2023-2024学年河南省南阳市南阳六校高一上学期1月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省南阳市南阳六校2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】集合，，则.故选：A.2.如图，某学校共有教师200人，按老年教师、中年教师、青年教师的比例用分层随机抽样的方法从中抽取一个60人的样本，则被抽到的青年教师的人数为（）A24 B.18 C.12 D.6【答案】B【解析】青年教师的比例为，所以青年教师被抽出的人数为．故选：B．3.已知个数据的中位数是，则下列说法正确的是（）A.这个数据中一定有且仅有个数小于或等于B.把这个数据从小到大排列后，是第个数据C.把这个数据从小到大排列后，是第个和第51个数据的平均数D.把这个数据从小到大排列后，是第个和第个数据的平均数【答案】C【解析】若这个数都是8，则有个数据的中位数是8，故A错误；因为为偶数，所以第个和第个数据的平均数为中位数，故C正确，B，D不正确故选：C.4.函数的值域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】法一：因为且，所以当时，，当时，；当时，，所以函数的最小值为，最大值为3，故函数的值域为.法二：画出的草图，如图所示，由图象可知函数的最小值为，最大值为3，故函数的值域为.故选：D.5.在科技史上，对数的发明大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数对估算“天文数字”具有独特优势.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由于，设，则，所以，即.故选：C．6.已知是定义在上的偶函数，在上单调递增，且，则不等式的解集为（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】因为是定义在上的偶函数，在上单调递增，且，所以在上单调递减，且，所以，当或时，；当或时，，那么要求的解集，分两种情况即可，当时，，解得；当时，，解得或，综上，得或，所以不等式的解集为或.故选：C.7.甲、乙、丙三人参加“社会主义核心价值观”演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（）A.14 B. C. D.【答案】D【解析】设甲、乙、丙获得一等奖的概率分别是，，，则不获一等奖的概率分别是，，，则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为：，这三人都获得一等奖的概率为，所以这三人中至少有两人获得一等奖概率.故选：D.8.已知函数，若，，则实数的最大值为（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，所以，令，因为恒成立，所以恒成立，亦即恒成立，又，当且仅当时，等号成立，故，所以.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列叙述正确的是（）A.设，则“”是“”的充要条件B.若幂函数在上单调递增，则实数的值为C.，D.命题“，”的否定是“，”【答案】BCD【解析】对于A，若，则或，若，则，所以“”是“”的必要不充分条件，故A错误；对于B，因为函数既是幂函数又在上单调递增，所以即解得，故B正确；对于C，在同一平面直角坐标系中画出与的图象，由图可知，，，故C正确；对于D，根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知，命题“，”的否定是“，”，故D正确.故选：BCD.10.已知函数，且，则下列式子可能成立的是（）A.， B. C. D.，【答案】ABD【解析】在同一直角坐标系内画出函数，的大致图象，如下图：然后再画一条与轴平行的直线，由①可得，可能成立；由②可得可能成立；由③可得，可能成立.故ABD正确；对于C：若，则，即，故C错误.故选：ABD.11.某地环境部门对辖区内甲、乙、丙、丁四个地区的环境治理情况进行检查督导，若一地区连续10天每天的空气质量指数均不大于100，则认为该地区的环境治理达标，否则认为该地区的环境治理不达标.根据连续10天检测所得数据的数字特征推断，环境治理一定达标的地区是（）A.甲地区：平均数为90，方差为10 B.乙地区：平均数为60，众数为50C.丙地区：中位数为50，极差为70 D.丁地区：极差为20，80%分位数为80【答案】AD【解析】设每天的空气质量指数为（，2，…，10），则方差，对于A，由，得，若这10天中有1天的空气质量指数大于100，则必有，矛盾，所以这10天每天的空气质量指数都不大于100，故A正确；对于B，假设有8天为50，有1天为140，有1天为60，此时平均数为60，众数为50，但该地区的环境治理不达标，故B错误；对于C，假设第1天为120，后面9天为50，此时中位数为50，极差为70，但该地区的环境治理不达标，故错误；对于D，如果最大值大于100，根据极差为20，则最小值大于80，这与分位数为80矛盾，故最大值不大于100，故D正确.