工程力学 课件 第15章 梁的弯曲应力

工程力学

EngineeringMechanics全国高等教育自学考试指导委员会第15章梁的弯曲应力工程力学

EngineeringMechanics15.1梁的横截面上正应力-1梁的弯曲应力15.1梁的横截面上正应力梁的内力：剪力Fs弯矩MFsM正应力只与弯矩有关，切应力只与剪力有关，可分别进行研究。特殊情况下，在梁的某段或整个长度上，Fs=0,M=const.，称为纯弯曲。一般情况下，

，称为横力弯曲。梁的弯曲应力15.1梁的横截面上正应力15.1.1弯曲变形的基本假设(1)垂直于梁轴线的横线仍为直线，横线之间有相对转动，仍与变形后的轴线正交。(2)纵向线变形后变为弧线，且凹面的纵线长度缩短，凸面的纵线长度伸长。(3)在纵线伸长区，梁横截面的宽度减小；在纵线缩短区，梁横截面的宽度增大。变形后变形前纯弯曲变形现象：梁的弯曲应力15.1梁的横截面上正应力15.1.1弯曲变形的基本假设变形后变形前纯弯曲(1)变形后梁的横截面仍保持平面且与梁轴线正交。(2)梁中与轴线平行的各纵向纤维之间无相互挤压。

梁的纵向纤维只发生缩短或伸长变形。基本假设：平面假设单向受力假设梁的弯曲应力15.1梁的横截面上正应力15.1.1弯曲变形的基本假设变形后中性轴横截面中性层x变形时，横截面即绕中性轴发生转动凹侧纤维缩短凸侧纤维伸长梁的弯曲应力15.1梁的横截面上正应力15.1.2梁横截面上的正应力研究梁横截面上的正应力，需要研究：(1)变形几何关系(2)应变与应力间的物理关系(3)力系等效关系梁的弯曲应力（中性轴）（对称轴）yzxyaammnnmmnna'a'x15.1梁的横截面上正应力15.1.2梁横截面上的正应力—变形几何关系纤维aa的线应变横截面上任一点处的线应变与该点到中性轴的距离成正比中性层中性层曲率半径梁的弯曲应力15.1梁的横截面上正应力15.1.2梁横截面上的正应力—物理关系由单向受力假设，和胡克定律有横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离成正比。梁的弯曲应力15.1梁的横截面上正应力15.1.2梁横截面上的正应力—力系等效关系zyM中性轴对称轴梁的弯曲应力15.1梁的横截面上正应力15.1.2梁横截面上的正应力—力系等效关系zyM中性轴对称轴z轴过截面的形心中性轴通过截面形心，且与截面对称轴

y

轴垂直的轴。静矩中性轴的位置确定梁的弯曲应力15.1梁的横截面上正应力15.1.2梁横截面上的正应力—力系等效关系zyM中性轴对称轴y、z为一对惯性主轴y轴是横截面的对称轴，这个条件自然满足惯性积梁的弯曲应力15.1梁的横截面上正应力15.1.2梁横截面上的正应力—力系等效关系zyM中性轴对称轴惯性矩中性层的曲率

与横截面上的弯矩成正比，而与梁截面EIz

（弯曲刚度）成反比。梁的弯曲应力15.1梁的横截面上正应力15.1.2梁横截面上的正应力梁横截面上任意点的正应力公式绝对值代入计算拉或压由变形判断：凹的一侧受压凸的一侧受拉梁的弯曲应力15.1梁的横截面上正应力15.1.2梁横截面上的正应力梁横截面上任意点的正应力公式适用条件：1.平面假设若有剪力作用→存在切应变→变形后横截面不再保持为平面，理论上，横力弯曲情况不合用。但理论分析与实验研究表明，对工程中常见的横力弯曲梁，上式完全能够满足精度要求。梁的弯曲应力15.1梁的横截面上正应力15.1.2梁横截面上的正应力梁横截面上任意点的正应力公式适用条件：2.平面弯曲推导用的是矩形截面梁，但非必要条件。上式对于平面弯曲都成立（全部外力均作用在梁的同一纵向对称面内）

