2024年北师大版高一数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年北师大版高一数学上册阶段测试试卷55考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、函数在上满足则的取值范围是（）A.B.C.D.2、【题文】已知是定义在R上的周期为2的偶函数，当时，设则a、b、c的大小关系为（）A.B.C.D.3、【题文】设集合则下列结论正确的是（）A.B.C.D.4、【题文】正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此棱锥的体积为（）A.B.C.D.5、在实数集R中定义一种运算“⊙”，具有性质：①对任意a、b∈R，a⊙b=b⊙a；②a⊙0=a；③对任意a、b∈R，（a⊙b）⊙c=（ab）⊙c+（a⊙c）+（b⊙c）﹣2c，则函数f（x）=x⊙的最小值是（）A.2B.3C.D.6、已知f（x）是定义在R上的奇函数．且是以2为周期的周期函数．若当x∈[0，1）时，f（x）=2x-1，则的值为（）A.B.一5C.D.一67、已知=2，则tanα的值为（）A.B.-C.D.-评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)8、函数的图象是把y=3cos3x的图象平移而得，平移方法是____．9、已知则f（f（f（-2）））=____．10、“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则图中与故事情节相吻合的是____．（填序号）

11、若x＜0，则函数的最小值是____．12、计算13、【题文】下图是函数的部分图像，则函数的零点所在的区间是。

A．B．C．D．14、【题文】函数的最大值是_________________.15、已知点圆点是圆上任意一点，若为定值，则____.16、已知函数f(x)=a鈭�x(a>0

且a鈮�1)

且f(鈭�2)>f(鈭�3)

则a

的取值范围是______．评卷人得分三、计算题(共7题，共14分)17、（2005•兰州校级自主招生）已知四边形ABCD是正方形，且边长为2，延长BC到E，使CE=-，并作正方形CEFG，（如图），则△BDF的面积等于____．18、△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c，∠C=120°，且2b=a+c，求2cot-cot的值．19、已知分式，当x=1时，分式的值记为f（1），当x=2时，分式的值记为f（2），依此计算：=____．20、在Rt△ABC中，∠A=90°，如果BC=10，sinB=0.6，那么AC=____．21、已知：（b-c）2=（a-b）（c-a），且a≠0，则=____．22、已知：x=，求-÷的值．23、已知cos（+x）=x∈（﹣﹣），求的值．评卷人得分四、作图题(共3题，共30分)24、以下是一个用基本算法语句编写的程序；根据程序画出其相应的程序框图．

25、请画出如图几何体的三视图．

26、某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50m后，又以15km/h的速度，沿北偏东45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．评卷人得分五、解答题(共4题，共8分)27、平面向量已知∥求的坐标及夹角．

28、【题文】如图一，△ABC是正三角形，△ABD是等腰直角三角形，AB=BD=2。将△ABD沿边AB折起，使得△ABD与△ABC成30o的二面角如图二，在二面角中.

(1)求D；C之间的距离；

(2)求CD与面ABC所成的角的大小;

(3)求证：对于AD上任意点H，CH不与面ABD垂直。29、【题文】（本题满分15分）如图，A点在x轴上方，外接圆半径弦在轴上且轴垂直平分边；

(1)求外接圆的标准方程。

(2)求过点且以为焦点的椭圆方程30、已知二次函数f（x）=ax2+bx+c；其中a＞0．

（1）若方程f（x）+2x=0有两个实根x1=1，x2=3；且方程f（x）+6a=0有两个相等的根，f（x）解析式；

（2）若f（x）得图象与x轴交于A（-3；0），B（m，0）两点，且当-1≤x≤0时，f（x）≤0恒成立，求实数m的取值范围．

注：f（x）是一个函数的记号，相当于函数y．评卷人得分六、综合题(共3题，共6分)31、先阅读下面的材料再完成下列各题

我们知道，若二次函数y=ax2+bx+c对任意的实数x都有y≥0，则必有a＞0，△=b2-4ac≤0；例如y=x2+2x+1=（x+1）2≥0，则△=b2-4ac=0，y=x2+2x+2=（x+1）2+1＞0，则△=b2-4ac＜0．