故选：AD.12.我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，已知关于实数x，y的二元函数，则以下说法正确的是（）A.B.对任意的，C.若对任意实数，，则实数的取值范围是D.若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是【答案】BD【解析】对于A，，，即，故A错误；对于B，，当且仅当，即时，等号成立，故B正确；对于C，恒成立，即恒成立，则，解得，故C错误；对于D，由题可知存在，使得成立，设，因为，要满足条件，则①，或②，由①得，由②得，综上，得的取值范围是，故D正确.故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.__________.【答案】0【解析】原式.故答案为：0.14.为了解全校学生平均每年阅读多少本书，甲同学抽取了一个容量为20的样本，并算得样本的平均数为5，方差为1；乙同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为4，方差为1.已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为30的样本，则合在一起后的样本方差为__________.【答案】【解析】依题意，合在一起后的样本平均数为，故合在一起后样本方差为故答案为：.15.某产品的质量检验包括生产过程检验（1PQC）、出货检验（OQC）两个环节，1PQC通过后才能进入OQC环节，OQC通过后才是合格产品.每个检验环节有两次机会（第一次检验未通过可修复后进行第二次检验），已知每个产品每个检验环节第一次通过的概率均为，第二次通过的概率均为，且每次检验是否通过相互独立，则每个产品成为合格品的概率为__________.【答案】【解析】每个环节两次检验都不通过的概率为，则每个环节通过的概率均为，所以每个产品成为合格品的概率为.故答案为：.16.已知函数有3个不同的零点则实数的取值范围是__________；若，则__________.【答案】【解析】令，解得或，作出的图象如图：要使有3个不同的零点，则的图象与直线和一共有3个交点，由图可知当即时，的图象与直线有1个交点，与直线有2个交点，符合条件，易得，所以，即，不妨设，由，得，由，得，所以.故答案为：.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合，.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围.解：（1）由得，故集合，由得，因为，，故集合，若，则，所以.（2）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，则有，（两个等号不同时成立），解得，经验证符合题意，所以实数的取值范围是.18.某学校开设了街舞、围棋、武术三个社团，三个社团参加的人数如下表所示：社团街舞围棋武术人数484230为调查社团活动开展情况，学校社团管理部采用分层随机抽样的方法从中抽取一个样本，已知从围棋社团抽取的同学比从街舞社团抽取的同学少1人.（1）求三个社团分别抽取了多少同学；（2）已知从围棋社团抽取的同学中有2名女生，若从围棋社团被抽取的同学中随机选出2人担任该社团活动监督的职务，求至少有1名女同学担任监督职务的概率.解：（1）设抽样比为，则由分层随机抽样可知，街舞、围棋、武术三个社团抽取的人数分别为，，，由题意得，解得，故街舞、围棋、武术三个社团抽取的人数分别为，，.（2）由（1）知，从围棋社团抽取的同学有7人，其中2名女生记为A，B，5名男生记为C，D，E，F，G.从中随机选出2人担任该社团活动监督职务，有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种不同的结果，至少有1名女同学担任监督职务，有，，，，，，，，，，，共11种不同的结果，所以至少有1名女同学担任监督职务的概率为.19.已知函数.（1）求的最小值；（2）若对任意的，，求实数的取值范围.解：（1）对任意的，都有，所以，当且仅当，即时等号成立，即的最小值为.（2）对任意的，有，即恒成立，则需对于任意恒成立，令，则，函数，当时，函数取到最小值为，所以实数的取值范围为.20.已知是偶函数.（1）求m的值；（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.解：（1）因为为偶函数，且定义域为，所以对任意的，，即对任意的恒成立，则恒成立，所以，.（2）不等式对任意的恒成立，需对任意的恒成立，令，，因为，所以，所以，即，所以的取值范围是.21.某家面包店以往每天制作120个三明治，为了解销售情况，店长统计了去年三明治的日销售量（单位：个），并绘制频率分布直方图如图所示.