2023-2024学年江苏省镇江市高一上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省镇江市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以.故选：C.2.已知命题：为钝角，命题：，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若为钝角，则必为第二象限角，则，所以是的充分条件；若，则可能为第二或第四象限角，未必就是钝角，所以不是的必要条件；综上：是的充分不必要条件.故选：A.3.将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若函数为偶函数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意是偶函数，所以，解得，又，所以.故选：A.4.“扇形窗下清风徐”.如图所示是一个扇子形窗，其所在的扇形半径为，圆心角为，窗子左右两边的边框长度都为，则该窗的面积约为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知：扇形的圆心角为，大扇形的半径为，小扇形的半径为，所以该窗的面积为.故选：C.5.函数的定义域为，则值域为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为函数的定义域为，且在内单调递增，可知在内单调递增，可知在内的最小值为，最大值为，所以值域为.故选：A.6.已知函数图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（）A B.C. D.【答案】B【解析】设题设函数为，由图可知，若，但此时，矛盾，故可排除D；由为偶函数，若，则，矛盾，故排除A；在有零点，若，则时，，矛盾，故排除C，经检验，B选项在函数的零点奇偶性等方面均符合题意.故选：B.7.已知，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，故，则由，可得，故.故选：D.8.已知函数，.甲：当时，函数单调递减；乙：函数关于直线对称；丙：当时，函数单调递增；丁：函数图象的一个对称中心为.甲、乙、丙、丁四人对函数的论述中有且只有两人正确，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】对于甲：因为的单调递增区间为，关于单调递增，所以不存在任何区间使得单调递减，故甲错误；对于乙：因为的图象不存在对称轴，而函数的图象是由函数的图象向左平移个单位得到的，所以函数的图象也不存在对称轴，故乙错误；由题意甲、乙、丙、丁四人对函数的论述中有且只有两人正确，故只能丙丁论述正确，若丙论述正确，即当时，函数单调递增，则当时，关于单调递增，由复合函数单调性可知此时应该有，解得，所以此时满足题意，当时，关于单调递增，但，即存在使得，无意义，所以此时不满足题意，综上所述，满足题意的的取值范围为，若丁论述正确，则，解得，结合的取值范围为可知，只能，综上所述，实数的值为.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数在区间上的最小值为，则区间可以为（）A B. C. D.【答案】ABC【解析】由题意知函数在区间上的最小值为，令，即，当时，，当时，，故区间可以为，，，A，B，C正确；当时，，此时，的值取不到，D错误.故选：ABC.10.已知，下列命题正确的是（）A.命题“，”的否定是“，使得成立”B.若命题“，恒成立”为真命题，则C.“”是“方程有实数解”的充分不必要条件D.若命题“，”为真命题，则【答案】BCD【解析】对于选项A：命题“，”的否定是“，使得成立”，故A错误；对于选项B：若命题“，恒成立”为真命题，注意到的图象开口向上，则，解得，故B正确；对于选项C：若，则，可知方程有实数解，即充分性成立；例如，方程有实数解，不满足，即必要性不成立，所以“”是“方程有实数解”的充分不必要条件，故C正确；对于选项D：若命题“，”为真命题，注意到的图象开口向上，对称轴为，则，解得，故D正确.故选：BCD.11.已知函数，则（）A.为奇函数B.当时，的最小值为C.当时，的最小值为D.函数在存在零点的充要条件是【答案】AD【解析】对于A，定义域关于原点对称，且，所以为奇函数，故A正确；对于B，取时，此时单调递增，最小值为，而无意义，故B错误；对于C，取时，此时在上单调递减，不是最小值，故C错误；对于D，若，则，而，所以函数在存在零点的充要条件是，故D正确.故选：AD.12.下列不等关系成立的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】对于A，，故，故，A正确；对于B，，则，则，B正确；对于C，，故，故，C错误；对于D，，则，故，D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.求值_______________.【答案】【解析】.故答案为：.14.已知，则__________.【答案】6【解析】因为，所以.