中考数学二轮复习压轴题培优专练专题02 利用圆的性质进行求解的问题（解析版）

专题02利用圆的性质进行求解的问题圆在压轴题中考查综合性比较强，常与二次函数、全等三角形以及相似三角形结合进行考查，本专题中重点侧重压轴题中对圆的性质的考查部分，需要考生熟练掌握与圆有关的性质。圆有关的性质：1．圆的对称性：圆既是轴对称图形有时中心对称图形。2．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．3．垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．4．圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。5．圆心角、弧、弦的关系定理推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。6．圆周角定理定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．7．圆周角定理的推论：推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。推论2：直径所对的圆周角是直角．8．点与圆的位置关系：设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．9．直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交公共点个数0个1个2个数量关系d>rd=rd<r10．切线的性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于圆的半径；切线垂直于经过切点的半径。11．切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义）；（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。12．三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等。13．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形；内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等。14．正多边形的有关概念（1）正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；（2）正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径；（3）正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角；（4）正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。15．弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l=SKIPIF1<0；扇形的面积S=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．16．圆锥与侧面展开图（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长。（2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，圆锥的侧面积为S圆锥侧=SKIPIF1<0．圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·（l+r）． （2022·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，点A，点B是SKIPIF1<0上的两个点，连接SKIPIF1<0，点D，点E分别是半径SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)如图1，求证：SKIPIF1<0；(2)如图2，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点F，若SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0；(3)如图3，在（2）的条件下，点G是SKIPIF1<0上一点，连接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．（1）根据SAS证明SKIPIF1<0即可得到结论；（2）证明SKIPIF1<0即可得出结论；（3）先证明SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上取点M，使得SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0为等边三角形，得SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0可求出SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过点H作SKIPIF1<0于点N，求出SKIPIF1<0，再证SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0可得结论．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)SKIPIF1<0【详解】（1）如图1．∵点D，点E分别是半径SKIPIF1<0的中点∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）如图2．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0由（1）得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（3）如图3．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0连接SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上取点M，使得SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为等边三角形∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，过点H作SKIPIF1<0于点NSKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及解直角三角形等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．（2022·浙江温州·统考中考真题）如图1，SKIPIF1<0为半圆O的直径，C为SKIPIF1<0延长线上一点，SKIPIF1<0切半圆于点D，SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0延长线于点E，交半圆于点F，已知SKIPIF1<0．点P，Q分别在线段SKIPIF1<0上（不与端点重合），且满足SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0．(1)求半圆O的半径．(2)求y关于x的函数表达式．(3)如图2，过点P作SKIPIF1<0于点R，连结SKIPIF1<0．①当SKIPIF1<0为直角三角形时，求x的值．②作点F关于SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0上时，求SKIPIF1<0的值．（1）连接OD，设半径为r，利用SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，代入计算即可；（2）根据CP=AP十AC，用含x的代数式表示AP的长，再由（1）计算求AC的长即可；（3）①显然SKIPIF1<0，所以分两种情形，当SKIPIF1<0时，则四边形RPQE是矩形，当∠PQR＝90°时，过点P作PH⊥BE于点H，则四边形PHER是矩形，分别根据图形可得答案；②连接SKIPIF1<0，由对称可知SKIPIF1<0，利用三角函数表示出SKIPIF1<0和BF的长度，从而解决问题．