（1）求证：（a12+a22++an2）•（b12+b22++bn2）≥（a1•b1+a2•b2++an•bn）2

（2）若x+2y+3z=6，求x2+y2+z2的最小值；

（3）若2x2+y2+z2=2；求x+y+z的最大值；

（4）指出（2）中x2+y2+z2取最小值时，x，y，z的值（直接写出答案）．32、取一张矩形的纸进行折叠；具体操作过程如下：

第一步：先把矩形ABCD对折；折痕为MN，如图（1）所示；

第二步：再把B点叠在折痕线MN上；折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得Rt△AB′E，如图（2）所示；

第三步：沿EB′线折叠得折痕EF；如图（3）所示；利用展开图（4）所示．

探究：

（1）△AEF是什么三角形？证明你的结论．

（2）对于任一矩形；按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由．

（3）如图（5）；将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在DC边上的点A′处，x轴垂直平分DA，直线EF的表达式为y=kx-k（k＜0）

①问：EF与抛物线y=有几个公共点？

②当EF与抛物线只有一个公共点时，设A′（x，y），求的值．33、设L是坐标平面第二；四象限内坐标轴的夹角平分线．

（1）在L上求一点C，使它和两点A（-4，-2）、B（5，3-2）的距离相等；

（2）求∠BAC的度数；

（3）求（1）中△ABC的外接圆半径R及以AB为弦的弓形ABC的面积．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、D【分析】【解析】试题分析：根据题意，当a=0时，显然成立，故排除答案B,C，对于当时，函数为二次函数，那么使得在实数域上函数值小于零，则判别式小于零，开口向下可知得到解得综上可知为选D.考点：不等式【解析】【答案】D2、D【分析】【解析】解：因为是定义在R上的周期为2的偶函数，当时，且设>选D【解析】【答案】D3、C【分析】【解析】∴选C【解析】【答案】C4、A【分析】【解析】

考点：棱柱；棱锥、棱台的体积．

专题：计算题．

分析：先求正三棱锥的侧棱长；然后求出体积．

解答：解：由题意正三棱锥的底面边长为2；侧面均为直角三角形；

可知：侧棱长为三条侧棱两两垂直；

所以此三棱锥的体积为××××=

故选A．

点评：本题考查棱锥的体积，考查学生的空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．【解析】【答案】A5、B【分析】【解答】解：根据题意，得f（x）=x⊙=（x⊙）⊙0=0⊙（x•）+（x⊙0）+（⊙0）﹣2×0=1+x+

即f（x）=1+x+

∵x＞0，可得x+≥2；当且仅当x=1时等号成立，由此可得函数f（x）的最小值为f（1）=3．

故选：B

【分析】根据题中给出的对应法则，可得f（x）=（x⊙）⊙0=1+x+利用基本不等式求最值可得x+≥2，当且仅当x=1时等号成立，由此可得函数f（x）的最小值为f（1）=3．6、C【分析】解：由题意可得：=f（-log26），因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以=-f（log26）．

又因为f（x）是周期为2的周期函数，所以f（log26）=f（log26-2）=f（log2）．

因为0＜log2＜1，并且当x∈[0，1）时，f（x）=2x-1，所以f（log26）=f（log2）=-1=

所以=-f（log26）=-．

故选C．

由题意可得：=f（-log26）=-f（log26），结合函数的周期性可得：f（log26）=f（log2）；再根据题中的条件代入函数解析式可得答案．

本题主要考查函数的有关性质，如奇偶性、周期性，以及对数的有关运算性质，此题属于基础题型．【解析】【答案】C7、B【分析】解：∵==2，则tanα=-

故选：B．

利用同角三角函数的基本关系；求得tanα的值．

本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．【解析】【答案】B二、填空题(共9题，共18分)8、略

【分析】

由题意，

∴把y=3cos3x的图象向左平移个单位长度，即可得

故答案为：向左平移个单位长度。

【解析】【答案】由于函数y=3cos3x已由正弦函数经过周期变换；故再进行相位变换时，应整理成变量加常数的形式，从而得解．

9、略

【分析】

因为函数

所以f（-2）=-2+4=2；所以f（f（-2））=f（2）=4；

所以f（f（f（-2）））=f（4）=3×4=12．

故答案为：12．

【解析】【答案】求出f（-2）；然后求出f（f（-2）），最后求解f（f（f（-2）））的值．

10、略

【分析】

由题意可得，S1的始终是匀速增长，开始时，S2的增长比较快，但中间有一段时间S2停止增长．

在最后一段时间里，S2的增长较快，但S2的值没有超过S1的值．

结合所给的图象可知；应选（2）；

故答案为（2）．

【解析】【答案】由题意可得，S1的始终是匀速增长，开始时，S2的增长比较快，但中间有一段时间S2停止增长．在最后一段时间里，S2的增长又较快，但S2的值没有超过S1的值；由此得到结论．