故答案为：6.15.幂函数满足下列性质：（1）对定义域中任意的，有；（2）对中任意的，都有，请写出满足这两个性质的一个幂函数的表达式_______________.【答案】（答案不唯一）【解析】由题意知幂函数满足性质：对定义域中任意的，有，则函数为偶函数；又函数满足对中任意的，都有，可知函数为上的单调递减函数，故满足题目中要求.故答案为：.16.已知，.如，则__________；如，则___________.【答案】或或或【解析】由题意知，，故，即，若，则；若，则或或或，故答案为：或或或.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合，.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）当时，，或，或，所以或.（2）因为，所以集合不可能是空集，若，所以或，解得或，即实数的取值范围为.18.已知函数（其中，）的最小正周期为，且___________.①点在函数的图象上；②函数的一个零点为；③的一个增区间为.请你从以上三个条件选择一个（如果选择多个，则按选择的第一个给分），补充完整题目，并求解下列问题：（1）求的解析式；（2）用“五点作图法”画出函数一个周期内的图象.解：（1）由题意最小正周期为，解得，所以，若选①，则，所以，又，所以，所以函数的解析式为；若选②，则，所以，又，所以，所以函数的解析式为；若选③，即的一个增区间为，当时，，又，由复合函数单调性可知，只能，，所以函数的解析式为；综上所述，无论选哪个条件，函数的解析式均为.（2）列表如下：00100描点、连线（光滑曲线）画出函数一个周期内的图象如图所示：19.已知，，设.（1）若，求，的值；（2）若，求的值.解：（1）因为，两边平方可得，解得，所以，.（2）因为，所以.20.已知函数.（1）证明：函数有且只有两个不同的零点；（2）已知，设函数的两个零点为，试判断下列四个命题的真假，并说明理由：①；②；③；④.解：（1）由题意可知函数的定义域为，且在上均单调递增且连续，，，故在内有唯一零点；又，则，故在内有唯一零点；综上，函数有且只有两个不同的零点.（2）①③为真命题；②④为假命题，理由如下：设函数的两个零点为，由（1）可知，故，又，，即，故，故①③为真命题；②④为假命题.21.去年某商户销售某品牌服装9000套，每套服装利润为50元.为提高销售利润，今年计划投入适当的广告费进行产品促销.经市场调研发现，若广告费用为（万元），则该品牌服装的年销售量将增长.请你预算该品牌服装的净利润（净利润为销售利润减去广告费用）（1）若使得今年净利润比去年至少增长，请你预算广告费用的范围?（2）当广告费用多少万元时，品牌服装的净利润最大?解：（1）由题意得，即，化简并整理得，解得，所以预算广告费用的范围为.（2）由题意净利润为万元，所以由基本不等式可得，等号成立当且仅当，所以当投入广告费用为8万元时，品牌服装的净利润最大.22.已知函数的定义域为.（1）如果不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）如果函数存在两个不同的零点.①求实数取值范围；②求的最大值.解：（1）由题意知函数的定义域为，故，令，则，即，则不等式恒成立，等价于函数在上恒成立，由于，故在上恒成立，即在上恒成立，因为，当且仅当，即时取等号，故.（2）①由于为增函数，故函数存在两个不同的零点，等价于存在两个不同的零点，且，则，即，即，故实数的取值范围为.②由于，则，因为，所以，即，故的最大值为，则，当取最大值时，取到最大值.江苏省镇江市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以.故选：C.2.已知命题：为钝角，命题：，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若为钝角，则必为第二象限角，则，所以是的充分条件；若，则可能为第二或第四象限角，未必就是钝角，所以不是的必要条件；综上：是的充分不必要条件.故选：A.3.将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若函数为偶函数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意是偶函数，所以，解得，又，所以.故选：A.4.“扇形窗下清风徐”.如图所示是一个扇子形窗，其所在的扇形半径为，圆心角为，窗子左右两边的边框长度都为，则该窗的面积约为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知：扇形的圆心角为，大扇形的半径为，小扇形的半径为，所以该窗的面积为.故选：C.5.函数的定义域为，则值域为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为函数的定义域为，且在内单调递增，可知在内单调递增，可知在内的最小值为，最大值为，所以值域为.故选：A.6.已知函数图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（）A B.C. D.【答案】B【解析】设题设函数为，由图可知，若，但此时，矛盾，故可排除D；由为偶函数，若，则，矛盾，故排除A；在有零点，若，则时，，矛盾，故排除C，经检验，B选项在函数的零点奇偶性等方面均符合题意.故选：B.7.已知，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，故，则由，可得，故.故选：D.8.已知函数，.甲：当时，函数单调递减；乙：函数关于直线对称；丙：当时，函数单调递增；丁：函数图象的一个对称中心为.甲、乙、丙、丁四人对函数的论述中有且只有两人正确，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】对于甲：因为的单调递增区间为，关于单调递增，所以不存在任何区间使得单调递减，故甲错误；对于乙：因为的图象不存在对称轴，而函数的图象是由函数的图象向左平移个单位得到的，所以函数的图象也不存在对称轴，故乙错误；由题意甲、乙、丙、丁四人对函数的论述中有且只有两人正确，故只能丙丁论述正确，若丙论述正确，即当时，函数单调递增，则当时，关于单调递增，由复合函数单调性可知此时应该有，解得，所以此时满足题意，当时，关于单调递增，但，即存在使得，无意义，所以此时不满足题意，综上所述，满足题意的的取值范围为，若丁论述正确，则，解得，结合的取值范围为可知，只能，综上所述，实数的值为.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数在区间上的最小值为，则区间可以为（）A B. C. D.【答案】ABC【解析】由题意知函数在区间上的最小值为，令，即，当时，，当时，，故区间可以为，，，A，B，C正确；当时，，此时，的值取不到，D错误.故选：ABC.10.已知，下列命题正确的是（）A.命题“，”的否定是“，使得成立”B.若命题“，恒成立”为真命题，则C.“”是“方程有实数解”的充分不必要条件D.若命题“，”为真命题，则【答案】BCD【解析】对于选项A：命题“，”的否定是“，使得成立”，故A错误；对于选项B：若命题“，恒成立”为真命题，注意到的图象开口向上，则，解得，故B正确；对于选项C：若，则，可知方程有实数解，即充分性成立；例如，方程有实数解，不满足，即必要性不成立，所以“”是“方程有实数解”的充分不必要条件，故C正确；对于选项D：若命题“，”为真命题，注意到的图象开口向上，对称轴为，则，解得，故D正确.故选：BCD.11.已知函数，则（）A.为奇函数B.当时，的最小值为C.当时，的最小值为D.函数在存在零点的充要条件是【答案】AD【解析】对于A，定义域关于原点对称，且，所以为奇函数，故A正确；对于B，取时，此时单调递增，最小值为，而无意义，故B错误；对于C，取时，此时在上单调递减，不是最小值，故C错误；对于D，若，则，而，所以函数在存在零点的充要条件是，故D正确.故选：AD.12.下列不等关系成立的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】对于A，，故，故，A正确；对于B，，则，则，B正确；对于C，，故，故，C错误；对于D，，则，故，D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.求值_______________.【答案】【解析】.故答案为：.14.已知，则__________.【答案】6【解析】因为，所以.故答案为：6.15.幂函数满足下列性质：（1）对定义域中任意的，有；（2）对中任意的，都有，请写出满足这两个性质的一个幂函数的表达式_______________.【答案】（答案不唯一）【解析】由题意知幂函数满足性质：对定义域中任意的，有，则函数为偶函数；又函数满足对中任意的，都有，可知函数为上的单调递减函数，故满足题目中要求.故答案为：.16.已知，.如，则__________；如，则___________.【答案】或或或【解析】由题意知，，故，即，若，则；若，则或或或，故答案为：或或或.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合，.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）当时，，或，或，所以或.（2）因为，所以集合不可能是空集，若，所以或，解得或，即实数的取值范围为.18.已知函数（其中，）的最小正周期为，且___________.①点在函数的图象上；②函数的一个零点为；③的一个增区间为.请你从以上三个条件选择一个（如果选择多个，则按选择的第一个给分），补充完整题目，并求解下列问题：（1）求的解析式；（2）用“五点作图法”画出函数一个周期内的图象.解：（1）由题意最小正周期为，解得，所以，若选①，则，所以，又，所以，所以函数的解析式为；若选②，则，所以，又，所以，所以函数的解析式为；若选③，即的一个增区间为，当时，，又，由复合函数单调性可知，只能，，所以函数的解析式为；综上所述，无论选哪个条件，函数的解析式均为.（2）列表如下：00100描点、连线（光滑曲线）画出函数一个周期内的图象如图所示：19.已知，，设.（1）若，求，的值；（2）若，求的值.解：（1）因为，两边平方可得，解得，所以，.（2）因为