（1）求图中a的值，并估计该面包店去年（按360天算）三明治日销售量不少于100个的天数；（2）估计该面包店去年三明治日销售量的平均数；（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表）（3）由于三明治的保质期只有一天，为了避免浪费，店长决定今年减少每天三明治的制作量，但要求有70%的天数可以满足顾客的需求，估计每天应该制作多少个三明治.解：（1）由，解得，日销售量不少于100个的频率为，则估计该面包店去年三明治日销售量不少于100个的天数为.（2）由题图知，平均数为：，故估计该面包店去年三明治日销售量的平均数为89.75.（3）由题意，即求三明治日销售量的分位数，设为，对应的频率，对应的频率，故，由，得，故估计每天应该制作95个三明治.22.已知函数的定义域为且满足，，将的图象先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象.（1）分别求与的解析式；（2）设函数，若在区间上有零点，求实数的取值范围.解：（1）令，，则，，所以，则，由题意可得，.（2），令，当时，，函数有零点等价于关于的方程在上有解，令，则，，所以，由双勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，当时，该函数取得最小值，即，当时，该函数取得最大值，即，因此，实数m的取值范围为.河南省南阳市南阳六校2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】集合，，则.故选：A.2.如图，某学校共有教师200人，按老年教师、中年教师、青年教师的比例用分层随机抽样的方法从中抽取一个60人的样本，则被抽到的青年教师的人数为（）A24 B.18 C.12 D.6【答案】B【解析】青年教师的比例为，所以青年教师被抽出的人数为．故选：B．3.已知个数据的中位数是，则下列说法正确的是（）A.这个数据中一定有且仅有个数小于或等于B.把这个数据从小到大排列后，是第个数据C.把这个数据从小到大排列后，是第个和第51个数据的平均数D.把这个数据从小到大排列后，是第个和第个数据的平均数【答案】C【解析】若这个数都是8，则有个数据的中位数是8，故A错误；因为为偶数，所以第个和第个数据的平均数为中位数，故C正确，B，D不正确故选：C.4.函数的值域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】法一：因为且，所以当时，，当时，；当时，，所以函数的最小值为，最大值为3，故函数的值域为.法二：画出的草图，如图所示，由图象可知函数的最小值为，最大值为3，故函数的值域为.故选：D.5.在科技史上，对数的发明大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数对估算“天文数字”具有独特优势.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由于，设，则，所以，即.故选：C．6.已知是定义在上的偶函数，在上单调递增，且，则不等式的解集为（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】因为是定义在上的偶函数，在上单调递增，且，所以在上单调递减，且，所以，当或时，；当或时，，那么要求的解集，分两种情况即可，当时，，解得；当时，，解得或，综上，得或，所以不等式的解集为或.故选：C.7.甲、乙、丙三人参加“社会主义核心价值观”演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（）A.14 B. C. D.【答案】D【解析】设甲、乙、丙获得一等奖的概率分别是，，，则不获一等奖的概率分别是，，，则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为：，这三人都获得一等奖的概率为，所以这三人中至少有两人获得一等奖概率.故选：D.8.已知函数，若，，则实数的最大值为（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，所以，令，因为恒成立，所以恒成立，亦即恒成立，又，当且仅当时，等号成立，故，所以.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列叙述正确的是（）A.设，则“”是“”的充要条件B.若幂函数在上单调递增，则实数的值为C.，D.命题“，”的否定是“，”【答案】BCD【解析】对于A，若，则或，若，则，所以“”是“”的必要不充分条件，故A错误；对于B，因为函数既是幂函数又在上单调递增，所以即解得，故B正确；对于C，在同一平面直角坐标系中画出与的图象，由图可知，，，故C正确；对于D，根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知，命题“，”的否定是“，”，故D正确.故选：BCD.10.已知函数，且，则下列式子可能成立的是（）A.， B. C. D.，【答案】ABD【解析】在同一直角坐标系内画出函数，的大致图象，如下图：然后再画一条与轴平行的直线，由①可得，可能成立；由②可得可能成立；由③可得，可能成立.