2023-2024学年河南省百师联考高一上学期1月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省百师联考2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数的定义域是（）A. B.C D.【答案】D【解析】要使函数有意义，则应有，解得且，所以函数的定义域为.故选：D.2.已知，且，且，下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】对于A项，根据对数的运算可知，，故A错误；对于B项，根据对数的运算可知，，故B错误；对于C项，根据换底公式可知，，故C正确；对于D项，根据对数的运算可知，，故D错误.故选：C.3.已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表：01233.10.1-0.9-3那么函数一定存在零点的区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由于f（1）＞0，f（2）＜0，根据函数零点的存在定理可知故函数f（x）在区间（1，2）内一定有零点，其他区间不好判断．故选：B．4.如图是某市连续16日的空气质量指数趋势统计图，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，则下列说法不正确的是（）A.这16日空气重度污染的频率为0.5B.该市出现过连续4天空气重度污染C.这16日的空气质量指数的中位数为203D.这16日的空气质量指数的平均值大于200【答案】D【解析】这16日空气重度污染的频率为，故A中说法正确；12日，13日，14日，15日连续4天空气重度污染，故B中说法正确：中位数为，故C中说法正确；，故D中说法不正确．故选：D.5.“”是“不等式对任意的恒成立”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】当时，对任意的恒成立；当时，要使不等式对任意的恒成立，则应有，解得，综上所述，的取值范围为，显然“”包含的范围包含于“”包含的范围，“”是“不等式对任意的恒成立”的充分不必要条件.故选：A.6.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由已知的定义域为，关于原点对称，且，所以是偶函数，故C、D错误；当时，，所以，故B错误.故选：.7.下列说法中，正确的是（）A.某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票一定会中奖B.做7次拋硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是C.若事件两两互斥，则D.任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是3的倍数的概率是【答案】D【解析】对于A项，由于事件结果的随机性，购买100张彩票不一定会中奖，故A错误；对于B项，做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的频率是，不是概率为，故B错误；对于C项，事件两两互斥，比如投掷质地均匀的骰子试验中，三个事件：投掷出1点，2点，3点，这三个事件两两互斥，但这三个事件的和事件发生的概率为，故C错误；对于D项，任意投掷两枚质地均匀的骰子共包含36个等可能的样本点，其中点数和是3的倍数的情况有，共12个样本点，根据古典概型的概率公式，可得概率是，故D正确.故选：D.8.设函数，则关于x的不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】函数中，对任意实数，，即函数的定义域为R，，即函数是偶函数，当时，，当且仅当时取等号，有，则，显然在上都递减，因此在上递减，在上递减，而函数在上递减，从而函数在上递减，则在上递增，不等式，于是，两边平方整理得，解得，所以不等式的解集.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对于实数a，b，c，下列命题正确的是（）A.若，则B.若，，则C.若，a，b同号，则D.若，则【答案】BCD【解析】若，当时可得，故A错误；若，，则，，故B正确；若，则，又因为a，b同号，故，所以，则，故C正确；若，则，，，故D正确．故选：BCD．10.下图是某厂实施“节能减碳”措施前后，总产量y与时间x（月）的函数图象，则该厂（）A.前3个月的月产量逐月增加 B.第5月的月产量比第4个月少C.第6月的月产量与第5个月持平 D.第3个月结束后开始减产，直至停产【答案】ACD【解析】前三个月，图象缓慢上升，且函数值增加越来越大，故前3个月的月产量逐月增加，A正确；从3月开始到5月，图象缓慢上升，但函数值增加的幅度变小，且第6月的月产量与第5个月持平，故CD正确，B错误.故选：ACD.11.若函数在定义域内的某区间上单调递增，且在上也单调递增，则称在上是“强增函数”，则下列说法正确的是（）A.若函数，则存在使是“强增函数”B.若函数，则为定义在上的“强增函数”C.若函数，则存在区间，使在上不是“强增函数”D.若函数在区间上是“强增函数”，则【答案】ACD【解析】对于A，对勾函数的单调性可得函数在上为增函数，而函数在上为增函数，所以存在使是“强增函数”，如，故A正确；对于B，因为，所以函数在上不是增函数，所以不是定义在上的“强增函数”，故B错误；对于C，函数在上单调递增，令，因为，所以函数在上不是增函数，故存在区间，使在上不是“强增函数”，如，故C正确；对于D，若函数在区间上是“强增函数，则函数在上都是增函数，由函数在区间上是增函数，得，解得，因为函数在区间上是增函数，当时，在区间上是增函数，符合题意，当时，因为函数在上都是增函数，所以函数在区间上是增函数，符合题意，当时，，由对勾函数得单调性可知函数在上单调递增，所以，所以，综上所述，，因为函数在上都是增函数，所以，所以，故D正确.