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)①SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0【详解】（1）解：如图1，连结SKIPIF1<0．设半圆O的半径为r．∵SKIPIF1<0切半圆O于点D，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即半圆O的半径是SKIPIF1<0．（2）由（1）得：SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（3）①显然SKIPIF1<0，所以分两种情况．ⅰ）当SKIPIF1<0时，如图2．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0为矩形，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．ⅱ）当SKIPIF1<0时，过点P作SKIPIF1<0于点H，如图3，则四边形SKIPIF1<0是矩形，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．综上所述，x的值是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．②如图4，连结SKIPIF1<0，由对称可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵BE⊥CE，PR⊥CE，∴PR∥BE，∴∠EQR=∠PRQ，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴EQ=3-x，∵PR∥BE，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，解得：CR=x+1，∴ER=EC-CR=3-x，即：EQ=ER∴∠EQR=∠ERQ=45°，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，

∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0是半圆O的直径，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．本题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，三角函数等知识，利用三角函数表示各线段的长并运用分类讨论思想是解题的关键．（2022·浙江舟山·中考真题）如图1．在正方形SKIPIF1<0中，点F，H分别在边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，连结SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于点E，已知SKIPIF1<0．(1)线段SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直吗？请说明理由．(2)如图2，过点A，H，F的圆交SKIPIF1<0于点P，连结SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点K．求证：SKIPIF1<0．(3)如图3，在（2）的条件下，当点K是线段SKIPIF1<0的中点时，求SKIPIF1<0的值．（1）证明SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），得到SKIPIF1<0，进一步得到SKIPIF1<0，由△CFH是等腰三角形，结论得证；（2）过点K作SKIPIF1<0于点G．先证△AKG∽△ACB，得SKIPIF1<0，证△KHG∽CHB可得SKIPIF1<0，结论得证；（3）过点K作SKIPIF1<0点G．求得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则KG＝AG＝GB＝3a，则SKIPIF1<0，勾股定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可得到答案．【答案】(1)SKIPIF1<0，见解析；(2)见解析；(3)SKIPIF1<0【详解】（1）证明：∵四边形SKIPIF1<0是正方形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），∴SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0∴△CFH是等腰三角形，∴SKIPIF1<0．（2）证明：如图1，过点K作SKIPIF1<0于点G．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（3）解：如图2，过点K作SKIPIF1<0点G．∵点K为SKIPIF1<0中点：由（2）得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．此题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形全等的判定定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．1．（2022·浙江温州·温州市第三中学校考模拟）如图，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，弦SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一动点（不与点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0重合），以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为边构造平行四边形SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0．(2)当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切时，求SKIPIF1<0的长．(3)①当SKIPIF1<0中有一个角与SKIPIF1<0相等时，求SKIPIF1<0的长．②若点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0的内部（不包括SKIPIF1<0的边界），求SKIPIF1<0的取值范围（直接写出答案）．【答案】(1)见详解；(2)SKIPIF1<0；(3)①3②SKIPIF1<0【分析】（1）连接SKIPIF1<0，由垂径定理可知SKIPIF1<0，进而证明SKIPIF1<0；再由SKIPIF1<0，可证明SKIPIF1<0，然后由“平行四边形对角相等”即可证明SKIPIF1<0；（2）连接SKIPIF1<0并延长，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，首先证明SKIPIF1<0，由全等三角形的性质可知SKIPIF1<0，再结合垂径定理即可求得SKIPIF1<0的长；（3）①连接SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0半径为SKIPIF1<0，由勾股定理可解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由圆内接四边形的性质可知SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0点，即SKIPIF1<0、SKIPIF1<0重合时，此时SKIPIF1<0，再证明SKIPIF1<0，由相似三角形的性质可解得SKIPIF1<0，即当SKIPIF1<0中有一个角与SKIPIF1<0相等时，即当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的长为3；②若点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0的内部（不包括SKIPIF1<0的边界），可分别计算出当SKIPIF1<0落在边SKIPIF1<0上时和当SKIPIF1<0落在边SKIPIF1<0上时SKIPIF1<0的长，即可获得答案．