梁的弯曲应力15.1梁的横截面上正应力15.1.2梁横截面上的正应力梁横截面上任意点的正应力公式适用条件：3.胡克定律应力不超过材料的比例极限。这节课就讲到这里。同学们根据这次课学习到的内容和阅读教材，完成教材上的习题。工程力学

EngineeringMechanics第15章梁的弯曲应力工程力学

EngineeringMechanics15.1梁的横截面上正应力-215.2梁的横截面上的切应力15.3梁的弯曲强度计算梁的弯曲应力15.1梁的横截面上正应力15.1.2梁横截面上的正应力梁横截面上任意点的正应力公式截面上距中性轴最远处，正应力达到最大值令称为弯曲截面系数截面的几何性质单位：mm3或者m3梁的弯曲应力矩形截面yCyzh/2b/2b/2h/2对z

轴的惯性矩为：弯曲截面系数为：梁的弯曲应力圆形截面对直径的惯性矩为：弯曲截面系数为：zyCyzD/2D/2梁的弯曲应力空心圆形截面CzDyd对直径的惯性矩为：弯曲截面系数为：梁的弯曲应力工程中各种型钢可通过查表获得梁的弯曲应力工程中各种型钢可通过查表获得梁的弯曲应力工程中各种型钢可通过查表获得梁的弯曲应力惯性矩的平行移轴公式宽为b、高为h

的矩形，zC轴为过其形心C

沿宽度方向的对称轴，为形心惯性主轴设z

轴平行于zC轴，y

轴与yC

轴重合坐标系Oyz

的坐标原点O

在坐标系CyCzC

中的坐标为(a,0)矩形对平行于形心对称轴的z

轴的惯性矩，等于它对zC

轴的惯性矩加上矩形面积与两轴间距离平方的乘积。梁的弯曲应力15.1梁的横截面上正应力15.1.2梁横截面上的正应力梁横截面上任意点的正应力公式截面上距中性轴最远处，正应力达到最大值梁的弯曲应力15.2梁的横截面上的切应力横力弯曲情况下， 有剪力存在→切应力切应力的分布规律要比正应力复杂与横截面形状相关简单形状+

合理的假设→相应的计算公式。复杂形状： 借助于弹性理论、实验比拟方法进行研究。 再经过工程实际的检验。梁的弯曲应力15.2梁的横截面上的切应力矩形横截面切应力分布bh/2h/2yzyy(a)(b)切应力沿宽度均匀分布求对

z轴静矩所用的阴影部分面积梁的弯曲应力15.2梁的横截面上的切应力byzBHhy(b)y切应力沿宽度均匀分布求对

z轴静矩所用的阴影部分面积(a)工字形横截面切应力分布工程上在精度要求不高时的近似计算公式梁的弯曲应力15.2梁的横截面上的切应力圆形横截面切应力分布yzPKK'zyRRtRR(b)(a)梁的弯曲应力15.3梁的弯曲强度计算15.3.1弯曲正应力强度条件梁的截面内有正应力和切应力本课程只介绍前者用于强度分析的情况梁的横力弯曲时，截面内正应力也可用下式计算危险截面为弯矩最大的截面，危险点在弯矩最大的截面距离中性轴最远处，绝对值代入计算拉压另外判断梁的弯曲应力15.3梁的弯曲强度计算15.3.1弯曲正应力强度条件梁的截面内有正应力和切应力弯曲正应力强度条件本课程只介绍前者用于强度分析的情况对于许用拉应力和许用压应力相同的材料，强度计算时最大弯曲正应力应取绝对值最大的。对于某些脆性材料（如铸铁）的许用压应力远高于许用拉应力，强度计算时则应分别校核拉伸强度与压缩强度。梁的弯曲应力15.3梁的弯曲强度计算15.3.1弯曲正应力强度条件梁的截面内有正应力和切应力弯曲正应力强度条件本课程只介绍前者用于强度分析的情况这节课就讲到这里。同学们根据这次课学习到的内容和阅读教材，完成教材上的习题。工程力学

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EngineeringMechanics15.5梁的合理截面形状梁的弯曲应力15.5梁的合理截面形状梁的弯曲强度性能与横截面的几何形状密切相关。依此设计合理的截面形状，能够有效地提高梁的弯曲强度。梁可能承受的最大弯矩Mmax

与弯曲截面系数Wz

成正比，Wz

越大越有利。梁的弯曲应力15.5梁的合理截面形状梁可能承受的最大弯矩Mmax

与弯曲截面系数Wz

成正比，Wz

越大越有利。(1)

Wz

的大小与截面的面积、形状有关。

比值Wz/A：衡量截面形状的合理性与经济性。

Wz/A

较大，截面的形状就较合理、经济。在受弯曲构件中，工字钢或槽钢好于矩形截面；矩形截面好于圆形截面。梁的弯曲应力15.5梁的合理截面形状(2)梁的截面形状的合理性，从正应力分布来分析。离中性轴远，正应力大，尽量减小中性轴附近的面积，更多的面积分布在离中性轴较远的位置。例如工字钢、槽钢、箱形截面等。正应力分布梁的弯曲应力15.5梁的合理截面形状(2)梁的截面形状的合理性，从正应力分布来分析。截面合理形状是主要因素，还须考虑刚度、稳定性以及制造、使用等。矩形截面梁，在截面面积相同的条件下，加大截面高度，减小截面宽度，可以提高弯曲截面系数，但是梁就容易发生侧向变形（侧向丧失稳定）而破坏。梁的弯曲应力15.5梁的合理截面形状(2)梁的截面形状的合理性，从正应力分布来分析。截面合理形状是主要因素，还须考虑刚度、稳定性以及制造、使用等。将细长的圆杆加工成空心杆，提高加工成本。轴类零件，既要承受弯曲还要承受扭转，不能单纯从正应力考虑，还要兼顾切应力方面。梁的弯曲应力15.5梁的合理截面形状对于抗拉和抗压强度相同的材料（碳钢），宜采用对中性轴对称的截面，如圆形、矩形、工字钢等。(3)研究截面形状的合理性时，还应考虑材料的特性。使得截面的上下边缘处的最大拉应力和最大压应力的数值相等，同时接近许用应力。梁的弯曲应力15.5梁的合理截面形状(3)研究截面形状的合理性时，还应考虑材料的特性。对于抗拉和抗压强度不等的材料（铸铁），中性轴偏于受拉边的截面形状，最大拉与压应力同时接近于各自的许用应力。通过调整组合截面各部分，使截面形心位置满足上式条件。梁的弯曲应力例钢制等截面悬臂梁受均布载荷

q作用。已知材料的许用应力[

]=160MPa，l=2m，

q=10kN/m。设计三种截面：

(1)工字钢，型号；

(2)高宽比为2的矩形，截面宽度b；

(3)圆形，截面直径d。解1.作弯矩图MMmax=20kN·m-qlql2/2bd2bAB2.强度计算梁的弯曲应力查型钢表z16号工字钢b2bz取最小值dz取最小值工字钢最省材料，圆形截面最费材料梁的弯曲应力例如图所示，外伸梁ABC

在BC

段受均布载荷q=4kN/m的作用，a=1m，梁的横截面是直径为d

的圆形，材料的许用应力[σ]=80MPa，试设计该梁的横截面直径。解1.作弯矩图BAC2aad2.强度条件故梁的直径整取为d=64mm可满足要求。梁的弯曲应力例铸铁外伸梁，受力及截面尺寸如图所示。若已知铸铁抗拉许用应力；抗压许用应力为。试校核该梁的强度。D

截面B

截面12+-43+-BAC100010001000D12kN4.5kN(M)3.75kN12.75kN80yz120C202088梁的弯曲应力解截面B

上①点受压②

点受拉BAC100010001000D12kN4.5kN(M)3.75kN12.75kN80yz120C202088D

截面B

截面12+-43+-梁的弯曲应力截面D

上③点受压、④

点受拉比截面B

上①点压应力小，强度满足要求且

该梁强度不满足要求、不安全！BAC100010001000D12kN4.5kN(M)3.75kN12.75kN80yz120C202088D

截面B

截面12+-43+-梁的弯曲应力例长度为l=2m的外伸梁受图示集中力F

的作用，已知F=25kN，梁选用No.28a工字钢，试计算：（1）梁的危险截面上最大弯曲正应力；（2）危险截面对称轴上腹板（中间的矩形板）与翼缘（上、下的矩形板）的下交界处K