故选：ACD.12.已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据的平均数为，方差为；第二部分样本数据的平均数为，方差为，设，则以下命题正确的是（）A.设总样本的平均数为，则B.设总样本的平均数为，则C.设总样本的方差为，则D.若，则【答案】AD【解析】对于A选项，因为，所以，，即，A正确；对于B选项，取第一部分数据为，则，，取第二部分数据为，则，，则，B不正确；对于C选项，取第一部分数据为，则，，取第二部分数据为，则，，则，，C不正确；对于D选项，若，则，，D正确.故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知且，则的最小值为__________.【答案】【解析】，当且仅当，即时等号成立，所以，的最小值为.故答案为：.14.若函数，（，且）的图象过定点A，且点A在幂函数上，则__________.【答案】1【解析】由可得，，，所以函数过定点，因为函数为幂函数，所以，解得，，又点A在函数上，所以，，因为，所以.故答案为：1.15.已知函数，（，且）是R上的单调函数，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】根据已知结合二次函数的性质，可知当时，函数单调递减，所以，函数在R上单调递减，所以，有，解得，即实数的取值范围是.故答案为：.16.①某班有男生30人，女生20人，现用分层抽样的方法从其中抽10名同学进行体质健康测试，则应抽取男生6人；②某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，则正面朝上的概率为0.6；③一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的75%分位数为4，上述结论正确的是__________.【答案】①③【解析】对于①，男生应抽取人，故①正确；对于②，某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，则正面朝上的频率为0.6，但是无论掷硬币多少次，硬币正面朝上概率均为0.5，故②错误；对于③，这组数据从小到大排列依次为：，因为，所以分位数为4，故③正确.故答案为：①③.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知集合，集合.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）由可得，，所以，解得，所以，当时，，由可得，，解得或，所以，或，所以，.（2）因为，则由可得，或，即或，所以，或.因为，，所以有，解得，所以，.18.已知函数（且）．（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）若，求函数的值域．解：（1）函数是奇函数，依题意，，解得或，即的定义域为，又，所以函数是奇函数．（2）当a＝2时，，，显然，则有，即，而在上递增，因此，所以的值域是.19.某调研小组调查了某市1000名外卖骑手平均每天完成的任务量（简称“单量”），得到如下的频数分布表：单量/单人数100120130180220150603010（1）补全该市1000名外卖骑手每天单量的频率分布直方图；（2）根据图表数据，试求样本数据的中位数（精确到0.1）；（3）根据外卖骑手的每天单量，参考某平台的类别将外卖骑手分成三类，调查获知不同类别的外卖骑手开展工作所投入的装备成本不尽相同，如下表：日单量/单类別普通骑手精英骑手王牌骑手装备价格/元250040004800根据以上数据，估计该市外卖骑手购买装备的平均成本.解：（1）由第二组的频数得频率为，从而第二组矩形的高为，由第四组的频数得频率为，从而第二组矩形的高为，补全该市1000名外卖骑手周单量的频率分布直方图，如下：（2）由已知可得，样本数据分布在之间的频率为；样本数据分布在之间的频率为，设样本数据的中位数为，则，且有，解得，即样本数据的中位数约为29.2.（3）依题意可知，被调查的1000人中，普通骑手共有（人），精英骑手共有（人），王牌骑手共有（人），所以，这1000名外卖骑手购买装备的平均成本为：（元），所以估计该市外卖骑手购买装备的平均成本为3750元.20.已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）求不等式的解集.解：（1）当时，，此时，且单调递减；当时，，此时，且单调递增，所以，，又时，单调递增，所以，函数的单调递增区间为，.（2）由（1）知，，当时，恒成立；当时，，解可得，；解可得，；当时，，解可得，；解可得，，综上所述，的解集为，所以，由，可得，当时，由可得，，解得；当时，由可得，，解得；当时，由可得，，解得，综上，不等式解集为.21.已知函数是偶函数．（1）求a的值；（2）设，，若，存在，使得，求m的取值范围．解：（1）的定义域为，是偶函数，所以，即，，，，，，即，对，上式都成立，，即.（2），，存在，使得，在上的最小值不小于在上的最小值，在上单调递增，，，在上单调递减，在上单调递增，，，解得，m取值范围为.22.