常州模考高三数学试卷

常州模考高三数学试卷一、选择题

1.下列函数中，定义域为实数集的有：

A.$y=\sqrt{x^2+1}$

B.$y=\frac{1}{x}$

C.$y=x^3-x$

D.$y=\ln(x-1)$

2.已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$，若$f(1)=0$，$f(2)=4$，且$f(x)$的图象关于直线$x=1$对称，则$a$、$b$、$c$的值分别为：

A.$a=1,b=-2,c=1$

B.$a=1,b=-4,c=3$

C.$a=2,b=-2,c=1$

D.$a=2,b=-4,c=3$

3.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_5=15$，$S_9=45$，则$a_6+a_8$的值为：

A.10

B.12

C.15

D.18

4.已知函数$f(x)=\sin(x+\frac{\pi}{4})$，则$f(x)$的周期为：

A.$\pi$

B.$2\pi$

C.$\frac{\pi}{2}$

D.$\frac{\pi}{4}$

5.在平面直角坐标系中，点$A(2,3)$关于直线$x+y=5$的对称点为$B$，则$|AB|$的值为：

A.$\sqrt{10}$

B.$2\sqrt{10}$

C.$\sqrt{5}$

D.$2\sqrt{5}$

6.已知数列$\{a_n\}$是等比数列，若$a_1=2$，$a_4=16$，则公比$q$的值为：

A.2

B.4

C.8

D.16

7.在平面直角坐标系中，已知直线$l:y=2x+1$，点$P(1,2)$，则点$P$到直线$l$的距离为：

A.$\frac{1}{\sqrt{5}}$

B.$\frac{2}{\sqrt{5}}$

C.$\sqrt{5}$

D.$2\sqrt{5}$

8.已知函数$f(x)=e^x+\ln(x+1)$，则$f(x)$在$x=0$处的导数为：

A.$e^0+\frac{1}{0+1}=2$

B.$e^0+\frac{1}{0+1}=1$

C.$e^0+\frac{1}{0+1}=0$

D.$e^0+\frac{1}{0+1}=-1$

9.已知数列$\{a_n\}$是等差数列，若$a_1=3$，$a_6=15$，则$a_4$的值为：

A.6

B.7

C.8

D.9

10.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，则$f(x)$的极值点为：

A.$x=1$

B.$x=2$

C.$x=3$

D.$x=4$

二、判断题

1.若函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$的导数$f'(x)$在$x=1$处为0，则$x=1$是$f(x)$的极值点。（）

2.在等差数列中，若$a_1=3$，$d=2$，则第10项$a_{10}=23$。（）

3.函数$y=\frac{1}{x}$在定义域内是单调递减的。（）

4.在平面直角坐标系中，两条平行线之间的距离是两条平行线到原点的距离之差。（）

5.若函数$f(x)=\sin(x)$在区间$[0,\pi]$上单调递增，则其导数$f'(x)=\cos(x)$在区间$[0,\pi]$上恒大于0。（）

三、填空题

1.若函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图象开口向上，且顶点坐标为$(h,k)$，则$a>0$，$h=\frac{-b}{2a}$，$k=\frac{4ac-b^2}{4a}$。

2.在等比数列$\{a_n\}$中，若$a_1=5$，$q=\frac{1}{2}$，则第5项$a_5=\frac{5}{2^4}$。

3.函数$y=\ln(x)$的导数是$y'=\frac{1}{x}$。

4.在平面直角坐标系中，点$(3,4)$到直线$2x-3y+6=0$的距离是$\frac{|2\cdot3-3\cdot4+6|}{\sqrt{2^2+(-3)^2}}=\frac{3}{\sqrt{13}}$。

5.若函数$f(x)=x^3-3x+2$的导数$f'(x)=3x^2-3$，则$f(x)$的极值点是$x=\pm1$。

四、简答题

1.简述数列$\{a_n\}$的通项公式$a_n=n^2-n+1$的前5项，并说明该数列是递增还是递减。

2.已知函数$f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-1}$，求函数$f(x)$的定义域和值域。

3.在平面直角坐标系中，给定两点$A(1,2)$和$B(3,4)$，求线段$AB$的中点坐标。

4.若函数$f(x)=e^x-\sin(x)$在区间$[0,\pi]$上连续，且$f'(x)=e^x-\cos(x)$，求$f(x)$在区间$[0,\pi]$上的最大值和最小值。

5.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=3n^2-2n$，求该数列的公差$d$和首项$a_1$。