故ABD正确；对于C：若，则，即，故C错误.故选：ABD.11.某地环境部门对辖区内甲、乙、丙、丁四个地区的环境治理情况进行检查督导，若一地区连续10天每天的空气质量指数均不大于100，则认为该地区的环境治理达标，否则认为该地区的环境治理不达标.根据连续10天检测所得数据的数字特征推断，环境治理一定达标的地区是（）A.甲地区：平均数为90，方差为10 B.乙地区：平均数为60，众数为50C.丙地区：中位数为50，极差为70 D.丁地区：极差为20，80%分位数为80【答案】AD【解析】设每天的空气质量指数为（，2，…，10），则方差，对于A，由，得，若这10天中有1天的空气质量指数大于100，则必有，矛盾，所以这10天每天的空气质量指数都不大于100，故A正确；对于B，假设有8天为50，有1天为140，有1天为60，此时平均数为60，众数为50，但该地区的环境治理不达标，故B错误；对于C，假设第1天为120，后面9天为50，此时中位数为50，极差为70，但该地区的环境治理不达标，故错误；对于D，如果最大值大于100，根据极差为20，则最小值大于80，这与分位数为80矛盾，故最大值不大于100，故D正确.故选：AD.12.我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，已知关于实数x，y的二元函数，则以下说法正确的是（）A.B.对任意的，C.若对任意实数，，则实数的取值范围是D.若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是【答案】BD【解析】对于A，，，即，故A错误；对于B，，当且仅当，即时，等号成立，故B正确；对于C，恒成立，即恒成立，则，解得，故C错误；对于D，由题可知存在，使得成立，设，因为，要满足条件，则①，或②，由①得，由②得，综上，得的取值范围是，故D正确.故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.__________.【答案】0【解析】原式.故答案为：0.14.为了解全校学生平均每年阅读多少本书，甲同学抽取了一个容量为20的样本，并算得样本的平均数为5，方差为1；乙同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为4，方差为1.已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为30的样本，则合在一起后的样本方差为__________.【答案】【解析】依题意，合在一起后的样本平均数为，故合在一起后样本方差为故答案为：.15.某产品的质量检验包括生产过程检验（1PQC）、出货检验（OQC）两个环节，1PQC通过后才能进入OQC环节，OQC通过后才是合格产品.每个检验环节有两次机会（第一次检验未通过可修复后进行第二次检验），已知每个产品每个检验环节第一次通过的概率均为，第二次通过的概率均为，且每次检验是否通过相互独立，则每个产品成为合格品的概率为__________.【答案】【解析】每个环节两次检验都不通过的概率为，则每个环节通过的概率均为，所以每个产品成为合格品的概率为.故答案为：.16.已知函数有3个不同的零点则实数的取值范围是__________；若，则__________.【答案】【解析】令，解得或，作出的图象如图：要使有3个不同的零点，则的图象与直线和一共有3个交点，由图可知当即时，的图象与直线有1个交点，与直线有2个交点，符合条件，易得，所以，即，不妨设，由，得，由，得，所以.故答案为：.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合，.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围.解：（1）由得，故集合，由得，因为，，故集合，若，则，所以.（2）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，则有，（两个等号不同时成立），解得，经验证符合题意，所以实数的取值范围是.18.某学校开设了街舞、围棋、武术三个社团，三个社团参加的人数如下表所示：社团街舞围棋武术人数484230为调查社团活动开展情况，学校社团管理部采用分层随机抽样的方法从中抽取一个样本，已知从围棋社团抽取的同学比从街舞社团抽取的同学少1人.（1）求三个社团分别抽取了多少同学；（2）已知从围棋社团抽取的同学中有2名女生，若从围棋社团被抽取的同学中随机选出2人担任该社团活动监督的职务，求至少有1名女同学担任监督职务的概率.解：（1）设抽样比为，则由分层随机抽样可知，街舞、围棋、武术三个社团抽取的人数分别为，，，由题意得，解得，故街舞、围棋、武术三个社团抽取的人数分别为，，.（2）由（1）知，从围棋社团抽取的同学有7人，其中2名女生记为A，B，5名男生记为C，D，E，F，G.从中随机选出2人担任该社团活动监督职务，有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种不同的结果，至少有1名女同学担任监督