为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表：游戏一游戏二游戏三箱子中球的颜色和数量大小质地完全相同的红球3个，白球2个（红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”）取球规则取出一个球有放回地依次取出两个球不放回地依次取出两个球获胜规则取到白球获胜取到两个白球获胜编号之和为获胜（1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；（2）一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大．解：（1）设事件“游戏一获胜”，“游戏二获胜”，“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为，则，因为，所以，，所以游戏一获胜的概率为，游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间，则，因为，所以，所以，所以游戏二获胜的概率为．（2）设“先玩游戏二，获得书券”，“先玩游戏三，获得书券”，则，且，，互斥，相互独立，所以，又，且，，互斥，所以，若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率大，则，所以，即，进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表：第二次第一次1234512345当时，，舍去当时，，满足题意，因此的所有可能取值为．河南省百师联考2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数的定义域是（）A. B.C D.【答案】D【解析】要使函数有意义，则应有，解得且，所以函数的定义域为.故选：D.2.已知，且，且，下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】对于A项，根据对数的运算可知，，故A错误；对于B项，根据对数的运算可知，，故B错误；对于C项，根据换底公式可知，，故C正确；对于D项，根据对数的运算可知，，故D错误.故选：C.3.已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表：01233.10.1-0.9-3那么函数一定存在零点的区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由于f（1）＞0，f（2）＜0，根据函数零点的存在定理可知故函数f（x）在区间（1，2）内一定有零点，其他区间不好判断．故选：B．4.如图是某市连续16日的空气质量指数趋势统计图，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，则下列说法不正确的是（）A.这16日空气重度污染的频率为0.5B.该市出现过连续4天空气重度污染C.这16日的空气质量指数的中位数为203D.这16日的空气质量指数的平均值大于200【答案】D【解析】这16日空气重度污染的频率为，故A中说法正确；12日，13日，14日，15日连续4天空气重度污染，故B中说法正确：中位数为，故C中说法正确；，故D中说法不正确．故选：D.5.“”是“不等式对任意的恒成立”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】当时，对任意的恒成立；当时，要使不等式对任意的恒成立，则应有，解得，综上所述，的取值范围为，显然“”包含的范围包含于“”包含的范围，“”是“不等式对任意的恒成立”的充分不必要条件.故选：A.6.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由已知的定义域为，关于原点对称，且，所以是偶函数，故C、D错误；当时，，所以，故B错误.故选：.7.下列说法中，正确的是（）A.某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票一定会中奖B.做7次拋硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是C.若事件两两互斥，则D.任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是3的倍数的概率是【答案】D【解析】对于A项，由于事件结果的随机性，购买100张彩票不一定会中奖，故A错误；对于B项，做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的频率是，不是概率为，故B错误；对于C项，事件两两互斥，比如投掷质地均匀的骰子试验中，三个事件：投掷出1点，2点，3点，这三个事件两两互斥，但这三个事件的和事件发生的概率为，故C错误；对于D项，任意投掷两枚质地均匀的骰子共包含36个等可能的样本点，其中点数和是3的倍数的情况有，共12个样本点，根据古典概型的概率公式，可得概率是，故D正确.故选：D.8.设函数，则关于x的不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】函数中，对任意实数，，即函数的定义域为R，，即函数是偶函数，当时，，当且仅当时取等号，有，则，显然在上都递减，因此在上递减，在上递减，而函数在上递减，从而函数在上递减，则在上递增，不等式，于是，两边平方整理得，解得，所以不等式的解集.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对于实数a，b，c，下列命题正确的是（）A.若，则B.若，，则C.若，a，b同号，则D.若，则【答案】BCD【解析】若，当时可得，故A错误；若，，则，，故B正确；若，则，又因为a，b同号，故，所以，则，故C正确；若，则，，，故D正确．