MATLAB60数学手册复合版

目录

第1章矩阵及其基本运算.........................................................7

1.1矩阵的表示..............................................................7

1.1.1数值矩阵的生成....................................................7

1.1.2符号矩阵的生成....................................................8

1.1.3大矩阵的生成......................................................9

1.1.4多维数组的创建....................................................9

1.1.5特殊矩阵的生成...................................................10

1.2矩阵运算...............................................................15

1.2.1力口、减运算.......................................................15

1.2.2乘法..............................................................15

1.2.3集合运算.........................................................18

1.2.4除法运算.........................................................21

1.2.5矩阵乘方.........................................................22

1.2.6矩阵函数.........................................................22

1.2.7矩阵转置.........................................................23

1.2.8方阵的行列式.....................................................23

1.2.9逆与伪逆.........................................................24

1.2.10矩阵的迹........................................................25

1.2.11矩阵和向量的范数................................................25

1.2.12条件数...........................................................26

1.2.13矩阵的秩.........................................................26

1.2.14特殊运算.........................................................27

1.2.15符号矩阵运算....................................................32

1.2.16矩阵元素个数的确定..............................................35

1.3矩阵分解...............................................................35

1.3.1Cholesky分解.....................................................35

1.3.2LU分解..........................................................36

1.3.3QR分解..........................................................36

1.3.4Schur分解........................................................38

1.3.5实Schur分解转化成复Schur分解...................................38

1.3.6特征值分解.......................................................39

1.3.7奇异值分解.......................................................39

1.3.8广义奇异值分解...................................................40

1.3.9特征值问题的QZ分解.............................................41

1.3.10海森伯格形式的分解..............................................41

1.4线性方程的组的求解....................................................41

1.4.1求线性方程组的唯一解或特解（第一类问题）.......................41

1.4.2求线性齐次方程组的通解..........................................44

1.4.3求非齐次线性方程组的通解........................................45

1.4.4线性方程组的LQ解法.............................................47

1.4.5双共舸梯度法解方程组............................................47

1.4.6稳定双共轨梯度方法解方程组......................................48

1.4.7复共蜿梯度平方法解方程组........................................49

1.4.8共辄梯度的LSQR方法............................................50

1.4.9广义最小残差法...................................................50

1.4.10最小残差法解方程组..............................................51

1.4.11预处理共舸梯度方法..............................................52

1.4.12准最小残差法解方程组............................................52

1.5特征值与二次型.........................................................53

1.5.1特征值与特征向量的求法..........................................53

1.5.2提高特征值的计算精度............................................54

1.5.3复对角矩阵转化为实对角矩阵......................................54

1.5.4正交基...........................................................55

1.5.5二次型...........................................................55

1.6秩与线性相关性.........................................................56

1.6.1矩阵和向量组的秩以及向量组的线性相关性.........................56

1.6.2求行阶梯矩阵及向量组的基........................................56

1.7稀疏矩阵技术...........................................................57

1.7.1稀疏矩阵的创建...................................................57

1.7.2将稀疏矩阵转化为满矩阵..........................................58

1.7.3稀疏矩阵非零元素的索引..........................................59

1.7.4外部数据转化为稀疏矩阵..........................................59

1.7.5基本稀疏矩阵.....................................................59

1.7.6稀疏矩阵的运算...................................................61

1.7.7画稀疏矩阵非零元素的分布图形....................................62

1.7.8矩阵变换.........................................................62

1.7.9稀疏矩阵的近似欧几里得范数和条件数..............................65

1.7.10稀疏矩阵的分解..................................................65

1.7.11稀疏矩阵的特征值分解............................................67

1.7.12稀疏矩阵的线性方程组............................................67

第2章数值计算与数据分析.....................................................68

2.1基本数学函数...........................................................68

2.1.1三角函数与双曲函数...............................................68

2.1.2其他常用函数.....................................................75

2.2插值、拟合与查表.......................................................82

2.2.1插值命令.........................................................83

2.2.2查表命令.........................................................89

2.3数值积分...............................................................90

2.3.1一元函数的数值积分...............................................90

2.3.2二元函数重积分的数值计算........................................92

2.4常微分方程数值解.......................................................93

2.5偏微分方程的数值解....................................................96

2.5.1单的Poission方程.................................................97

2.5.2双曲型偏微分方程.................................................98

2.5.3抛物型偏微分方程.................................................99

第3章符号运算...............................................................101

3.1算术符号操作..........................................................101

3.2基本运算..............................................................103

3.2.1函数计算器......................................................114

3.2.2微积分...........................................................115

3.2.3符号函数的作图..................................................118