【详解】（1）证明：如下图，连接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵四边形SKIPIF1<0为平行四边形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）如下图，连接SKIPIF1<0并延长，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切，∵SKIPIF1<0为SKIPIF1<0半径，∴SKIPIF1<0，∵四边形SKIPIF1<0为平行四边形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）①连接SKIPIF1<0，如下图，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0中，由勾股定理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0中，由勾股定理可得SKIPIF1<0；∵四边形SKIPIF1<0内接于SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0点，即SKIPIF1<0、SKIPIF1<0重合时，如下图，此时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0中有一个角与SKIPIF1<0相等时，即当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的长为3；②若点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0的内部（不包括SKIPIF1<0的边界），则SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0，理由如下：当SKIPIF1<0落在边SKIPIF1<0上时，如下图，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，∵点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的对称，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵四边形SKIPIF1<0为平行四边形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0经过圆心SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0落在边SKIPIF1<0上时，如下图，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，∵点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的对称，由轴对称的性质可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵四边形SKIPIF1<0为平行四边形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0为菱形，∴SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∵四边形SKIPIF1<0为菱形，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．综上所述，若点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0的内部（不包括SKIPIF1<0的边界），则SKIPIF1<0的取值范围为：SKIPIF1<0．2．（2022·浙江宁波·校考一模）等腰三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且内接于圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0上两点（SKIPIF1<0在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之间），分别延长SKIPIF1<0、SKIPIF1<0交圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点（如图SKIPIF1<0），记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的大小（用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示）；(2)连接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0（如图SKIPIF1<0），若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0；(3)在（2）的条件下，取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0（如图SKIPIF1<0），若SKIPIF1<0，①求证：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②请直接写出SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)证明见解析；(3)①证明见解析；②SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【分析】（1）如图SKIPIF1<0中，连接SKIPIF1<0，利用同弧或等弧所对的圆周角相等即可求出SKIPIF1<0的大小；（2）利用同弧或等弧所对的圆周角相等，可证SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，进而得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可证明结论；（3）①如图SKIPIF1<0中，连接SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0，推出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再证明SKIPIF1<0，得到中位线SKIPIF1<0，即可证明结论；SKIPIF1<0连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，利用勾股定理求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间的关系，即可得到答案．【详解】（1）解：如图SKIPIF1<0中，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）解：证明：如图SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（3）解：①证明：如图SKIPIF1<0中，连接SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直径，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中位线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0解：连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中位线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．3．