2023-2024学年辽宁省抚顺市六校协作体高二上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省抚顺市六校协作体2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第一册至选择性必修第二册第四章4.2.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，即，故，解得故选：A2.音乐播放器里有15首中文歌曲和5首英文歌曲，任选1首歌曲进行播放，则不同的选法共有（）A.30种 B.75种 C.10种 D.20种【答案】D【解析】在15首中文歌曲和5首英文歌曲，共20首歌中任选一首播放，不同的选法共有种.故选：D3.已知双曲线的一条渐近线方程为，则的方程可能为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为.故选：C4.的展开式中的常数项为（）A.6 B. C.15 D.【答案】B【解析】由的展开式通项为，，则展开式中的常数项为.故选：B5.已知随机变量服从正态分布，且，则（）A.0.2 B.0.4 C.0.3 D.0.6【答案】A【解析】由题意得，得，则，所以，故选:.6.已知为圆上一动点，为圆上一动点，则的最小值为（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】由题意得圆的圆心为，得，圆与圆的半径之差为，所以圆与圆的位置关系为内含，所以的最小值为.故选：C.7.某5位同学排成一排准备照相时，又来了甲､乙､丙3位同学要加入，若保持原来5位同学的相对顺序不变，且甲､乙2位同学互不相邻，丙同学不站在两端，则不同的加入方法共有（）A.360种 B.144种 C.180种 D.192种【答案】D【解析】分两种情况：当丙不在甲､乙中间时，先加入甲，有种方法，再加入乙，有种方法，最后加入丙，有种方法，此时不同的加入方法共有种；当丙在甲､乙中间时，共有种方法.故不同的加入方法共有种.故选：D8.已知是椭圆的左焦点，第一象限内的点在上，直线与轴交于点为坐标原点，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得.设，则.由，得，所以，即，因为点在上，所以，得，故.故选：C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在某班中，男生占，女生占，在男生中喜欢体育锻炼的学生占，在女生中喜欢体育锻炼的学生占，从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确的是（）A.抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为B.抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为C.若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为D.若抽到的学生喜欢体育段炼，则该学生是女生的概率为【答案】AB【解析】A选项，用分别表示抽到学生是男生､女生，用表示抽到的学生喜欢体育锻炼.由题意得，则，故抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为，A正确；B选项，由全概率公式得，B正确.C选项，由B选项可得，C错误；D选项，由C选项可得，D错误.故选：AB10.在平行六面体中，，则（）A.为棱的中点 B.为棱上更靠近的三等分点C. D.平面【答案】ABD【解析】因为，所以，则为棱的中点，A正确.因为，所以，则为棱上更靠近的三等分点，B正确.因为为棱的中点，为棱上更靠近的三等分点，易得，C错误.因为平面平面平面，所以平面，D正确.故选：ABD.11.已知，且，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】由题意得.因为函数在上单调递增，且，所以，故A错误；因为，故BC正确；所以，则，故D错误.故选：BC12.已知分别为双曲线的左､右焦点，为坐标原点，以为直径的圆在第二象限内交于点，且直线的斜率小于，则双曲线的离心率可能为（）A. B. C.4 D.6【答案】BCD【解析】设，则由题意可知，连接，因为，所以，由，得，因为，所以，即双曲线的离心率的范围为，故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.椭圆的长轴长为__________.【答案】1【解析】由题意得，所以，所以的长轴长为.故答案为：114.若点到抛物线的准线的距离为3，请写出一个的标准方程：__________.【答案】（本题答案不唯一，任选一个即可）【解析】由题意得抛物线的准线可能为直线，所以的标准方程可能为.故答案为：（答案不唯一，中任选一个即可）.15.位于坐标原点的一个点按下述规则移动：每次只能向下或向左移动一个单位长度，且向左移动的概率为.那么移动5次后位于点的概率是__________.【答案】【解析】因为向左移动的概率为，所以向下移动的概率为，由题意得必须向左移动4次，向下移动1次，所以所求的概率为.故答案为：16.设的小数部分为，则__________.【答案】7【解析】因为，所以的整数部分为3，则，即，所以，故.故答案为：7四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.某地要从2名男运动员､4名女运动员中随机选派3人外出比赛.（1）若选派的3人中恰有1名男运动员和2名女运动员，则共有多少种选派方法？（2）设选派的3人中男运动员与女运动员的人数之差为，求的分布列.解：（1）共有种选派方法.