3.2.4积分变换........................................................124

3.2.5Taylor级数.......................................................129

3.2.6其它.............................................................130

第4章概率统计...............................................................140

4.1随机数的产生..........................................................140

4.1.1二项分布的随机数据的产生........................................140

4.1.2正态分布的随机数据的产生........................................140

4.1.3常见分布的随机数产生............................................141

4.1.4通用函数求各分布的随机数据.....................................141

4.2随机变量的概率密度计算...............................................142

4.2.1通用函数计算概率密度函数值.....................................142

4.2.2专用函数计算概率密度函数值.....................................143

4.2.3常见分布的密度函数作图..........................................144

4.3随机变量的累积概率值（分布函数值）......................................147

4.3.1通用函数计算累积概率值..........................................147

4.3.2专用函数计算累积概率值（随机变量X4K的概率之和）.............147

4.4随机变量的逆累积分布函数.............................................149

4.4.1通用函数计算逆累积分布函数值...................................149

4.4.2专用函数-inv计算逆累积分布函数..................................149

4.5随机变量的数字特征....................................................151

4.5.1平均值、中值....................................................151

4.5.2数据比较.........................................................153

4.5.3期望.............................................................154

4.5.4方差.............................................................155

4.5.5常见分布的期望和方差............................................157

4.5.6协方差与相关系数................................................158

4.6统计作图..............................................................159

4.6.1正整数的频率表..................................................159

4.6.2经验累积分布函数图形............................................160

4.6.3最小二乘拟合直线................................................160

4.6.4绘制正态分布概率图形............................................160

4.6.5绘制威布尔（Weibull）概率图形......................................161

4.6.6样本数据的盒图..................................................161

4.6.7给当前图形加一条参考线..........................................162

4.6.8在当前图形中加入一条多项式曲线.................................163

4.6.9样本的概率图形..................................................163

4.6.10附加有正态密度曲线的直方图....................................163

4.6.11在指定的界线之间画正态密度曲线................................164

4.7参数估计..............................................................164

4.7.1常见分布的参数估计..............................................164

4.7.2非线性模型置信区间预测..........................................167

4.7.3对数似然函数....................................................170

4.8假设检验..............................................................172

4.8.1已知，单个正态总体的均值口的假设检验（U检验法）...........172

4.8.2未知，单个正态总体的均值U的假设检验（t检验法）..............173

4.8.3两个正态总体均值差的检验（t检验）...........................173

4.8.4两个总体一致性的检验一秩和检验............................174

4.8.5两个总体中位数相等的假设检验一一符号秩检验..................175

4.8.6两个总体中位数相等的假设检验——符号检验...................175

4.8.7正态分布的拟合优度测试......................................176

4.8.8正态分布的拟合优度测试......................................176

4.8.9单个样本分布的Kolmogorov-Smirnov测试......................177

4.8.10两个样本具有相同的连续分布的假设检验........................178

4.9方差分析..............................................................178

4.9.1单因素方差分析..................................................178

4.9.2双因素方差分析..................................................180

第5章优化问题...............................................................182

5.1线性规划问题..........................................................182

5.2foptions函数...........................................................183

5.3非线性规划问题........................................................184

5.3.1有约束的一元函数的最小值........................................184

5.3.2无约束多元函数最小值............................................185

5.3.3有约束的多元函数最小值..........................................187

5.3.4二次规划问题....................................................189

5.4“半无限”有约束的多元函数最优解......................................191

5.5极小化极大（Minmax）问题.............................................195

5.6多目标规划问题........................................................197

5.7最小二乘最优问题......................................................200

5.7.1约束线性最小二乘................................................200

5.7.2非线性数据（曲线）拟合.........................................201

5.7.3非线性最小二乘..................................................202

5.7.4非负线性最小二乘................................................204

5.8非线性方程（组）求解....................................................204

5.8.1非线性方程的解..................................................204

5.8.2非线性方程组的解................................................205

第6章模糊逻辑..............................................................207

6.1隶属函数..............................................................207

6.1.1高斯隶属函数....................................................207

6.1.2两边型高斯隶属函数..............................................207

6.1.3建立一般钟型隶属函数............................................208

6.1.4两个sigmoid型隶属函数之差组成的隶属函数.......................208

6.1.5通用隶属函数计算................................................209

6.1.6建立n型隶属函数................................................209

6.1.7通过两个sigmoid型隶属函数的乘积构造隶属函数...................210

6.1.8建立Sigmoid型隶属函数..........................................210

6.1.9建立S型隶属函数................................................211

6.1.10建立梯形隶属函数...............................................212

6.1.11建立三角形隶属函数.............................................213

6.1.12建立Z型隶属函数...............................................214

6.1.13两个隶属函数之间转换参数......................................215

6.1.14基本FIS编辑器.................................................215

6.1.15隶属函数编辑器.................................................217

6.2模糊推理结构FIS.............................................................................................................218

