2024年华东师大版高一数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年华东师大版高一数学上册阶段测试试卷60考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、已知一组数据-1，x，0，1，-1的平均数是0，那么这组数据的方差是（）A.B.0.8C.4D.22、互相平行的三条直线，最多可以确定的平面个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个3、若是第四象限角，则A.B.C.D.4、若则函数与的图象(）A.关于直线y=x对称B.关于x轴对称C.关于y轴对称D.关于原点对称5、如图，方程y=ax+1a

表示的直线可能是(

)

A.B.C.D.6、该程序运行后；变量y

的值是(

)

A.3

B.6

C.9

D.27

评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)7、已知圆过点A(1，0)与圆相切的直线方程为____8、【题文】设m,n是两条不同的直线；α；β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：

（1）若m⊥α；n∥α，则m⊥n

（2）若α∥β；β∥γ，m⊥α，则m⊥γ

（3）若m∥α；n∥α，则m∥n

（4）若α⊥γ；β⊥γ，则α∥β

其中真命题的序号是____．9、在使用二分法求方程的近似解过程中，已确定方程x3=3x-1一根x0∈(0，1)，则再经过两次计算后，x0所在的开区间为____________．10、甲在忙着答题，分针在忙着“转圈”．经过90分钟，分针转过的角的弧度数是____________．11、张山同学家里开了一个小卖部，为了研究气温对某种冷饮销售量的影响，他收集了一段时间内这种冷饮每天的销售量y(

杯)

与当天最高气温x(鈭�C)

的有关数据，通过描绘散点图，发现y

和x

呈线性相关关系，并求得其回归方程y鈭�=2x+60

如果气象预报某天的最高温度气温为34鈭�C

则可以预测该天这种饮料的销售量为______杯.

评卷人得分三、证明题(共7题，共14分)12、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．13、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．14、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．15、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．16、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．17、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．18、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．评卷人得分四、解答题(共2题，共16分)19、已知函数f（x）是定义域为R的单调减函数，且是奇函数，当x＞0时，

（1）求f（x）的解析式；

（2）解关于t的不等式f（t2-2t）+f（2t2-5）＜0．

20、记公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S3=9，a3，a5，a8成等比数列．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an及Sn；

（Ⅱ）若cn=n2+λan，n=1，2，3，，问是否存在实数λ，使得数列{cn}为单调递增数列？若存在，请求出λ的取值范围；不存在，请说明理由．评卷人得分五、计算题(共1题，共10分)21、（2000•台州）如图，已知AB是⊙O的直径，BC是和⊙O相切于点B的切线，⊙O的弦AD平行于OC，若OA=2，且AD+OC=6，则CD=____．评卷人得分六、综合题(共2题，共10分)22、如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果；那么称直线l为该图形的黄金分割线．

（1）研究小组猜想：在△ABC中；若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？

（2）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．23、先阅读下面的材料再完成下列各题

我们知道，若二次函数y=ax2+bx+c对任意的实数x都有y≥0，则必有a＞0，△=b2-4ac≤0；例如y=x2+2x+1=（x+1）2≥0，则△=b2-4ac=0，y=x2+2x+2=（x+1）2+1＞0，则△=b2-4ac＜0．

（1）求证：（a12+a22++an2）•（b12+b22++bn2）≥（a1•b1+a2•b2++an•bn）2

（2）若x+2y+3z=6，求x2+y2+z2的最小值；

（3）若2x2+y2+z2=2；求x+y+z的最大值；

（4）指出（2）中x2+y2+z2取最小值时，x，y，z的值（直接写出答案）．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、B【分析】【分析】先由平均数的公式计算出a的值，再根据方差公式计算．【解析】【解答】解：四个数：-1；x，0，1，-1，的平均数是0；