点的弯曲正应力。解1.作弯矩图确定危险截面2.强度梁内最大弯曲正应力CABl/2l/2HtCABK查型钢表No.28a工字钢：

H=280mm

t=13.7mm

Iz=7110cm4

Wz=508cm3梁的弯曲应力例长度为l=2m的外伸梁受图示集中力F

的作用，已知F=25kN，梁选用No.28a工字钢，试计算：（1）梁的危险截面上最大弯曲正应力；（2）危险截面对称轴上腹板（中间的矩形板）与翼缘（上、下的矩形板）的下交界处K

点的弯曲正应力。3.K

点处弯曲正应力CABl/2l/2HtCABK查型钢表No.28a工字钢：

H=280mm

t=13.7mm

Iz=7110cm4

Wz=508cm3K点的正应力为压应力工程力学

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EngineeringMechanics平面图形的几何性质X.1静矩与形心X.2惯性矩与惯性积X.3惯性矩的平行移轴公式A平面图形的几何性质X.1静矩与形心X.1.1静矩Sz,Sy

分别称为图形对z轴和y轴的静矩。定义积分静矩的值可能为正，可能为负，也可能等于零。量纲：[长度]3，常用单位：mm3或m3。OzyyCzCCzyA平面图形的几何性质X.1静矩与形心X.1.2静矩与形心的关系OzyyCzCCzy图形对某轴的静矩为零，则该轴过形心，图形对其形心轴的静矩必然等于零。Ozyhb(b)平面图形的几何性质(1)计算Sz(2)计算Sy例计算矩形对z轴和y轴的静矩Sz

和Sy。解

Ozyhyb(a)z平面图形的几何性质X.1静矩与形心X.1.3组合图形的形心坐标若某平面图形由若干个简单的分图形组合而成，该组合图形对某坐标轴的静矩应等于各分图形对同一坐标轴的静矩的代数和。可得组合图形形心坐标的计算公式为平面图形的几何性质X.2惯性矩与惯性积X.2.1惯性矩和极惯性矩OzyzyA定义积分Iz,Iy分别称为图形对z轴和y轴的惯性矩。惯性矩的值恒为正，量纲：[长度]4，常用单位：mm4或m4。平面图形的几何性质X.2惯性矩与惯性积X.2.1惯性矩和极惯性矩OzyzyA定义积分Ip

称为图形对原点O

的极惯性矩。极惯性矩的值恒为正，量纲：[长度]4，常用单位：mm4或m4。平面图形的几何性质(1)计算Iz(2)计算Iy例计算矩形对两个对称轴的惯性矩Iz

和Iy。解

Ozyhyzb计算弯曲截面系数Wz计算弯曲截面系数Wz平面图形的几何性质(1)Iz=Iy

(对称性)例计算圆形截面对其形心轴的惯性矩。解

dz(b)OyD(a)OzDy实心圆截面空心圆截面计算弯曲截面系数Wy=Wz平面图形的几何性质X.2惯性矩与惯性积X.2.2组合图形的惯性矩若某平面图形由若干个简单的分图形组合而成，该组合图形对某坐标轴的惯性矩应等于各分图形对同一坐标轴的惯性矩的总和。即平面图形的几何性质X.2惯性矩与惯性积X.2.2组合图形的惯性矩dz(b)OyD实心圆截面空心圆截面平面图形的几何性质X.2惯性矩与惯性积X.2.3惯性积定义积分Iyz称为图形对原点y,z

的惯性积。惯性积的值可能为正，可能为负，也可能等于零。量纲：[长度]4，常用单位：mm4或m4。y、z

两个坐标轴中只要有一个是图形的对称轴，则图形对y、z轴的惯性积必然等于零。OzyzyAOzyAzy12平面图形的几何性