（2）由题意知，的取值范围为，，所以的分布列为-3-1118.已知圆经过三点.（1）求圆的标准方程；（2）若直线与直线垂直，且与圆相切，求在轴上的截距.解：（1）设圆的标准方程为，因为该圆过三点，所以有所以该圆的方程为.（2）由题意得，所以的斜率为.设，即.由点到的距离为，得或，所以在轴上的截距为或.19.有7个人分成三排就座，第一排2人，第二排2人，第三排3人，且第一排､第二排只有2个座位，第三排只有3个座位.（1）如果甲不能坐第一排，共有多少种不同的坐法？（2）求甲､乙坐在同一排且相邻的概率.解：（1）甲先坐第二排或第三排，再与其他6个人排列，共有种不同的坐法.（2）第一类：甲､乙先坐第一排或第二排，再与其他5个人排列，共有种不同的坐法.第二类：先将甲､乙看成一个整体，坐在第三排，再与其他5个人排列，共有种不同的坐法.故甲､乙坐在同一排且相邻的概率为20.如图，在三棱锥中，平面平面.（1）证明：平面平面（2）若为中点，求平面与平面所成角的余弦值.解：（1）因为平面平面，且两平面相交于，平面，所以平面.因为平面，所以.因为，平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，，所以.设平面法向量为，则，所以，取，则.设平面的法向量为，则，所以，取，则..所以平面与平面所成角的余弦值为.21.已知点在抛物线上，且点到点的距离与点到轴的距离之差为2.（1）求的方程；（2）当点的纵坐标为4时，过点作两条直线分别交于两点（均异于点），且直线的斜率与直线的斜率互为相反数，，求直线的一般式方程.解：（1）由题意得的焦点为，准线为直线.因为点到点的距离与点到直线的距离相等，所以，即，故的方程为.（2）由题意，同理得.由，得，则.设直线的方程为，即，由，得，则，得，由韦达定理得，所以，得.故直线的方程为，即.22.11月29日，辽宁省政府新闻办召开“山海有情天辽地宁”冰雪主题系列首场现场新闻发布会，该会重点介绍今年沈阳市深入开展冰雪旅游､冰雪运动､冰雪文化的主要举措､重点活动和亮点特色.某冰雪乐园计划推出冰雪优惠活动，发放冰雪消费券.该冰雪乐园计划通过摸球兄奖的方式对1000位顾客发放消费券，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸取2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获得的消费券的总额.（1）若袋中所装的4个球中1个所标的面值为30元，其余3个均为20元，求顾客所获得的消费券的总额为50元的概率.（2）该冰雪乐园对消费券总额的预算是100000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值40元､60元的2种球组成，或由标有面值30元､50元､70元的3种球组成.为了使顾客得到的消费券总额的期望符合该冰雪乐园的预算且每位顾客所获得的消费券的总额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计方案，并说明理由.解：（1）顾客所获得的消费券的总额为50元的概率为.（2）根据该冰雪乐园的预算，每个顾客的平均奖励额为100元，所以先寻找期望为100元的可能方案.对于面值由40元､60元组成的情况：如果选择的方案，因为100元是面值之和的最大值，所以期望不可能为100元；如果选择的方案，因为100元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为100元；因此可能的方案是，记为方案1.方案1，设每位顾客所获得的消费券的总额为，则的取值范围是，，则.对于面值由30元､50元､70元组成的情况：可能的方案是，，分别记为方案2，方案3，方案4.易知方案2，方案3，方案4每位顾客所获得消费券的总额的期望依次增大，所以先研究方案3.方案3，设每位顾客所获得的消费券的总额为，则的取值范围是，，则.所以在方案2，方案3，方案4中，方案3符合该冰雪乐园的预算.因为，所以比较方案1，方案3的方差.，.因为，所以选择方案1，即这4个球的面值为40元､40元､60元､60元.辽宁省抚顺市六校协作体2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第一册至选择性必修第二册第四章4.2.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，即，故，解得故选：A2.音乐播放器里有15首中文歌曲和5首英文歌曲，任选1首歌曲进行播放，则不同的选法共有（）A.30种 B.75种 C.10种 D.20种【答案】D【解析】在15首中文歌曲和5首英文歌曲，共20首歌中任选一首播放，不同的选法共有种.故选：D3.已知双曲线的一条渐近线方程为，则的方程可能为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为.故选：C4.的展开式中的常数项为（）A.6 B. C.15 D.【答案】B【解析】由的展开式通项为，，则展开式中的常数项为.故选：B5.已知随机变量服从正态分布，且，则（）A.0.2 B.0.4 C.0.3 D.0.6【答案】A【解析】由题意得，得，则，所以，故选:.6.已知为圆上一动点，为圆上一动点，则的最小值为（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】由题意得圆的圆心为，得，圆与圆的半径之差为，所以圆与圆的位置关系为内含，所以的最小值为.故选：C.7.某5位同学排成一排准备照相时，又来了甲､乙､丙3位同学要加入，若保持原来5位同学的相对顺序不变，且甲､乙2位同学互不相邻，丙同学不站在两端，则不同的加入方法共有（）A.360种 B.144种 C.180种 D.192种【答案】D【解析】分两种情况：当丙不在甲､乙中间时，先加入甲，有种方法，再加入乙，有种方法，最后加入丙，有种方法，此时不同的加入方法共有种；当丙在甲､乙中间时，共有种方法.