五、计算题

1.计算定积分$\int_0^1(2x+3)\,dx$的值。

2.已知函数$f(x)=x^3-6x^2+9x$，求$f(x)$的导数$f'(x)$，并找出$f(x)$的极值点。

3.解方程组$\begin{cases}2x+3y=8\\x-y=1\end{cases}$。

4.在平面直角坐标系中，已知点$A(2,3)$和点$B(5,1)$，求直线$AB$的斜率和截距。

5.已知数列$\{a_n\}$是等比数列，且$a_1=4$，$a_4=64$，求该数列的公比$q$和前10项和$S_{10}$。

六、案例分析题

1.案例分析：某班级学生参加数学竞赛，成绩分布如下表所示：

|成绩区间|学生人数|

|----------|----------|

|90-100|5|

|80-89|8|

|70-79|12|

|60-69|15|

|50-59|6|

|40-49|3|

|30-39|2|

（1）请计算该班级学生的平均成绩；

（2）请分析该班级学生的成绩分布情况，并给出改进建议。

2.案例分析：某工厂生产一批产品，其质量检测数据如下：

|质量等级|产品数量|

|----------|----------|

|A级|100|

|B级|150|

|C级|200|

|D级|50|

（1）请计算该批产品的平均质量等级；

（2）请分析该批产品的质量分布情况，并给出提高产品质量的建议。

七、应用题

1.应用题：某公司计划生产一批产品，预计总成本为$10000$元，其中固定成本为$3000$元，每件产品的可变成本为$10$元。若要使利润最大化，公司需要生产多少件产品？请列出利润函数，并求出最优解。

2.应用题：一个长方体的长、宽、高分别为$x$、$y$、$z$，其体积$V=xyz$，表面积$S=2(xy+xz+yz)$。若要使体积最大，同时表面积不超过$100$平方米，求长方体的长、宽、高的取值范围。

3.应用题：某城市计划在一条长为$20$公里的公路上增设$10$个公交车站，要求相邻车站之间的距离尽可能相等。为了减少乘客的等待时间，公交公司希望车站之间的平均距离最小。请计算这个平均距离。

4.应用题：一个班级有$30$名学生，其中有$20$名学生参加数学竞赛，$15$名学生参加物理竞赛，$10$名学生同时参加数学和物理竞赛。请计算：

-只参加数学竞赛的学生人数；

-只参加物理竞赛的学生人数；

-同时参加数学和物理竞赛的学生人数。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题

1.A

2.B

3.C

4.A

5.B

6.A

7.B

8.A

9.C

10.A

二、判断题

1.×

2.√

3.√

4.×

5.√

三、填空题

1.$k=\frac{4ac-b^2}{4a}$

2.$\frac{5}{2^4}$

3.$y'=\frac{1}{x}$

4.$\frac{3}{\sqrt{13}}$

5.$q=4$，$S_{10}=4^10-1$

四、简答题

1.前5项为：2,4,7,10,13，数列递增。

2.定义域：$x\neq1$，值域：$(-\infty,4]\cup[2,+\infty)$。

3.中点坐标为$(\frac{1+3}{2},\frac{2+4}{2})=(2,3)$。

4.最大值：$f(\frac{\pi}{2})=e^{\frac{\pi}{2}}-1$，最小值：$f(0)=1$。

5.公差$d=8$，首项$a_1=4$。

五、计算题

1.$\int_0^1(2x+3)\,dx=[x^2+3x]_0^1=1^2+3\cdot1-(0^2+3\cdot0)=4$。

2.$f'(x)=3x^2-12x+9$，极值点为$x=1$和$x=3$。

3.解得$x=3$，$y=2$。

4.斜率$m=\frac{1-3}{5-2}=-\frac{2}{3}$，截距$b=2-m\cdot2=\frac{4}{3}$。

5.公比$q=4$，前10项和$S_{10}=4^10-1$。

六、案例分析题

1.（1）平均成绩=$\frac{5\cdot95+8\cdot85+12\cdot75+15\cdot65+6\cdot55+3\cdot45+2\cdot35}{30}=70$。

（2）建议：加强基础知识教学，提高学生整体水平；针对不同成绩层次的学生，实施差异化教学。

2.（1）平均质量等级=$\frac{100\cdotA+150\cdotB+200\cdotC+50\cdotD}{400}=\frac{200A+150B+100C+25D}{400}$。

（2）建议：提高A级产品比例，降低D级产品比例；加强质量控制，提高整体产品质量。

知识点总结：

1.函数与导数：函数的定义域、值域、导数、极值点等概念。

2.数列：等差数列、等比数列、数列的通项公式、前$n$项和等概念。

3.平面几何：直线方程、点到直线距离、直线与直线平行或垂直的条件等概念。

4.应用题：利用数学知识解决实际问题，如利润最大化、体积最大化、平均数计算等。

5.案例分析：分析案例，提取