6.2.1不使用数据聚类方法从数据生成FIS结构...........................218

6.2.2使用减法聚类方法从数楣生成FIS结构.............................219

6.2.3生成一个FIS输出曲面............................................219

6.2.4将mamdan型FIS转换为SugenoFIS................................................................220

6.2.5完成模糊推理计算................................................220

6.2.6模糊c均值聚类..................................................221

6.2.7模糊均值和减法聚类..............................................222

6.2.8绘制一个FIS..........................................................................................................222

6.2.9绘制给定变量的所有隶属的曲线...................................223

6.2.10从磁盘装入一个FIS...........................................................................................223

6.2.11从FIS中删除某一隶属函数.......................................224

6.2.12从FIS中删除变量...............................................225

6.2.13设置模糊系统属性...............................................226

6.2.14以分行形式显示FIS结构的所有属性..............................227

6.2.15完成模糊运算...................................................228

6.2.16解析模糊规则...................................................229

6.2.17规则编辑器和语法编辑器........................................229

6.2.18规则观察器和模糊推理框图......................................230

6.2.19保存FIS到磁盘上...............................................231

6.2.20显示FIS的规则.................................................232

6.2.21显示FIS结构的所有属性........................................232

第7章绘图与图形处理........................................................235

7.1二维图形..............................................................235

7.1.1基本平面图形命令................................................235

7.1.2特殊平面图形命令................................................242

7.1.3二维图形注释命令................................................248

7.2三维图形..............................................................252

7.2.1三维曲线、血填色命令............................................252

7.2.2三维图形等高线..................................................254

7.2.3曲面与网格图命令................................................257

7.2.4三维数据的其他表现形式命令.....................................261

7.3通用图形函数命令......................................................267

7.3.1图形对象句柄命令................................................267

7.3.2轴的产生和控制命令..............................................278

7.3.3图形句柄操作命令................................................279

7.3.4图形窗口的控制命令..............................................281

7.4颜色与光照模式命令...................................................283

7.4.1颜色控制命令....................................................283

7.4.2色图控制命令....................................................285

第1章矩阵及其基本运算

MATLAB,即“矩阵实验室”，它是以矩阵为基本运算单元。因此，本书从最基本的运

算单元出发，介绍MATLAB的命令及其用法。

1.1矩阵的表示

1.1.1数值矩阵的生成

1.实数值矩阵输入

MATLAB的强大功能之一体现在能直接处理向量或矩阵。当然首要任务是输入待处理

的向量或矩阵。

不管是任何矩阵（向量），我们可以直接按行方式输入每个元素：同一行中的元素用逗

号（，）或者用空格符来分隔，且空格个数不限；不同的行用分号（；）分隔。所有元素处于

一方括号（[]）内；当矩阵是多维（三维以上），且方括号内的元素是维数较低的矩阵时，

会有多重的方括号。如：

»Time=[111212345678910]

Time=

111212345678910

»X_Data=[2.323.43；4.375.98]

XData=

2.433.43

4.375.98

»vecta=[12345]

vecta=

12345

»MatrixB=[123；

»234；345]

MatrixB=123

234

345

»Null_M=[]%生成一个空矩阵

2.复数矢i阵输入

复数矩阵有两种生成方式:

第一种方式

例i-i

»a=2.7;b=13/25;

»C=[l,2*a+i*b,b*sqrt(a);sin(pi/4),a+5*b,3.5+1]

C=

1.00005.4000+0.5200i0.8544

0.70715.30004.5000

第2种方式

例1-2

»R=[123;456],M=[ll1213;141516]

R=

123

456

M=

111213

141516

»CN=R+i*M

CN=

1.0000+11.0000i2.0000+12.0000i3.0000+13.0000i

4.0000+14.0000i5.0000+15.0000i6.0000+16.0000i

1.1.2符号矩阵的生成

在MATLAB中输入符号向量或者矩阵的方法和输入数值类型的向量或者矩阵在形式上

很相像，只不过要用到符号矩阵定义函数sym,或者是用到符号定义函数syms,先定义一

些必要的符号变量，再像定义普通矩阵一样输入符号矩阵。

1.用命令sym定义矩阵：

这时的函数sym实际是在定义一个符号表达式，这时的符号矩阵中的元素可以是任何的

符号或者是表达式，而且长度没有限制，只是将方括号置于用于创建符号表达式的单引号中。

如下例：

例1-3

»symmatrix=sym('[abc；Jack,HelpMc!>NOWAY!]»')

symmatrix=

[abc]

[JackHelpMe!NOWAY!]