有（-1+x+0+1-1）=0；

解得a=1；

∴方差=（1+1+1+1）=0.8．

故选B．2、C【分析】【解析】试题分析：根据两平行线可确定一个平面的原则，三条平行线中任取两条可确定一个平面，最多有个平面考点：平面的确定【解析】【答案】C3、D【分析】【解答】根据题意，由于是第四象限角，那么可知正弦值为负数，余弦值为正数，可知分别为那么可知结论为D.4、C【分析】【解答】由条件得即所以易知函数与的图象关于轴对称,故正确答案为C.5、B【分析】解：方程y=ax+1a

可以看作一次函数，其斜率a

和截距1a

同号；只有B

符合，其斜率和截距都为负．

故选：B

．

利用一次函数的斜率和截距同号及其意义即可得出．

本题考查了一次函数的斜率和截距的意义，属于基础题．【解析】B

6、B【分析】解：模拟程序的运行，可得程序的功能是求分段函数y={x2x>32xx鈮�3

的值；

由于x=3

可得y=2隆脕3=6

．

故选：B

．

模拟程序的运行，可得程序的功能是求分段函数y={x2x>32xx鈮�3

的值；由x=3

即可计算得解y

的值．

本题主要考查了程序及伪代码的应用，模拟程序的运行得到程序的功能是解题的关键，属于基础题．【解析】B

二、填空题(共5题，共10分)7、略

【分析】【解析】

因为圆则过点A(1，0)与圆相切的直线方程可知考虑斜率不存在时为x=1，当斜率存在时，设方程为y=k(x-1),因为相切，圆心到直线的距离等于圆的半径可知k=则可知为或【解析】【答案】________8、略

【分析】【解析】

试题分析：因为所以垂直于任意直线因为所以可得平行于内某条直线所以（1）正确.因为所以垂直于任意直线过作平面分别交平面于直线因为所以因此由于的任意性，所以（2）正确.两条直线平行于同一平面；它们的位置关系不定，所以（3）不正确.两相交平面可同时垂直于同一平面，所以（4）不正确.

考点：线面平行与垂直关系判定【解析】【答案】（1）（2）9、略

【分析】解：令f(x)=x3-3x+1

则f(0)=1＞0；f(1)=-1＜0；

第一次运算后，可得f()=-＜0，即x0所在的开区间为(0，)

第一次运算后，可得f()=＞0，即x0所在的开区间为()

故答案为：()【解析】()10、略

【分析】解：∵分针转一周为60分钟；转过的角度为2π

分针是顺时针旋转。

经过90分钟；分针转过的角的弧度数是。

∴分针拨快10分钟，则分针所转过的弧度数为

故答案为-3π【解析】-3π11、略

【分析】解：由题意x=34

时，该小卖部大约能卖出热饮的杯数y鈭�=2隆脕34+60=128

杯；

故答案为128

．

代入x

的值；做出y

即可得出结论．

本题考查线性回归方程的应用，即根据所给的或是做出的线性回归方程，预报y

的值，这是一些解答题目中经常出现的一个问题，是一个基础题．【解析】128

三、证明题(共7题，共14分)12、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．13、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．14、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．15、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．16、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．17、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=18、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．四、解答题(共2题，共16分)19、略

【分析】

（1）∵定义域为R的函数f（x）是奇函数；

∴f（0）=0；

当x＜0时；-x＞0；

又∵函数f（x）是奇函数；

∴f（-x）=-f（x）；

∴

综上所述．

（2）∵

且f（x）在R上单调；

∴f（x）在R上单调递减；

由f（t2-2t）+f（2t2-5）＜0

得f（t2-2t）＜-f（2t2-5）；

∵f（x）是奇函数；

∴f（t2-2t）＜f（5-2t2）；

又∵f（x）是减函数；

∴t2-2t＞5-2t2

即3t2-2t-5＞0；

解得t＞或t＜-1．

【解析】【答案】（1）由定义域为R的函数f（x）是奇函数，知f（0）=0．当x＜0时，由函数f（x）是奇函数，知由此能求出f（x）的解析式．

（2）由且f（x）在R上单调，知f（x）在R上单调递减，由f（t2-2t）+f（2t2-5）＜0，得f（t2-2t）＜-f（2t2-5）；再由函数的奇偶性及单调性能求出实数t的取值范围．

20、略

【分析】

（Ⅰ）利用等差数列S3=9，a3，a5，a8成等比数列，列出关系式，求出首项与公差，然后求数列{an}的通项公式an及Sn；

（Ⅱ）cn=n2+λan，n=1，2，3，，存在实数λ，使得数列{cn}为单调递增数列，利用作差法，cn+1-cn＞0；得到λ＞-2n-1对一切n∈N*恒成立，求出λ的范围即可．．

本题考查等差数列与等比数列的综合应用，数列的函数特征，函数恒成立的应用，考查计算能力．【解析】解：（Ⅰ）由

得：解得：a1=2；d=1．

∴an=n+1，．（5分）

（Ⅱ）由题知cn=n2+λ（n+1）．（6分）

若使{cn}为单调递增数列；

则cn+1-cn=（n+1）2+λ（n+2）-[n2+λ（n+1）]

=2n+1+λ＞0对一切n∈N*恒成立；

即：λ＞-2n-1对一切n∈N*恒成立；10分。

又ϕ（n）=-2n-1是单调递减的；

∴当n=1时，ϕ（n）max=-3；

∴λ＞-3．（12分）五、计算题(共1题，共10分)21、略

【分析】【分析】连接BD；根据AD∥OC，易证得OC⊥BD，根据垂径定理知：OC垂直平分BD，可得CD=CB，因此只需求出CB的长即可；

延长AD，交BC的延长线于E，则OC是△ABC的中位线；设未知数，表示出OC、AD、AE的长，然后在Rt△ABE中，表示出BE的长；最后根据切割线定理即可求出未知数的值，进而可在Rt△CBO中求出CB的长，即CD的长．【解析】【解答】解：连接BD；则∠ADB=90°；

∵AD∥OC；

∴OC⊥BD；

根据垂径定理；得OC是BD的垂直平分线，即CD=BC；

延长AD交BC的延长线于E；

∵O是AB的中点；且AD∥OC；

∴OC是△ABE的中位线；

设OC=x；则AD=6-x，AE=2x，DE=3x-6；

Rt△ABE中，根据勾股定理，得：BE2=4x2-16；

由切割线定理，得BE2=ED•AE=2x（3x-6）；

∴4x2-16=2x（3x-6）；解得x=2，x=4；

当x=2时；OC=OB=2，由于OC是Rt△OBC的斜边，显然x=2不合题意，舍去；

当x=4时；OC=4，OB=2；

在Rt△OBC中，CB==2．

∴CD=CB=2．六、综合题(共2题，共10分)22、略

【分析】【分析】（1）设△ABC的边AB上的高为h，由三角形的面积公式即可得出=，=，再由点D为边AB的黄金分割点可得出=；故可得出结论；

（2）由DF∥CE可知△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等，故S△DEC=S△FCE，设直线EF与CD交于点G，由同底等高的三角形的面积相等可知S△DEG=S△FEG，故可得出S△ADC=S四边形AFGD+S△FCG=S△AEF，再由S△BDC=S四边形BEFC，再由=可知=，故直线EF也是△ABC的黄金分割线．【解析】【解答】解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：

设△ABC的边AB上的高为h．

∵S△ADC=AD•h，S△BDC=BD•h，S△ABC=AB•h；

∴=，=；

又∵点D为边AB的黄金分割点；

∴=；

∴=；

∴直线CD是△ABC的黄金分割线；

（2）∵DF∥CE；

∴△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等；

∴S△DEC=S△FCE；

设直线EF与CD交于点G；

∴S△DEG=S△FCG；

∴S△ADC=S四边形AFGD+S△FCG=S四边形AFGD+S△DGE=S△AEF；

S△BDC=S四边形BEFC；．

又∵=；

∴=；

∴直线EF也是△ABC的黄金分割线．23、略

【分析】【分析】（1）首先构造二次函数：f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2++（anx+bn）2=（a12+a22++an2）x2+2（a1b1+a2b2++anbn）x+（b12+b22+