中考数学二轮复习压轴题培优专练专题02 利用圆的性质进行求解的问题（原卷版）

专题02利用圆的性质进行求解的问题圆在压轴题中考查综合性比较强，常与二次函数、全等三角形以及相似三角形结合进行考查，本专题中重点侧重压轴题中对圆的性质的考查部分，需要考生熟练掌握与圆有关的性质。圆有关的性质：1．圆的对称性：圆既是轴对称图形有时中心对称图形。2．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．3．垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．4．圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。5．圆心角、弧、弦的关系定理推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。6．圆周角定理定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．7．圆周角定理的推论：推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。推论2：直径所对的圆周角是直角．8．点与圆的位置关系：设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．9．直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交公共点个数0个1个2个数量关系d>rd=rd<r10．切线的性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于圆的半径；切线垂直于经过切点的半径。11．切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义）；（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。12．三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等。13．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形；内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等。14．正多边形的有关概念（1）正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；（2）正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径；（3）正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角；（4）正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。15．弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l=SKIPIF1<0；扇形的面积S=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．16．圆锥与侧面展开图（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长。（2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，圆锥的侧面积为S圆锥侧=SKIPIF1<0．圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·（l+r）． （2022·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，点A，点B是SKIPIF1<0上的两个点，连接SKIPIF1<0，点D，点E分别是半径SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)如图1，求证：SKIPIF1<0；(2)如图2，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点F，若SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0；(3)如图3，在（2）的条件下，点G是SKIPIF1<0上一点，连接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．（1）根据SAS证明SKIPIF1<0即可得到结论；（2）证明SKIPIF1<0即可得出结论；（3）先证明SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上取点M，使得SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0为等边三角形，得SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0可求出SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过点H作SKIPIF1<0于点N，求出SKIPIF1<0，再证SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0可得结论．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)SKIPIF1<0【详解】（1）如图1．∵点D，点E分别是半径SKIPIF1<0的中点∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）如图2．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0由（1）得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（3）如图3．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0连接SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上取点M，使得SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为等边三角形∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，过点H作SKIPIF1<0于点NSKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及解直角三角形等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．（2022·浙江温州·统考中考真题）如图1，SKIPIF1<0为半圆O的直径，C为SKIPIF1<0延长线上一点，SKIPIF1<0切半圆于点D，SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0延长线于点E，交半圆于点F，已知SKIPIF1<0．点P，Q分别在线段SKIPIF1<0上（不与端点重合），且满足SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0．(1)求半圆O的半径．(2)求y关于x的函数表达式．(3)如图2，过点P作SKIPIF1<0于点R，连结SKIPIF1<0．①当SKIPIF1<0为直角三角形时，求x的值．②作点F关于SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0上时，求SKIPIF1<0的值．（1）连接OD，设半径为r，利用SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，代入计算即可；（2）根据CP=AP十AC，用含x的代数式表示AP的长，再由（1）计算求AC的长即可；（3）①显然SKIPIF1<0，所以分两种情形，当SKIPIF1<0时，则四边形RPQE是矩形，当∠PQR＝90°时，过点P作PH⊥BE于点H，则四边形PHER是矩形，分别根据图形可得答案；②连接SKIPIF1<0，由对称可知SKIPIF1<0，利用三角函数表示出SKIPIF1<0和BF的长度，从而解决问题．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)①SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0【详解】（1）解：如图1，连结SKIPIF1<0．设半圆O的半径为r．∵SKIPIF1<0切半圆O于点D，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即半圆O的半径是SKIPIF1<0．（2）由（1）得：SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（3）①显然SKIPIF1<0，所以分两种情况．ⅰ）当SKIPIF1<0时，如图2．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0为矩形，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．ⅱ）当SKIPIF1<0时，过点P作SKIPIF1<0于点H，如图3，则四边形SKIPIF1<0是矩形，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．综上所述，x的值是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．②如图4，连结SKIPIF1<0，由对称可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵BE⊥CE，PR⊥CE，∴PR∥BE，∴∠EQR=∠PRQ，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴EQ=3-x，∵PR∥BE，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，解得：CR=x+1，∴ER=EC-CR=3-x，即：EQ=ER∴∠EQR=∠ERQ=45°，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，

∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0是半圆O的直径，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．本题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，三角函数等知识，利用三角函数表示各线段的长并运用分类讨论思想是解题的关键．（2022·浙江舟山·中考真题）如图1．在正方形SKIPIF1<0中，点F，H分别在边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，连结SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于点E，已知SKIPIF1<0．(1)线段SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直吗？请说明理由．(2)如图2，过点A，H，F的圆交SKIPIF1<0于点P，连结SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点K．求证：SKIPIF1<0．(3)如图3，在（2）的条件下，当点K是线段SKIPIF1<0的中点时，求SKIPIF1<0的值．（1）证明SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），得到SKIPIF1<0，进一步得到SKIPIF1<0，由△CFH是等腰三角形，结论得证；（2）过点K作SKIPIF1<0于点G．先证△AKG∽△ACB，得SKIPIF1<0，证△KHG∽CHB可得SKIPIF1<0，结论得证；（3）过点K作SKIPIF1<0点G．求得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则KG＝AG＝GB＝3a，则SKIPIF1<0，勾股定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可得到答案．【答案】(1)SKIPIF1<0，见解析；(2)见解析；(3)SKIPIF1<0【详解】（1）证明：∵四边形SKIPIF1<0是正方形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），∴SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0∴△CFH是等腰三角形，∴SKIPIF1<0．（2）证明：如图1，过点K作SKIPIF1<0于点G．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（3）解：如图2，过点K作SKIPIF1<0点G．∵点K为SKIPIF1<0中点：由（2）得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．此题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形全等的判定定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．1．（2022·浙江温州·温州市第三中学校考模拟）如图，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，弦SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一动点（不与点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0重合），以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为边构造平行四边形SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0．(2)当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切时，求SKIPIF1<0的长．(3)①当SKIPIF1<0中有一个角与SKIPIF1<0相等时，求SKIPIF1<0的长．②若点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0的内部（不包括SKIPIF1<0的边界），求SKIPIF1<0的取值范围（直接写出答案）．2．（2022·浙江宁波·校考一模）等腰三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且内接于圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0上两点（SKIPIF1<0在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之间），分别延长SKIPIF1<0、SKIPIF1<0交圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点（如图SKIPIF1<0），记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的大小（用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示）；(2)连接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0（如图SKIPIF1<0），若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0；(3)在（2）的条件下，取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0（如图SKIPIF1<0），若SKIPIF1<0，①求证：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②请直接写出SKIPIF1<0的值．3．（2022·河北邯郸·校考三模）如图1，菱形ABCD的边长为12cm，∠B＝60°，M，N分别在边AB，CD．上，AM＝3cm，DN＝4cm，点P从点M出发，沿折线MB﹣BC以1cm/s的速度向点C匀速运动（不与点C重合）；△APC的外接圆⊙O与CD相交于点E，连接PE交AC于点F．设点P的运动时间为ts．(1)∠APE＝°；(2)若⊙O与AD相切，①判断⊙O与CD的位置关系；②求SKIPIF1<0的长；(3)如图3，当点P在BC上运动时，求CF的最大值，并判断此时PE与AC的位置关系；(4)若点N在⊙O的内部，直接写出t的取值范围．4．（2022·上海杨浦·统考二模）已知在扇形SKIPIF1<0中，点C、D是SK