»symdigits=sym('[I23；abc；sin(x)cos(y)tan(z)]')

symdigits=

[123]

[abc]

[sin(x)cos(y)tan(z)]

2.用命令syms定义矩阵

先定义矩阵中的每一个元素为一个符号变量，而后像普通矩阵一样输入符号矩阵。

例1-4

»symsabc；

»Ml=sym('Classical')；

»M2=sym('Jazz')；

»M3=sym('Blues')M

»symsmatrix=[abc；Ml,2,M3；int2slr([2351)1

symsmatrix=

[ab可

Be

[ClassicalJazz

1U司

[23

把数值矩阵转化成相应的符号矩阵

数值型和符号型在MATLAB中是不相同的，它们之间不能直接进行转化。MATLAB提

供了一个将数值型转化成符号型的命令，即sym。

例1-5

»Digit_Matrix=[l/3sqrt(2)3.4234；exp(0.23)log(29)23A(-11.23)]

»SymsMatrix=sym(DigitMatrix)

结果是：

DigitMatrix=

0.33331.41423.4234

1.25863.36730.0000

SymsMatrix=

[-1/3,sqrt(2),17117/5000]

[5668230535726899*2人(-52),7582476122586655*2A(-51),5174709270083729*2A(-103)]

注意：矩阵是用分数形式还是浮点形式表示的，将矩阵转化成符号矩阵后，都将以最接

近原值的有理数形式表示或者是函数形式表示。

1.1.3大矩阵的生成

对于大型矩阵，一般创建M文件，以便于修改:

例1-6用M文件创建大矩阵,文件名为examplc.m

exm=[456468873257955

2168754488813

6545678898215

4566845896545987

5488109633771

在MATLAB窗口输入：

»example;

»size(exm)%显示exm的大小

ans=

56%表示exm有5行6列。

1.1.4多维数组的创建

函数cat

格式A=cat(n,Al,A2,…,Am)

说明n=l和n=2时分别构造[Al；A2]和[Al,A2],都是二维数组，而n=3时可以构造

出三维数组。

例1-7

»AI=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];A2=Al';A3=A1-A2;

»A4=cat(3,Al,A2,A3)

A4(:,:,l)=

123

456

789

A4(:,:,2)=

147

258

369

A4(:,:,3)=

0-2-4

20-2

420

或用另•种原始方式可以定义：

例1-8

»A1=[1,2,3；4,5,6;7,8,9];A2=Al';A3=A1-A2;

»A5(:,:,1)=A1,A5(:,:,2)=A2,A5(:,:,3)=A3

A5(:,:,l)=

I23

456

789

A5(:,:,2)=

147

258

369

A5(:,:,3)=

0-2-4

20-2

420

1.1.5特殊矩阵的生成

命令全零阵

函数zeros

格式B=zeros(n)%生成nxn全零阵

B=zeros(m,n)%生成mxn全零阵

B=zeros([mn])%生成mxn全零阵

B=zeros(dl,d2,d3--,)%生成dlxd2xd3x…全零阵或数组

B=zeros([dld2d3…])%生成dlxd2x(J3x…全零阵或数组

B=zeros(size(A))%生成与矩阵A相同大小的全零阵

命令单位阵

函数eye

格式Y=eye(n)%生成nxn单位阵

Y=eye(m,n)%生成mxn单位阵

Y=eye(size(A))%生成与矩阵A相同大小的单位阵

命令全1阵

函数ones

格式Y=ones(n)%生成nxn全1阵

Y=ones(m,n)%生成mxn全1阵

Y=ones([mn])%生成mxn全1阵

Y=ones(dl,d2,d3…)％生成dlxd2xd3x…全1阵或数组

Y=ones([dld2d3…])%生成d”d2xd3x…全1阵或数组

Y=ones(size(A))%生成与矩阵A相同大小的全1阵

命令均匀分布随机矩阵

函数rand

格式Y=rand(n)%生成nxn随机矩阵，其元素在(0,1)内

Y=rand(m,n)%生成mxn随机矩阵

Y=rand([mn])%生成mxn随机矩阵

Y=rand(m,n,p,--)%生成mxnxpx…随机矩阵或数组

Y=rand([mnp…])%生成mxnxpx…随机矩阵或数组

Y=rand(size(A))%生成与矩阵A相同大小的随机矩阵

rand%无变量输入时只产生一个随机数

s=rand('state')%产生包括均匀发生器当前状态的35个元素的向量

randC^tate*,s)%使状态重置为s

rand('state',0)%重置发生器到初始状态

rand(lstate,,j)%对整数j重置发生器到第j个状态

rand(,state,,sum(100*clock))%每次重置到不同状态

例1-9产生一个3X4随机矩阵

»R=rand(3,4)

R=

0.95010.48600.45650.4447

0.23110.89130.01850.6154

0.60680.76210.82140.7919

例1-10