中考数学二轮复习压轴题培优专练专题20 分类讨论思想在压轴题中的应用（原卷版）

专题20分类讨论思想在压轴题中的应用分类讨论思想是一个非常重要的数学思想，在中考数学压轴题中考查频繁，例如在解决中考压轴题中的存在性问题时，要用到分类讨论思想：1.在解决等腰三角形存在性问题时，需要讨论腰和底的多种情况；2.在解决直角三角形存在性问题时，需要对直角的情况进行讨论；3.在解决平行四边形和矩形、菱形、正方形的存在性时，需要对邻边或对边的情况进行讨论；4.在解决相似三角形存在性问题时，需要对对应边和对应角进行分类讨论；5.压轴题中其他的问题，例如线段的数量和位置关系等，有时也需要进行分类讨论。 （2022·辽宁阜新·统考中考真题）如图，已知二次函数SKIPIF1<0的图像交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0．(1)求这个二次函数的表达式；(2)如图SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0从点SKIPIF1<0出发，以每秒SKIPIF1<0个单位长度的速度沿线段SKIPIF1<0向点SKIPIF1<0运动，点SKIPIF1<0从点SKIPIF1<0出发，以每秒SKIPIF1<0个单位长度的速度沿线段SKIPIF1<0向点SKIPIF1<0运动，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0同时出发．设运动时间为SKIPIF1<0秒（SKIPIF1<0）．当SKIPIF1<0为何值时，SKIPIF1<0的面积最大？最大面积是多少？(3)已知SKIPIF1<0是抛物线上一点，在直线SKIPIF1<0上是否存在点SKIPIF1<0，使以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点SKIPIF1<0坐标；若不存在，请说明理由．（1）用待定系数法可求得二次函数的表达式为；（2）过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0面积为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即得SKIPIF1<0，由二次函数性质可得当SKIPIF1<0秒时，SKIPIF1<0的面积最大，求得其最大面积；（3）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得直线SKIPIF1<0解析式为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分三种情况进行讨论求解．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的面积最大，最大面积是SKIPIF1<0(3)存在，SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【详解】（1）将点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0中，得SKIPIF1<0，解这个方程组得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0二次函数的表达式为SKIPIF1<0；（2）过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，如图：设SKIPIF1<0面积为SKIPIF1<0，根据题意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的面积最大，最大面积是SKIPIF1<0；（3）存在点SKIPIF1<0，使以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得直线SKIPIF1<0解析式为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是对角线，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点重合，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合，舍去SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为对角线，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点重合，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0舍去SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为对角线，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点重合，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，综上所述，SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平行四边形的性质及应用，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度．（2022·湖南湘潭·统考中考真题）已知抛物线SKIPIF1<0．(1)如图①，若抛物线图象与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0轴交点SKIPIF1<0．连接SKIPIF1<0．①求该抛物线所表示的二次函数表达式；②若点SKIPIF1<0是抛物线上一动点（与点SKIPIF1<0不重合），过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，与线段SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0．是否存在点SKIPIF1<0使得点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的三等分点？若存在，请求出点SKIPIF1<0的坐标；若不存在，请说明理由．(2)如图②，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，同时与抛物线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，以线段SKIPIF1<0为边作菱形SKIPIF1<0，使点SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0轴的正半轴上，若该抛物线与线段SKIPIF1<0没有交点，求SKIPIF1<0的取值范围．（1）①直接用待定系数法求解；②先求出直线AB的解析式，设点M(m，m-3)点P（m，m2-2m-3）若点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的三等分点，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，代入求解即可；（2）先用待定系数法求出n的值，再利用勾股定理求出CD的长为5，因为四边形CDFE是菱形，由此得出点E的坐标．再根据该抛物线与线段SKIPIF1<0没有交点，分两种情况（CE在抛物线内和CE在抛物线右侧）进行讨论，求出b的取值范围．