人教版八年级数学上册专题03-多边形及其内角和(解析版)

新人教部编版初中数学“活力课堂”精编试题PAGEPAGE1“活力课堂”初中数学教研组编专题03多边形及其内角和一、多边形1．下列选项中不是凸多边形的是(D)ABCD2．下列命题正确的是(D)A．各角都相等的多边形为正多边形B．各边都相等的多边形为正多边形C．经过n边形的一个顶点可引(n－2)条对角线D．正方形是正多边形3．如图11－3－1，五边形ABCDE是一个__凸__五边形，∠E是它的一个__内角__，∠FAE是它的一个__外角__，AD是它的一条__对角线__．图11－3－14．过四边形一个顶点的对角线可以把四边形分成两个三角形；过五边形的一个顶点的对角线有__2__条，可以把五边形分成__3__个三角形；过n边形的一个顶点的对角线有多少条，可以把n边形分成多少个三角形？(用含n的代数式表示)【解析】运用不完全归纳法，从特例出发，进行归纳和小结(如答图所示)．第4题答图多边形的边数四边形五边形六边形…n边形从一个顶点出发作对角线的条数123…n－3从一个顶点出发作对角线分三角形的个数234…n－2解：如答图，从n边形的一个顶点出发可以画(n－3)条对角线，它们把n边形分成(n－2)个三角形．5．若一个多边形从一个顶点可以引5条对角线，则它是(D)A．五边形 B．六边形C．七边形 D．八边形【解析】设它是n边形，则从一个顶点可以引(n－3)条对角线，∴n－3＝5，∴n＝8.6．从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个三角形，则n的值是(C)A．6 B．7C．8 D．9【解析】根据从一个n边形的某个顶点出发，可以引(n－3)条对角线，把n边形分为(n－2)个三角形，则n－2＝6，解得n＝8.7．Pn表示n边形的对角线的交点个数(指落在其内部的交点)，如果这些交点都不重合，那么Pn与n的关系式是Pn＝eq\f(n（n－1）,24)·(n2－an＋b)(其中a，b是常数，n≥4)．(1)通过画图，可得四边形时，P4＝__1__(填数字)；五边形时，P5＝__5__(填数字)；(2)请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求a，b的值．解：(1)如答图，第7题答图当n＝4时，P4＝1；当n＝5时，P5＝5；(2)将上述数值代入公式，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(4×（4－1）,24)×（16－4a＋b）＝1，①,\f(5×（5－1）,24)×（25－5a＋b）＝5，②))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝6.))8．你会用画多边形的对角线来解决生活中的数学问题吗？比如，学校举办足球赛，共有5个班级的足球队参加，每个队都要和其他各队比赛一场，最后根据积分排列名次．请问学校一共要安排多少场比赛？我们画出5个点，每个点各代表一个足球队，两个队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每个队都要与其他各队比赛一场，这样每个点与另外4个点都会有一条线段连接，如图11－3－2所示．现在我们只要数一数五边形的边数和它的对角线条数就可以了．由图可知，五边形的边数和对角线条数都是5，所以学校一共要安排10场比赛．同学们，请用类似的方法来解决下面的问题：姣姣、林林、可可、飞飞、红红和娜娜六人参加一次会议，见面时他们相互握手问好．已知姣姣已握了5次手，林林已握了4次手，可可已握了3次手，飞飞已握了2次手，红红握手1次，请推算出娜娜目前已和哪几个人握了手．图11－3－2第8题答图解：先画出6个点，A，B，C，D，E，F各个点依次代表姣姣、林林、可可、飞飞、红红和娜娜，凡是两人之间握过手，就把代表他们的这两点用一条线段连接起来，如答图所示．先看姣姣A和红红E，姣姣已握手5次，说明姣姣与另外5人都握了手，因此代表姣姣的A点与B，C，D，E，F这5点都有一条线段连接；红红握手1次，他只能是与姣姣握的手了，所以E点只能与A点之间有线段连接，与其他各点没有线段连接；然后看林林B，林林已握手4次，由于他不可能与红红握过手，所以只能是与剩下的四个人姣姣、可可、飞飞和娜娜握过手了，因此，点B与A，C，D，F四点之间有线段连接；再看飞飞D，飞飞已握手2次，而代表飞飞的D点已与A，B两点有线段连接了，所以D点与其他的点不再有线段连接；最后看可可C，可可与3人握了手，但不是与飞飞和红红握手，所以代表可可的点C只能与A，B，F三点有线段连接．现在观察图形，与代表娜娜的点F连接的线段有3条，即AF，BF和CF，这说明姣姣、林林和可可三人已与娜娜握了手．

二、多边形的内角和1．一个五边形的内角和为(A)A．540° B．450°C．360° D．180°2．一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是(C)A．12 B．13C．14 D．15【解析】设多边形的边数是n，据题意，得(n－2)×180°＝2×360°＋180°，解得n＝7.七边形的对角线的条数是eq\f(7×（7－3）,2)＝14.3．如图11－3－3，一个含60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2的度数为(C)图11－3－3A．120° B．180°C．240° D．300°【解析】∠1＋∠2＝360°－(180°－60°)＝240°.4．如图11－3－4，小华从A点出发，沿直线前进10m后左转24°，再沿直线前进10m，又向左转24°…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是(B)图11－3－4A．140m B．150mC．160m D．240m【解析】∵多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°，∴多边形的边数为360°÷24°＝15，∴一共走的路程是15×10＝150(m)．5．若正多边形的内角和是1080°，则该正多边的边数是__8__．6．若正多边形的每一个内角为135°，则这个正多边形的边数是__8__．7．一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是__720°__．8．一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是__8__．【解析】设边数为n，则(n－2)×180°＝360°×3，解得n＝8.9．通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形的内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是__540__°.【解析】由从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，可知将此多边形分成3个三角形，故其内角和为3×180°＝540°.10．如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是__180°或360°或540°__．【解析】如答图，一个正方形被截掉一个角后，可能得到如下的多边形：第10题答图∴这个多边形的内角和是180°或360°或540°.11．一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多180°，求这个多边形的边数及内角和度数．解：设这个多边形的边数为n.根据题意，得(n－2)×180°＝360°×4＋180°，解得n＝11，(n－2)×180°＝1620°.答：这个多边形的边数是11，内角和是1620°.12．已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，请说明理由；(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.解：(1)∵把θ＝360°代入公式可解得n＝4，而把θ＝630°代入公式解得n不是正整数，∴甲的说法对，乙的说法不对，甲同学说的边数n是4；(2)根据题意，得(n＋x－2)×180°－(n－2)×180°＝360°，解得x＝2.13．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为(D)A．7 B．7或8C．8或9 D．7或8或9【解析】设内角和为1080°的多边形的边数是n，则(n－2)×180°＝1080°，解得n＝8.∴原多边形的边数为7或8或9.14．边长相等的正五边形和正六边形如图11－3－5所示拼接在一起，则∠ABC＝__24__°.图11－3－5【解析】正六边形的一个内角＝eq\f(1,6)×(6－2)×180°＝120°.正五边形的一个内角＝eq\f(1,5)×(5－2)×180°＝108°.∴∠BAC＝360°－(120°＋108°)＝132°.∵两个正多边形的边长相等，即AB＝AC，∴∠ABC＝eq\f(1,2)×(180°－132°)＝24°.15．如图11－3－6，将一块正六边形硬纸片，做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒(侧面均垂直于底面，如图②)，需在每一个顶点处剪去一个四边形，如图①中的四边形AGA′H，那么∠GA′H的大小是__60°__．图11－3－6【解析】由题图可知A′H与A′G重合，纸盒的六个侧面均为矩形，即当∠A′HA＝∠A′GA＝90°时才能满足这个条件．∵∠A′HA＋∠A′GA＋∠HAG＋∠GA′H＝360°，6∠HAG＝(6－2)×180°＝720°，∴∠HAG＝120°，∴∠GA′H＝60°.16．如图11－3－7，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形．图11－3－7证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∴∠ABC＋∠ADC＝360°－180°＝180°，∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠CDF＋∠EBF＝90°，∵BE∥DF，∴∠EBF＝∠DFC，∴∠CDF＋∠DFC＝90°，∴△DCF为直角三角形．17．(1)阅读理解：如图11－3－8①是二环三角形，可得S＝∠A2A1A6＋∠A2＋…＋∠A6＝360°.图11－3－8①理由：连接A1A4，∵∠1＋∠2＋∠A1OA4＝180°，∠A5＋∠A6＋∠A5OA6＝180°，又∵∠A1OA4＝∠A5OA6，∴∠1＋∠2＝∠A5＋∠A6，∴∠A2＋∠3＋∠1＋∠2＋∠4＋∠A3＝360°，∴∠A2＋∠3＋∠A5＋∠A6＋∠4＋∠A3＝360°，即S＝360°；(2)延伸探究：图11－3－8②图11－3－8③Ⅰ.如图②是二环四边形，可得S＝∠A1＋∠A2＋…＋∠A8＝720°，请你加以证明；Ⅱ.如图③是二环五边形，可得S＝__1__080°__，聪明的你，请根据以上的规律直接写出二环n边形(n≥3的整数)中，S＝__(n－2)×360__°.(用含n的代数式表示最后的结果)解：(