11、略

【分析】

设∵x＜0，∴

函数可化为

由于对称轴为∴时，函数有最小值

故答案为

【解析】【答案】先利用基本不等式确定变量的范围；再利用配方法求二次函数的最值．

12、略

【分析】试题分析：直接运用极限的定义计算即可得到即为所求.考点：极限的运算.【解析】【答案】2.13、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】C14、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】515、0【分析】【解答】设则整理得。

又是圆上的任意一点，故

圆的普通方程为因此解得

【分析】本题主要考查了圆的普通方程、轨迹方程，解决问题的关键是根据所给圆的普通方程分表示圆的条件得到b值即可.16、略

【分析】解：由题意可得，函数f(x)=a鈭�x=(1a)x(a>0

且a鈮�1)

在R

上是增函数；

故1a>1

解得0<a<1

故答案为(0,1)

．

由题意可得函数f(x)=(1a)x

在R

上是增函数，故有1a>1

由此求得a

的取值范围．

本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．【解析】(0,1)

三、计算题(共7题，共14分)17、略

【分析】【分析】根据正方形的性质可知三角形BDC为等腰直角三角形，由正方形的边长为2，表示出三角形BDC的面积，四边形CDFE为直角梯形，上底下底分别为小大正方形的边长，高为小正方形的边长，利用梯形的面积公式表示出梯形CDFE的面积，而三角形BEF为直角三角形，直角边为小正方形的边长及大小边长之和，利用三角形的面积公式表示出三角形BEF的面积，发现四边形CDEF的面积与三角形EFB的面积相等，所求△BDF的面积等于三角形BDC的面积加上四边形CDFE的面积减去△EFB的面积即为三角形BDC的面积，进而得到所求的面积．【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形；边长为2；

∴BC=DC=2；且△BCD为等腰直角三角形；

∴△BDC的面积=BC•CD=×2×2=2；

又∵正方形CEFG；及正方形ABCD；

∴EF=CE；BC=CD；

由四边形CDFE的面积是（EF+CD）•EC，△EFB的面积是（BC+CE）•EF；

∴四边形CDFE的面积=△EFB的面积；

∴△BDF的面积=△BDC的面积+四边形CDFE的面积-△EFB的面积=△BDC的面积=2．

故答案为：2．18、略

【分析】【分析】作△ABC的内切圆，分别切AB、BC、CA于D、E、F，圆心为O，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，求出AD、BE、CF，根据锐角三角函数求出r，代入求出即可．【解析】【解答】解：作△ABC的内切圆；分别切AB；BC、CA于D、E、F，圆心为O；