（2022·河北邯郸·校考三模）如图1，菱形ABCD的边长为12cm，∠B＝60°，M，N分别在边AB，CD．上，AM＝3cm，DN＝4cm，点P从点M出发，沿折线MB﹣BC以1cm/s的速度向点C匀速运动（不与点C重合）；△APC的外接圆⊙O与CD相交于点E，连接PE交AC于点F．设点P的运动时间为ts．(1)∠APE＝°；(2)若⊙O与AD相切，①判断⊙O与CD的位置关系；②求SKIPIF1<0的长；(3)如图3，当点P在BC上运动时，求CF的最大值，并判断此时PE与AC的位置关系；(4)若点N在⊙O的内部，直接写出t的取值范围．【答案】(1)60°(2)①⊙O与CD相切；②SKIPIF1<0(3)CF的最大值为3cm，此时AC⊥PE(4)当0<t<1时或17<t<21时，点N在圆内部；【分析】（1）根据菱形的性质易证△ACD为等边三角形，根据同弧所对的圆周角相等即可得到∠APE的度数；（2）①先找出⊙O与AD相切时的情况，根据切线长定理即可证明⊙O与CD相切；②根据切线长定理和菱形的性质，可求得圆的半径，根据弧长公式即可求解；（3）要使CF取得最大值，则AF应该取最小值，当AC⊥PE时，AF最小，此时CF取得最大值，求出即可；（4）分两种情况进行讨论，当P在AB上时和当点P在BC上时．【详解】（1）解：∵四边形ABCD为菱形，∠B＝60°，∴∠D=∠B＝60°，AD=CD，∴△ACD为等边三角形，∴∠ACE=60°，∴∠APE=∠ACE=60°，故答案为：60°．（2）如图，当点P运动到点B时，⊙O与AD相切，①∵四边形ABCD为菱形，∴AD=CD，∵⊙O与AD相切，∴⊙O与CD相切；②连接OD，由（1）可知，∠ADC=60°，∵AD、CD分别与⊙O相切，∴∠ADO=SKIPIF1<0∠ADC=30°，∴AO=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）由图可知：CF=AC-AF，∵AB=BC，∠B=60°，∴△ABC为等边三角形，则AC=12cm，∠ACB=60°，∴要使CF取得最大值，则AF应该取最小值，当AC⊥PE时，AF最小，此时CF取得最大值，∵点O为△APC外接圆圆心，∴OA=OC=OP=SKIPIF1<0=6cm，∵∠ACB=60°，∴CF=SKIPIF1<0=3cm，综上：CF的最大值为3cm，此时AC⊥PE．（4）①当点P在AB上时，∵四边形APCE为圆的内接四边形，∴∠APC+∠AEC=180°，∵∠AED++∠AEC=180°，∴∠APC=∠AED，在△APC和△DEA中，AC=AD，∠PAC=∠D，∠APC=∠AED，∴△APC≌△DEA，∴AP=DE，当点E与点N重合时，DE=DN=AP=4，∴MP=4-3=1cm，∴t=1s，当0<t<1时，点N在圆内部；②当点P在BC上运动时，∵∠AEP=∠ACP=60°，∴△APE为等边三角形，∴AP=AE，∠PAE=60°，∵∠BAC=60°，∴∠BAP=∠CAE，在△BAP和△CAE中，AB=AC，∠BAP=∠CAE，AP=AE，∴△BAP≌△CAE，∴BP=CE，当点E与带你N重合时，CE=CN=BP=12-4=8cm，此时t=SKIPIF1<0=9+8=17s，当点P到达点C时，t=21s，当17<t<21时，点N在圆内部；综上：当0<t<1时或17<t<21时，点N在圆内部．4．（2022·上海杨浦·统考二模）已知在扇形SKIPIF1<0中，点C、D是SKIPIF1<0上的两点，且SKIPIF1<0．(1)如图1，当SKIPIF1<0时，求弦SKIPIF1<0的长；(2)如图2，联结SKIPIF1<0，交半径SKIPIF1<0于点E，当SKIPIF1<0//SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的值；(3)当四边形SKIPIF1<0是梯形时，试判断线段SKIPIF1<0能否成为SKIPIF1<0内接正多边形的边？如果能，请求出这个正多边形的边数；如果不能，请说明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)线段SKIPIF1<0能成为SKIPIF1<0的内接正多边形的边，边数为18【分析】（1）取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，根据圆的有关性质可得SKIPIF1<0，然后由余角的性质及等边三角形的判定与性质可得答案；（2）由平行线的性质及三角形内角和定理可得SKIPIF1<0．然后根据相似三角形的判定与性质可得答案；（3）根据圆内接多边形的性质及三角形的内角和定理分两种情况进行解答：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0．【详解】（1）解：设SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中点E，连接SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等边三角形，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．解之得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）解：当四边形SKIPIF1<0是梯形时，①SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，不合题意，舍去．②SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴线段SKIPIF1<0能成为SKIPIF1<0的内接正多边形的边，边数为18．5．（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨风华中学校考三模）如图，AB是⊙O的直径，弦SKIPIF1<0，垂足为H，P为弧AD上一点．(1)如图1，连接AC、PC、PA，求证：SKIPIF1<0；(2)如图2，连接PB，PB交CD于E，过点P作⊙O的切线交CD的延长线与点F，求证：SKIPIF1<0；(3)如图3，在（2）的条件下，连接AE，且SKIPIF1<0，过点A作SKIPIF1<0，垂足为G，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求BH的长．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)SKIPIF1<0【分析】（1）连接AD，根据同弧或等弧所对圆周角相等即可证明；（2）连接OP，根据切线性质以及余角的性质即可证明SKIPIF1<0，从而证得SKIPIF1<0；（3）过E作SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0求出MF，再利用勾股定理求出PM、EM，再利用三角函数求出PA，进而求出BH．【详解】（1）证明：连接AD，SKIPIF1<0AB是⊙O的直径，弦SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）连接OP，SKIPIF1<0PF是⊙O的切线，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（3）过E作SKIPIF1<0，垂足为M，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，AB是直径，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．6．（2022·浙江温州·温州市第十四中学校联考三模）如图1，直径SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0延长线上异于点SKIPIF1<0的一个动点，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0．(2)如图2，连接SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的面积之比．(3)当四边形SKIPIF1<0有两边相等时，求SKIPIF1<0的长．【答案】(1)证明见解析；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF