2024-2025学年高中数学 第3章 导数及其应用 3.1 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念（教师用书）教学实录 新人教A版选修1-1

2024-2025学年高中数学第3章导数及其应用3.13.1.1变化率问题3.1.2导数的概念（教师用书）教学实录新人教A版选修1-1一、教学背景

授课内容：高中数学第3章导数及其应用3.13.1.1变化率问题3.1.2导数的概念

授课年级：高中一年级

教材版本：新人教A版选修1-1。

本节课主要引导学生理解变化率的概念，通过实际例子让学生感受导数在生活中的应用，进而引出导数的概念，为后续学习打下基础。通过讲解与练习，使学生掌握导数的基本概念、计算方法和应用。二、学情分析与内容规划

1.学情分析：学生已掌握基础的数学运算和函数知识，但对导数的概念及其在实际问题中的应用理解不够深入，缺乏将理论知识与实际问题结合的实践能力。

2.内容规划：依据教材内容，设计以下教学活动：

-通过实际生活中的变化率问题引入导数的概念，如速度、温度变化等。

-利用图形和图表，帮助学生直观理解导数与函数图像的关系。

-安排课堂讨论和小组活动，让学生通过合作解决问题，加深对导数概念的理解。

-设计练习题，巩固导数的计算方法和应用，包括求导数、利用导数分析函数的单调性等。三、教学内容分析

1.主题内容：本节课的主题内容是导数的基本概念及其在变化率问题中的应用。具体包括理解导数的定义、导数的几何意义、导数与函数单调性的关系，以及如何利用导数解决实际问题。

2.重点难点：

-重点：

-导数的定义：通过极限的概念引入导数，使学生理解导数是函数在某一点上变化率的极限。

-导数的几何意义：引导学生理解导数在函数图像上表示的是切线的斜率。

-导数的计算方法：掌握基本函数的导数公式和求导法则，如幂函数、指数函数、对数函数的导数。

-导数的应用：利用导数分析函数的单调性、极值点等性质，解决物理、经济等领域的实际问题。

-难点：

-导数定义的数学表达：极限的概念较为抽象，学生可能难以理解导数定义中的极限过程。

-导数与函数图像的关系：需要学生具备一定的空间想象能力，将导数与函数图像结合起来理解。

-复杂函数的求导：对于复合函数、隐函数等的求导，需要学生熟练掌握求导法则和技巧。

-实际问题的建模与求解：将导数应用于实际问题中，需要学生具备一定的建模能力和逻辑思维能力。四、教学方法与手段

1.教学方法：

-讲授法：系统地介绍导数的概念、性质和应用，确保学生理解基本理论。

-案例分析法：通过分析具体案例，如速度与时间的关系，让学生直观感受导数的实际意义。

-互动讨论法：组织课堂讨论，鼓励学生提出问题并参与解答，增强学生的参与感和探究能力。

2.教学手段：

-多媒体演示：使用PPT展示导数的定义、计算过程和函数图像，增强视觉效果。

-教学软件：利用数学软件进行实时计算和图形绘制，帮助学生更好地理解导数的几何意义。

-网络资源：引入在线教育资源，如视频讲座、模拟实验等，丰富教学内容，提高学习兴趣。五、教学实施过程

1.导入新课

-方式：通过呈现一个与导数相关的实际情境，如物体自由落体的速度变化问题，引发学生的兴趣。

-目的：让学生初步感受导数在描述实际问题时的重要性，为学习导数的概念打下基础。

2.讲授新知

-概念讲解：详细讲解导数的定义，使用极限的概念引入导数，并通过函数图像解释导数的几何意义。

-举例：通过计算直线运动中速度随时间变化的导数，让学生理解导数是变化率的具体体现。

-演绎推理：介绍导数的计算法则，如幂函数的导数、乘积的导数等，通过具体函数的求导过程演示推理过程。

-举例：求函数f(x)=x^2的导数，解释导数f'(x)=2x的含义。

-归纳推理：讲解导数在不同类型函数中的应用，引导学生归纳总结导数的通用性质。

-举例：分析多个函数的导数，归纳出导数的基本运算法则。

-逻辑谬误：指出在导数学习中常见的错误，如忽略导数定义域的问题，帮助学生识别并避免这些错误。

-举例：讨论当函数在点x=0处不可导时，如何正确理解和处理。

3.巩固练习

-课堂练习：设计一些求导数的练习题，让学生独立完成，以检验他们对导数概念的理解。

-举例：求多项式函数、指数函数和对数函数的导数。

-小组讨论：组织学生就导数在实际问题中的应用进行分组讨论，鼓励学生分享彼此的想法。

-举例：讨论导数在物理、经济学等领域的应用案例。

4.深化理解

-案例分析：通过分析物理运动中的加速度问题，让学生运用导数的概念解释实际问题。

-举例：分析物体在重力作用下加速下落的过程，使用导数描述加速度的变化。

-辩论活动：组织学生就导数在解决问题中的必要性进行辩论，锻炼学生的逻辑思维和论证能力。

-举例：辩论“导数在高中数学教育中的重要性”。

5.课堂总结

-知识梳理：对本节课的知识点进行梳理和总结，强调导数的定义、计算法则和应用。

-学生反馈：鼓励学生分享自己在课堂上的收获，提出在理解导数概念时遇到的困难和疑问，共同探讨解决方案。六、教学反思

这节课通过实际情境引入导数的概念，学生参与度较高，对导数的理解有了直观感受。但在讲授过程中，我发现部分学生对极限的概念还是感到困惑，需要在今后的教学中加强对极限概念的讲解和练习。另外，小组讨论环节学生的互动积极性不如预期，我会在下次课尝试更多的互动方式，如角色扮演或小组竞赛，来提高学生的参与度。课堂总结时，学生反馈的内容让我意识到，对于导数应用的拓展，我还需要提供更多实际案例，帮助学生深化理解。七、作业布置与反馈

作业布置：

亲爱的同学们，为了帮助大家更好地巩固今天所学的导数知识，我为大家布置以下作业：

1.请同学们完成教材第三章第1节练习题中的第1、2、3、5题。这些题目涉及导数的定义、计算方法和应用，通过练习可以加深对导数概念的理解。

2.选择一道你认为最具挑战性的题目进行深入研究和解答，明天课堂上与大家分享你的思考和过程。

3.观察生活中的现象，尝试用导数的概念解释一个实际问题，写下你的观察和思考。

4.阅读教材第三章第2节的内容，提前预习导数与函数图像的关系，为下节课做好准备。

作业反馈：

我已经批改了大家提交的作业，以下是对大家作业的整体反馈：

1.绝大多数同学能够按照要求完成作业，字迹工整，解题过程清晰。

2.在计算导数时，一些同学忽略了导数的定义域，导致部分题目的解答不完整。请大家务必注意导数的定义域，这是解题的重要一环。

3.在解答应用题时，部分同学未能将实际问题抽象成数学模型，导致解题过程偏离了正确方向。建议大家在解答这类题目时，先理解问题的背景，再逐步建立数学模型。

-第1题：大多数同学能够正确计算导数，但请注意在计算过程中保持解答过程的简洁和条理。

-第2题：部分同学在求解复合函数导数时，未能正确运用链式法则。请复习相关内容，确保掌握复合函数导数的计算方法。

-第3题：一些同学在解答过程中，未能准确理解导数与函数单调性的关系。请结合教材内容，加深对这一关系的理解。

-第5题：这是一道应用题，部分同学未能从实际问题中抽象出导数的概念。建议在解答这类题目时，先画图表示，再建立数学模型。

针对以上反馈，我给大家以下改进建议：

1.加强对导数定义的理解，注意导数的定义域。

2.在解答应用题时，先理解问题的背景，再逐步建立数学模型。

3.复习教材相关内容，确保掌握导数的计算方法和应用。

4.多与同学讨论和交流，共同进步。

最后，希望大家能够认真对待每次作业，通过不断的练习和反思，提高自己的数学素养。我相信，只要我们努力，就一定能够在数学学习的道路上取得更好的成绩！八、教学资源与支持

1.多媒体资源：

-视频：收集与导数相关的教学视频，如物体自由落体运动的速度和加速度变化过程，用以导入新课并直观展示导数在实际问题中的应用。

-图片：准备函数图像和导数图像的对比图，帮助学生理解导数的几何意义，如切线的斜率。

-音频：录制导数定义和计算法则的讲解音频，供学生复习时使用。

2.阅读材料：

-教材延伸阅读：选择教材中与导数相关的拓展阅读材料，如导数在物理、工程和经济中的应用案例，帮助学生从不同角度理解导数的应用。

-学术论文摘要：挑选一些适合高中生阅读的数学学术论文摘要，让学生了解导数在学术研究中的应用。

3.在线工具：

-在线计算器：提供在线计算器链接，方便学生进行导数的计算和验证。

-数学软件：推荐使用数学软件如GeoGebra，让学生通过互动方式探索导数与函数图像的关系。

-教学平台：利用教学平台上的资源库，如练习题库、互动测试等，为学生提供更多练习机会。

4.辅助教学资源：

-导数公式卡片：设计包含基本导数公式和法则的卡片，供学生在复习时快速查阅。

-错题集锦：整理学生在作业和测试中常见的错误类型，制作成错题集锦，帮助学生识别和纠正错误。

-学习指导手册：编写学习指导手册，包含导数的学习策略、解题技巧和常见问题解答。

5.教师支持：

-教师邮箱：提供教师邮箱地址，供学生提问和反馈学习情况，教师会及时回复。

-办公时间：公布教师的办公时间，鼓励学生在此时间内到办公室进行一对一辅导。

-家长沟通：定期与家长沟通学生的学习情况，共同关注学生的进步和问题。

6.同伴互助：

-学习小组：鼓励学生组成学习小组，相互帮助，共同解决学习中遇到的问题。

-学长学姐辅导：邀请高年级的学长学姐分享学习经验，为低年级学生提供辅导。九、教学评估与改进

1.教学评估

内容：

这学期的导数教学已经进行了一段时间，我通过课堂表现、作业完成情况、随堂测试和学生的反馈来评估教学效果。从目前的情况来看，大部分学生对导数的概念有了基本的理解，能够完成基本的导数计算和应用题。但是在深入理解和应用方面，部分学生还存在一定的困难，比如在处理复合函数求导和实际问题时，他们的表现不够理想。此外，从学生的作业和测试中，我发现一些学生对导数与函数图像关系的理解不够深刻，需要进一步的指导和练习。

2.教学改进

内容：

针对上述评估中发现的不足，我将采取以下措施进行教学改进：

-强化基础概念：我计划在课堂上花更多的时间来回顾和巩固导数的基础概念，确保所有学生都能够掌握导数的定义、性质和基本计算方法。

-设计针对性练习：我会根据学生的学习情况，设计不同难度的练习题，特别是针对复合函数求导和实际问题解决的练习，以帮助学生提高他们的应用能力。

-利用多媒体辅助教学：我计划制作更多的多媒体教学材料，如动画演示导数与函数图像的关系，以及实际问题的建模过程，使抽象的概念更加直观易懂。

-开展小组合作学习：我会鼓励学生进行小组合作学习，通过团队合作解决更复杂的问题，同时也能够促进学生之间的交流和