连接OA；OB、OC、OD、OE、OF；

∴AD=AF；BD=BE，CF=CE；

c-AD+n-AD=a；

∴AD=；

同理：BE=，CE=；

在Rt△OCE中，cot60°=；

得r=；

所以．

答：2cot-cot的值是．19、略

【分析】【分析】先求出当x=1时，分式的值记为f（1）=，当x=2时，分式的值记为f（）=，再进行计算．【解析】【解答】解：当x=1时，分式的值记为f（1）=；

当x=时，分式的值记为f（）=；

∴=+=．

故答案为．20、略

【分析】【分析】根据sinB是由AC与BC之比得到的，把相关数值代入即可求得AC的值．【解析】【解答】解：∵sinB=；

∴AC=BC×sinB=10×0.6=6．

故答案为6．21、略

【分析】【分析】根据题意将原式变形，然后利用添项法可配成完全平方式，再利用偶次方的非负性即可得出答案．【解析】【解答】解：；

化简：4a2-4a（b+c）+（b+c）2=0，；

即：；

∴=2，则=；

故答案为：．22、略

【分析】【分析】把分式化简，然后把x的值代入化简后的式子求值就可以了．【解析】【解答】解：原式=×

=-1

=-；

当x=时；

原式=-=2-4．23、解：∵x∈（﹣﹣），cos（+x）=可得：cosx﹣sinx=①，cosx﹣sinx=．

又x+∈（﹣0），得sin（x+）=﹣

即cosx+sinx=-②．

由①、②解得sinx=﹣

cosx=．

cosx+sinx=．两边平方化简可得sin2x=．

===【分析】【分析】利用已知条件求出x的正弦函数以及余弦函数值，化简所求表达式求解即可．四、作图题(共3题，共30分)24、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题目中的程序语言，得出该程序是顺序结构，利用构成程序框的图形符号及其作用，即可画出流程图．25、解：如图所示：

【分析】【分析】由几何体是圆柱上面放一个圆锥，从正面，左面，上面看几何体分别得到的图形分别是长方形上边加一个三角形，长方形上边加一个三角形，圆加一点．26、解：由题意作示意图如下；

【分析】【分析】由题意作示意图。五、解答题(共4题，共8分)27、略

【分析】

由∥得。

（3分）

由得。

（6分）

∴（8分）

设与的夹角为θ；

则（10分）

又0°≤θ≤180°（11分）

∴θ=90°（12分）

【解析】【答案】由∥及平面向量构造方程组，解答出x，y的值，再根据我们易得向量夹角的余弦值，进而得到向量夹角．

28、略

【分析】【解析】

试题分析：依题意，ABD=90o，建立如图的坐标系使得△ABC在yoz平面上，△ABD与△ABC成30o的二面角,DBY=30o，又AB=BD=2，A(0；0，2)，B(0，0，0)；

C(0，1)，D(1，0)；

(1)|CD|==5分。

(2)x轴与面ABC垂直；故(1，0，0)是面ABC的一个法向量。

设CD与面ABC成的角为而=(1；0，-1)；

sin==

[0，]，=8分。

(3)设=t=t(1，-2)=(t，t；-2t)；

=+=(0，-1)+(t，t，-2t)=(t，t--2t+1)；

若则(t，t--2t+1)·(0，0，2)="0"得t=10分。

此时=(-0)；

而=(1，0)，·=-=-10,和不垂直；

即CH不可能同时垂直BD和BA；即CH不与面ABD垂直。12分。

考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系；角；距离的计算。

点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用向量则能简化证明过程。本题利用空间向量，简化了证明过程，但对计算能力要求较高。【解析】【答案】(1)|CD|==

