浙教版数学九年级上册 抛物线与三角形 学案

九年级数学辅导资料-----抛物线与三角形顶点与x轴交点组成的三角形-----等腰三角形如图，设抛物线与x轴的交点、，顶点为C，∵对称轴：直线垂直平分线段AB，∴AC=BC,∴△ABC是等腰三角形；又∵，，∴；又∵顶点，∴①若△ACB为等腰直角三角形，则，∴∴②若△ABC是等边三角形，则，∴，∴∴例1：（19嘉兴市）小飞研究二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上；②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2；④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2．其中错误结论的序号是（）A．① B．② C．③ D．④变式：当m=__________时，函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等边三角形；练习一已知，点M为二次函数y=﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，判断顶点是否在直线？若抛物线与x轴有两个不同的交点，求b的取值范围；在（2）的条件下，设抛物线与x轴的交点分别为A、B（点A在点B的左边）①若△ABM为等腰直角三角形，求b的值②若△ABM为等边三角形，求b的值抛物线与坐标轴的交点组成的三角形如图，设抛物线与x轴的交点、，与y轴的交点为C.∴,,若∠ACB=90°，则，∴，∴例2：已知抛物线与x轴的交点为A、B两点，与y轴的交点为C求A、B、C的坐标判断△ABC的形状练习二1、已知抛物线y=k（x+1）（x﹣）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是（）A．2B．3C．4D．52、如图，已知抛物线（m为参数，且m<0）交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点C是抛物线的顶点，直线CD交x轴于点E.当时，求点C、D的坐标；若∠ADC=90°求m的值；请探究：ED：DC的值是否会随m的变化而变化？并说明理由.3、如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，2）．（1）若点B的坐标为（4，0），求点A的坐标（2）若△ABC是等腰三角形，求抛物线的表达式（3）在（1）的条件下，点P为抛物线在x轴下方图像上一点，过点P的直线与直线BC交于点E，交y轴于点F，求PE+PF的最大值抛物线中的三角形的周长与面积例1图例3：已知抛物线具有如下性质：给抛物线上任意一点到定点的距离与到轴的距离相等，如图，点的坐标为，是抛物线例1图上一动点，则周长的最小值是___________例4、定义：如图1，过△ABC的三个顶点分别作与水平线垂直的三条直线，外侧两直线之间的距离OA叫做△ABC的“水平宽”，中间直线处于△ABC内部的线段BD的长度叫做△ABC的“铅垂高”.性质：三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.理解：例如：如图1，OA=3，BD=1.6，则应用：（1）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），B(3，4)，D(3，1）．则△ABC的面积为；（2）如图3，在平面直角坐标系中，抛物线过A（4，0），C(0，4)两点，点M在第一象限的抛物线上运动，在点M的运动过程中，求△AMC面积的最大值；（3）在（2）的条件下，如图4，点P在抛物线上，①求以AC为底边的等腰三角形PAC的顶点P的坐标；②直接写出以AC为底边的等腰三角形PAC的面积.OOCBDA图2M图4图3练习三1、如图，在直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，已知抛物线经过三点A、B、O(O为原点).（1）求抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点C，使的周长最小。若存在，求出点C的坐标。若不存在，请说明理由；如果点P是该抛物线上轴上方的一个动点，那么是否有最大面积。若有，求出此时P点的坐标及的最大面积；若没有，请说明理由。（注意：本题中的结果均保留根号）。2、如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴一A（-1,0），B（4,0），C（0，4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一点。（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标：若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积。3、已知抛物线的对称轴是直线，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A（1，0），点C（0，-3）.求抛物线的函数表达式若点P在抛物线上运动（点P异于点A）①当△PBC的面积等于3时，求点P的指标；②当∠PCB=∠BCA时，求直线CP的表达式.四、抛物线中的三角形的全等与相似例5、如图，在平面直角坐标系xoy中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．（2）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△OBC全等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．例6、如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△DBO∽△EBC；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．练习1、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx经过两点A（﹣1，1），B（2，2）．过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，交y轴于点D． 求此抛物线对应的函数表达式及点C的坐标； （2）若抛物线上存在点M，使得△BCM的面积为，求出点M的坐标； （3）连接OA、OB、OC、AC，在坐标平面内，求使得△AOC与△OBN相似（边OA与边OB对应）的点N的坐标． 2、如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．3、如图，抛物线与轴交于点A，与轴交于点B，C两点（点C在轴正半轴上），△ABC为等腰直角三角形，且面积为4.现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线经过点C时，与轴的另一交点为E，其顶点为F，对称轴与轴的交点为H.（1）求，的值；（2）连结OF，试判断△OEF是否为等腰三角形，并说明理由；（3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使以点P，Q，E为顶点的三角形与△POE全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.五、抛物线中与动点相关的三角形问题例7例7：抛物线与x轴交于A、B两点，与Y轴交于点C，若OA=OC=3OB=3.顶点为D例7求抛物线的表达式；点P是抛物线对称轴上一点，①若△PBC是等腰三角形，求点P的坐标②若△PBC是等腰三角形，求点P的坐标练习五1、如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△DBO∽△EBC；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．2、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点B（6，0）和点C（0，-3），与x轴的另一个交点为A，求抛物线的函数表达式及点A的坐标如图2，把线段CO绕点O逆时针旋转30°得到线段DO，过点B作射线BD,设M是射线BD上的一个动点（不与点B重合），点M关于x轴的对称点为点N，连结BM、BN；①判断△BMN的形状，并证明你的结论②设△BMN的面积为，△BOD的面积为，当时，求点M的坐标3、如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点．（1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；（2）如图①，动点E从O点出\o"欢迎登陆21世纪教育网"发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以个单位/秒的速度向终点B匀速运动，当E，F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF，设运动时间为t秒，当t为何值时，△AEF为直角三角形？（3）如图②，取一根橡皮筋，两端\o"欢迎登陆21世纪教育网"点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出