故不同的加入方法共有种.故选：D8.已知是椭圆的左焦点，第一象限内的点在上，直线与轴交于点为坐标原点，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得.设，则.由，得，所以，即，因为点在上，所以，得，故.故选：C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在某班中，男生占，女生占，在男生中喜欢体育锻炼的学生占，在女生中喜欢体育锻炼的学生占，从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确的是（）A.抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为B.抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为C.若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为D.若抽到的学生喜欢体育段炼，则该学生是女生的概率为【答案】AB【解析】A选项，用分别表示抽到学生是男生､女生，用表示抽到的学生喜欢体育锻炼.由题意得，则，故抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为，A正确；B选项，由全概率公式得，B正确.C选项，由B选项可得，C错误；D选项，由C选项可得，D错误.故选：AB10.在平行六面体中，，则（）A.为棱的中点 B.为棱上更靠近的三等分点C. D.平面【答案】ABD【解析】因为，所以，则为棱的中点，A正确.因为，所以，则为棱上更靠近的三等分点，B正确.因为为棱的中点，为棱上更靠近的三等分点，易得，C错误.因为平面平面平面，所以平面，D正确.故选：ABD.11.已知，且，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】由题意得.因为函数在上单调递增，且，所以，故A错误；因为，故BC正确；所以，则，故D错误.故选：BC12.已知分别为双曲线的左､右焦点，为坐标原点，以为直径的圆在第二象限内交于点，且直线的斜率小于，则双曲线的离心率可能为（）A. B. C.4 D.6【答案】BCD【解析】设，则由题意可知，连接，因为，所以，由，得，因为，所以，即双曲线的离心率的范围为，故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.椭圆的长轴长为__________.【答案】1【解析】由题意得，所以，所以的长轴长为.故答案为：114.若点到抛物线的准线的距离为3，请写出一个的标准方程：__________.【答案】（本题答案不唯一，任选一个即可）【解析】由题意得抛物线的准线可能为直线，所以的标准方程可能为.故答案为：（答案不唯一，中任选一个即可）.15.位于坐标原点的一个点按下述规则移动：每次只能向下或向左移动一个单位长度，且向左移动的概率为.那么移动5次后位于点的概率是__________.【答案】【解析】因为向左移动的概率为，所以向下移动的概率为，由题意得必须向左移动4次，向下移动1次，所以所求的概率为.故答案为：16.设的小数部分为，则__________.【答案】7【解析】因为，所以的整数部分为3，则，即，所以，故.故答案为：7四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.某地要从2名男运动员､4名女运动员中随机选派3人外出比赛.（1）若选派的3人中恰有1名男运动员和2名女运动员，则共有多少种选派方法？（2）设选派的3人中男运动员与女运动员的人数之差为，求的分布列.解：（1）共有种选派方法.（2）由题意知，的取值范围为，，所以的分布列为-3-1118.已知圆经过三点.（1）求圆的标准方程；（2）若直线与直线垂直，且与圆相切，求在轴上的截距.解：（1）设圆的标准方程为，因为该圆过三点，所以有所以该圆的方程为.（2）由题意得，所以的斜率为.设，即.由点到的距离为，得或，所以在轴上的截距为或.19.有7个人分成三排就座，第一排2人，第二排2人，第三排3人，且第一排､第二排只有2个座位，第三排只有3个座位.（1）如果甲不能坐第一排，共有多少种不同的坐法？（2）求甲､乙坐在同一排且相邻的概率.解：（1）甲先坐第二排或第三排，再与其他6个人排列，共有种不同的坐法.（2）第一类：甲､乙先坐第一排或第二排，再与其他5个人排列，共有种不同的坐法.第二类：先将甲､乙看成一个整体，坐在第三排，再与其他5个人排列，共有种不同的坐法.故甲､乙坐在同一排且相邻的概率为20.如图，在三棱锥中，平面平面.（1）证明：平面平面（2）若为中点，求平面与平面所成角的余弦值.解：（1）因为平面平面，且两平面相交于，平面，所以平面.因为平面，所以.因为，平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，，所以.设平面法向量为，则，所以，取，则.设平面的法向量为，则，所以，取，则..所以平面与平面所成角的余弦值为.21.已知点在抛物线上，且点到点的距离与点到轴的距离之差为2.（1）求的方程；（2）当点的纵坐标为4时，过点作两条直线分别交于两点（均异于点），且直线的斜率与直线的斜率互为相反数，，求直线的一般式方程.解：（1）由题意得的焦点为，准线为直线.因为点到点的距离与点到直线的距离相等，所以，即，故的方程为.（2）由题意，同理得.由，得，则.设直线的方程为，即，由，得，则，得，由韦达定理得，所以，得.故直线的方程为，即.22.11月29日，辽宁省政府新闻办召