(2)=(3)CH不与面ABD垂直。29、略

【分析】【解析】本试题主要是考查了圆与直线的位置关系；以及椭圆方程的求解。

（1）因为根据已知可知外接圆半径那么可知外接圆的半径，然后得到方程。

（2）根据过点且以为焦点的椭圆，那么可知椭圆中的长轴长为20，焦距为10，因此可知椭圆方程。【解析】【答案】(1)(2)30、略

【分析】

（1）由题意可知：把x1=1和x2=3代入ax2+bx+c+2x=0，再利用方程f（x）+6a=0的△=0，求出a、b；c的值即可；注意a＞0的条件；

（2）由题意可知：对称轴为x=根据对称轴的位置分三种情况进行讨论．

本题考查二次函数的综合问题，涉及分类讨论，不等式的解法，根与系数的关系等知识，综合程度较高．【解析】解：（1）由题意可知：f（x）+2x=0；

即：ax2+bx+c+2x=0；

∴把x1=1和x2=3代入ax2+bx+c+2x=0；

可得：a+b+c+2=0；

9a+3b+c+6=0；

解得：a=c，b=-2-c；

∵f（x）+6a=0有两个相等的根；

∴ax2+bx+c+6a=0有两个相等的根；

∴△=b2-4a（c+6a）=0；

∴（-2-c）2-4×c（c+2c）=0；

∴解得：c=-或c=3；

∵a＞0；

∴c＞0；

∴c＞0；

∴c=3；

∴a=1，b=-6；

∴f（x）=x2-6x+3；

（2）由题意可知：对称轴为x=

由根与系数的关系可知：-3m=-3+m=-

∴c=-3ma，b=（3-m）a；

∵a＞0；

∴抛物线开口向上；

当≤-1时；

即m≤1；f（x）在-1＜x＜0上，y随x的增大而减小；

∴-1≤x≤0时；f（x）≤0恒成立；

只需要f（0）≤0即可；

∴c≤0即可；

∴-3ma≤0；

∴m≥0；

∴0≤m≤1；

当-1＜＜0时；

即：1＜m＜3，f（x）在-1＜x＜上，y随x的增大而减小，在＜x＜0上；y随x的增大而增大；

∴-1≤x≤0时；f（x）≤0恒成立；

∴即f（-1）≤0且f（0）≤0；

∴a-b+c≤0；且c≤0；

∴a-（3-m）a-3ma≤0；且-3ma≤0；

解得：m≥-1且m≥0；

∴1＜m＜3；

当≥0时；

即m≥3；f（x）在-1＜x＜0上，y随x的增大而减小；

∴-1≤x≤0时；f（x）≤0恒成立；

只需f（-1）≤0即可；

∴a-b+c≤0；

∴a-（3-m）a-3ma≤0；

解得：m≥-1；

∴m≥3；

综上所述，m≥0时，当-1≤x≤0时，f（x）≤0恒成立．六、综合题(共3题，共6分)31、略

【分析】【分析】（1）首先构造二次函数：f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2++（anx+bn）2=（a12+a22++an2）x2+2（a1b1+a2b2++anbn）x+（b12+b22++bn2），由（a1x+b1）2+（a2x+b2）2++（anx+bn）2≥0，即可得f（x）≥0，可得△=4（a1b1+a2b2++anbn）2-4（a12+a22++an2）（b12+b22++bn2）≤0，整理即可证得：（a12+a22++an2）•（b12+b22++bn2）≥（a1•b1+a2•b2++an•bn）2；

（2）利用（1）可得：（1+4+9）（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2；又由x+2y+3z=6，整理求解即可求得答案；

（3）利用（1）可得：（2x2+y2+z2）（+1+1）≥（x+y+z）2，又由2x2+y2+z2=2；整理求解即可求得答案；

（4）因为当且仅当==时等号成立，即可得当且仅当x==时，x2+y2+z2取最小值，又由x+2y+3z=6，即可求得答案．【解析】【解答】解：（1）构造二次函数：f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2++（anx+bn）2=（a12+a22++an2）x2+2（a1b1+a2b2++anbn）x+（b12+b22++bn2）≥0；

∴△=4（a1b1+a2b2++anbn）2-4（a12+a22++an2）（b12+b22++bn2）≤0；

即：（a12+a22++an2）•（b12+b22++bn2）≥（a1•b1+a2•b2++an•bn）2；

当且仅当==时等号成立；

（2）根据（1）可得：（1+4+9）（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2；

∵x+2y+3z=6；

∴14（x2+y2+z2）≥36；

∴x2+y2+z2≥；

∴若x+2y+3z=6，则x2+y2+z2的最小值为；

（3）根据（1）可得：（2x2+y2+z2）（+1+1）≥（x+y+z）2；

∵2x2+y2+z2=2；

∴（x+y+z）2≤2×=5；

∴-≤x+y+z≤；

∴若2x2+y2+z2=2，则x+y+z的最大值为；

（4）∵当且仅当x==时，x2+y2+z2取最小值；

设x===k；

则x=k；y=2k，z=3k；

∵x+2y+3z=6；

∴k+4k+9k=6；

解得：k=；

∴当x2+y2+z2取最小值时，x=，y=，z=．32、略

【分析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；以及矩形性质得出∠AEF=60°，∠EAF=60°，即可得出答案；

（2）根据矩形的长为a，宽为b，可知时，一定能折出等边三角形，当＜b＜a时；不能折出；

（3）①由已知得出得到x2+8kx-8k=0，△=（8k）2+32k=32k（2k+1）；再分析k即可得出答案；

②得出Rt△EMO∽Rt△A′AD，进而得出，即可求出答案．【解析】【解答】解：（1）△AEF是等边三角形

证明：∵PE=PA；

B′P是RT△AB′E斜边上的中线

∴PA=B′P；

∴∠EAB′=∠PB′A；

又∵PN∥AD；

∴∠B′AD=∠PB′A；

又∵2∠EAB′+∠B′AD=90°；

∴∠EAB′=∠B′AD=