=20°,NABC=45°,求/

BAC和/ACB的度数.

11.如图，C、D、E、尸是一个长方形台球桌的4个顶点，A、2是桌面上的两个球，怎样击打A球,

才能使A球撞击桌面边缘C尸后反弹能够撞击8球？请画出A球经过的路线，并写出作法.

C______________J

'A

B

o'：~E

12.如图，尸为/ABC的平分线与AC的垂直平分线的交点,PMJ_8C于M,PN_LBA的延长线于N.求

证：AN=MC.

BMC

13.（荆州）有如图“■■”的8张纸条,用每4张拼成一个正方形图案，拼成的正方形的每一

行和每一列中，同色的小正方形仅为2个，且使每个正方形图案都是轴对称图形，在网格中画

出你拼成的图.（画出的两个图案不能全等）

图1图2

培优升级*奥赛检测

1.（浙江竞赛试题）如图，直线/i与直线〃相交/。=60°,