【答案】(1)①SKIPIF1<0，②存在，点P坐标为(2，-3)或（SKIPIF1<0，-SKIPIF1<0），理由见解析(2)b<SKIPIF1<0或b>SKIPIF1<0【详解】（1）①解：把SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0②解：存在，理由如下，设直线AB的解析式为y=kx+b，把SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴直线AB的解析式为y=x-3，设点M(m，m-3)、点P（m，m2-2m-3）若点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的三等分点，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得：m=2或m=SKIPIF1<0或m=3，经检验，m=3是原方程的增根，故舍去，∴m=2或m=SKIPIF1<0∴点P坐标为(2，-3)或（SKIPIF1<0，-SKIPIF1<0）（2）解：把点D（-3，0）代入直线SKIPIF1<0，解得n=4，∴直线SKIPIF1<0，当x=0时，y=4，即点C（0，4）∴CD=SKIPIF1<0=5，∵四边形CDFE是菱形，∴CE=EF=DF=CD=5，∴点E（5，4）∵点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，∴（-3）2-3b+c=0，∴c=3b-9，∴SKIPIF1<0，∵该抛物线与线段SKIPIF1<0没有交点，分情况讨论当CE在抛物线内时52+5b+3b-9<4解得：b<SKIPIF1<0当CE在抛物线右侧时，3b-9>4解得：b>SKIPIF1<0综上所述，b<SKIPIF1<0或b>SKIPIF1<0此题考查了二次函数和一次函数以及图形的综合，解题的关键是数形结合和分情况讨论．1．（2023·安徽宿州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别落在x轴和y轴上，将SKIPIF1<0绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点F，反比例函数SKIPIF1<0的图象经过点F，交SKIPIF1<0于点G．(1)求k的值．(2)连接SKIPIF1<0，则图中是否存在与SKIPIF1<0相似的三角形？若存在，请把它们一一找出来，并选其中一种进行证明；若不存在，请说明理由．(3)点M在直线SKIPIF1<0上，N是平面内一点，当四边形SKIPIF1<0是正方形时，请直接写出点N的坐标．2．（2022·河南郑州·河南省实验中学校考模拟）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0上一点，连SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，交于点SKIPIF1<0．(1)如图1，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点在线段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0；(2)如图2，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(3)如图3，若SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，将线段SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0逆时针旋转到SKIPIF1<0，并且使得SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，直接写出SKIPIF1<0=______．3．（2022·吉林长春·模拟）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．点P从点B出发，沿SKIPIF1<0以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿折线SKIPIF1<0以每秒5个单位长度的速度运动，到达点A时，点Q停止1秒，然后继续运动．分别连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．设点P的运动时间为t秒．(1)求点A与SKIPIF1<0之间的距离；(2)当SKIPIF1<0时，求t的值；(3)当SKIPIF1<0为钝角三角形时，求t的取值范围；(4)点P关于直线SKIPIF1<0的对称点是点D，连接SKIPIF1<0，当线段SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的某条边平行时，直接写出t的值．4．（2022·浙江金华·一模）如图，在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点C的坐标为SKIPIF1<0，点D从原点O出发沿SKIPIF1<0匀速运动，到达点B时停止，点E从点A出发沿SKIPIF1<0随D运动，且始终保持SKIPIF1<0．设运动时间为t．(1)当SKIPIF1<0时，求证：SKIPIF1<0．(2)若点E在BC边上，当SKIPIF1<0为等腰三角形时，求BE的长．(3)若点D的运动速度为每秒1个单位，是否存在这样的t，使得以点C，D，E为顶点的三角形与SKIPIF1<0相似?若存在，直接写出所有符合条件的t；若不存在，请说明理由．5．（2022·重庆·模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线SKIPIF1<0交x轴于点A和C（1，0），交y轴于点B（0，3），抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F．(1)求抛物线的解析式；(2)将线段OE绕着点O沿顺时针方向旋转得到线段SKIPIF1<0，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值；(3)M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由．6．（2022·广东佛山·校考三模）已知抛物线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点A，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的左侧），交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0．(1)求点A的坐标；(2)若经过点A的直线SKIPIF1<0交抛物线于点SKIPIF1<0．①当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时SKIPIF1<0交线段SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值；②当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，设SKIPIF1<0为抛物线对称轴上一动点，点SKIPIF1<0是抛物线上的动点，那么以A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0