故选：BCD．10.下图是某厂实施“节能减碳”措施前后，总产量y与时间x（月）的函数图象，则该厂（）A.前3个月的月产量逐月增加 B.第5月的月产量比第4个月少C.第6月的月产量与第5个月持平 D.第3个月结束后开始减产，直至停产【答案】ACD【解析】前三个月，图象缓慢上升，且函数值增加越来越大，故前3个月的月产量逐月增加，A正确；从3月开始到5月，图象缓慢上升，但函数值增加的幅度变小，且第6月的月产量与第5个月持平，故CD正确，B错误.故选：ACD.11.若函数在定义域内的某区间上单调递增，且在上也单调递增，则称在上是“强增函数”，则下列说法正确的是（）A.若函数，则存在使是“强增函数”B.若函数，则为定义在上的“强增函数”C.若函数，则存在区间，使在上不是“强增函数”D.若函数在区间上是“强增函数”，则【答案】ACD【解析】对于A，对勾函数的单调性可得函数在上为增函数，而函数在上为增函数，所以存在使是“强增函数”，如，故A正确；对于B，因为，所以函数在上不是增函数，所以不是定义在上的“强增函数”，故B错误；对于C，函数在上单调递增，令，因为，所以函数在上不是增函数，故存在区间，使在上不是“强增函数”，如，故C正确；对于D，若函数在区间上是“强增函数，则函数在上都是增函数，由函数在区间上是增函数，得，解得，因为函数在区间上是增函数，当时，在区间上是增函数，符合题意，当时，因为函数在上都是增函数，所以函数在区间上是增函数，符合题意，当时，，由对勾函数得单调性可知函数在上单调递增，所以，所以，综上所述，，因为函数在上都是增函数，所以，所以，故D正确.故选：ACD.12.已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据的平均数为，方差为；第二部分样本数据的平均数为，方差为，设，则以下命题正确的是（）A.设总样本的平均数为，则B.设总样本的平均数为，则C.设总样本的方差为，则D.若，则【答案】AD【解析】对于A选项，因为，所以，，即，A正确；对于B选项，取第一部分数据为，则，，取第二部分数据为，则，，则，B不正确；对于C选项，取第一部分数据为，则，，取第二部分数据为，则，，则，，C不正确；对于D选项，若，则，，D正确.故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知且，则的最小值为__________.【答案】【解析】，当且仅当，即时等号成立，所以，的最小值为.故答案为：.14.若函数，（，且）的图象过定点A，且点A在幂函数上，则__________.【答案】1【解析】由可得，，，所以函数过定点，因为函数为幂函数，所以，解得，，又点A在函数上，所以，，因为，所以.故答案为：1.15.已知函数，（，且）是R上的单调函数，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】根据已知结合二次函数的性质，可知当时，函数单调递减，所以，函数在R上单调递减，所以，有，解得，即实数的取值范围是.故答案为：.16.①某班有男生30人，女生20人，现用分层抽样的方法从其中抽10名同学进行体质健康测试，则应抽取男生6人；②某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，则正面朝上的概率为0.6；③一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的75%分位数为4，上述结论正确的是__________.【答案】①③【解析】对于①，男生应抽取人，故①正确；对于②，某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，则正面朝上的频率为0.6，但是无论掷硬币多少次，硬币正面朝上概率均为0.5，故②错误；对于③，这组数据从小到大排列依次为：，因为，所以分位数为4，故③正确.故答案为：①③.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知集合，集合.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）由可得，，所以，解得，所以，当时，，由可得，，解得或，所以，或，所以，.（2）因为，则由可得，或，即或，所以，或.因为，，所以有，解得，所以，.18.已知函数（且）．（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）若，求函数的值域．解：（1）函数是奇函数，依题意，，解得或，即的定义域为，又，所以函数是奇函数．（2）当a＝2时，，，显然，则有，即，而在上递增，因此，所以的值域是.19.某调研小组调查了某市1000名外卖骑手平均每天完成的任务量（简称“单量”），得到如下的频数分布表：单量/单人数100120130180220150603010（1）补全该市1000名外卖骑手每天单量的频率分布直方图；（2）根据图表数据，试求样本数据的中位数（精确到0.1）；（3）根据外卖骑手的每天单量，参考某平台的类别将外卖骑手分成三类，调查获知不同类别的外卖骑手开展工作所投入的装备成本不尽相同，如下表：日单量/单类別普通骑手精英骑手王牌骑手装备价格/元250040004800根据以上数据，估计该市外卖骑手购买装备的平均成本.解：（1）由第二组的频数得频率为，从而第二组矩形的高为，由第四组的频数得频率为，从而第二组矩形的高为，补全该市1000名外卖骑手周单量的频率分布直方图，如下：（2）由已知可得，样本数据分布在之间的频率为；样本数据分布在之间的频率为，设样本数据的中位数为，则，且有，解得，即样本数据的中位数约为