2023-2024学年广东省茂名市高州市高二上学期期末教学质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省茂名市高州市2023-2024学年高二上学期期末教学质量监测数学试题注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区战内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工签，笔远清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章~第五章5.2.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数，则函数在处的瞬时变化率为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A【解析】由，可得.故选：A.2.抛物线的焦点坐标是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】抛物线标准方程为，其焦点坐标为故选：C.3.已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】由直线平面，得，则，所以.故选：D4.如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（）A B. C. D.【答案】B【解析】由该花瓶横截面圆的最小直径为，有，又由双曲线的离心率为，有，可得双曲线的方程为，代入，可得，故该花瓶的高为.故选：B.5.已知等差数列的前项和为，则数列的公差是（）A. B.2 C.3 D.5【答案】B【解析】，则，又，则，所以数列公差为，故选：B.6.已知直线与圆相交于两点，且,则实数（）A.或 B. C.或 D.【答案】A【解析】圆，即的半径为，圆心为，因为，所以点到直线的距离为，所以，解得或.故选：A.7.在数列中，，则的前2022项和为（）A.1771 B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，而，所以数列是以4为周期周期数列，所以的前2022项和.故选：C.8.如图，已知椭圆的左､右焦点分别为，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于两点，，，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设椭圆的焦距为，有，在中，由余弦定理有，有，可得，有.在中，由余弦定理有，可得.故选：B.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知两条平行直线，直线，直线，直线之间的距离为，则的值可以是（）A.-8 B.-6 C.2 D.4【答案】BC【解析】根据题意得直线可化为，直线之间的距离，所以，即或.故选：BC.10.已知为等差数列，满足为等比数列，满足，则下列说法正确的是（）A.数列的首项为4 B.C. D.数列的公比为【答案】BCD【解析】对于A项，设的公差为，由可得不能确定的值，故A项错误；对于B项，，故B项正确；对于C，D两项，设的公比为，由可得：则于是故C项正确；D项也正确.故选：BCD.11.如图，在直三棱柱中，为上一点，为上一点，，则（）A.直线和为异面直线B.异面直线与的夹角为C.D.【答案】BD【解析】因为，由已知得，所以在内，，所以，所以四点共面，故A不正确；因为，所以为异面直线与所成的角.因为，所以为等腰直角三角形，故B正确；因为，所以与相似，因为，所以.，故C不正确；因为，故D正确.故选：BD12.已知抛物线，点是抛物线准线上的一点，过点作抛物线的切线，切点分别为，，直线，的斜率分别为，，则下列说法正确的是（）A.直线恒过定点 B.C. D.的面积最小值为【答案】ACD【解析】设，，，因为，所以，，所以在点处的切线方程为，即，同理可得，在点处的切线方程为，所以，，故直线的方程为，直线恒过定点，故A选项正确；由，得，所以，，所以，，故B选项错误，C选项正确；，点到直线的距离，所以的面积，所以，故D选项正确．故选：ACD．三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在各项均为正数的等比数列中，，则__________.【答案】3【解析】.故答案为：314.曲线在点处的切线的倾斜角为__________.【答案】【解析】由，则，即切线斜率为1，倾斜角为.故答案为：.15.已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，过作的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则__________.【答案】【解析】如图，因为，所以，因可得：，即：，代入点，得：，又.故答案为：.16.正四面体的棱长为6，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，的面积为__________.【答案】【解析】由正四面体的棱长为6，则其高为，则其体积为，设正四面体内切球的半径为，则，解得，如图，取的中点为，则，显然，当的长度最小时，取得最小值，设正四面体内切球的球心为，可求得，则球心到点的距离，所以内切球上的点到点的最小距离为，是的中点，三点共线，，在中，边上的高为..故答案为：四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.17.已知数列的前项和为.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.解：（1）且，有，当时，有，两式相减得，当时，由，适合，所以.（2）由（1）知，，所以.18.已知椭圆的长轴长为4，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3．（1）求椭圆C的标准方程；（2）倾斜角为45°的直线l过椭圆的左焦点并交椭圆于M，N两点（O为坐标原点），求的面积．解：（1）根据题意得，∴椭圆C的标准方程为；（2）直线l的倾斜角为45°，可得斜率，左焦点为，l的方程为，直线与椭圆联立，显然，设，，，O到的距离，的面积为．19.已知点在圆上，直线平分圆.（1）求圆的标准方程；（2）求过点且与圆相切直线方程.解：（1）点在圆上，且直线平分圆，线段的中垂线过圆心，此中垂线与直线的交点即为圆心，线段的中点坐标为，斜率，则线段的中垂线方程为：，即，由，解得，即圆心坐标为，圆'C的半径，所以圆的标准方程为.（2）过点且与圆相切的直线，①当切线的斜率不存在时，直线与圆相切，②当切线的斜率存在时，设切线的方程为，整理为，有，解得，可得切线方程为，整理为，由①②知，过点且与圆相切的直线方程为或.20.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面平面.（1）当时，证明：平面；（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值.解：（1）如图，过点作的平行线，与相交于点，连接，，，四边形是平行四边形，，又平面平面平面；（2）如图，取的中点的中点，连，，平面平面，平面平面面，所以平面，，，由两两垂直，以为坐标原点，向量方向分别为轴方向建立如图所求的空间直角坐标系，可得，设平面的法向量为，由，有，取，可得，设平面的法向量为，由，.有，取，可得，所以，由和平面与平面的夹角的余弦值为，有，平方后整理为，解得或（舍去），故若平面与平面的夹角的余弦值为，可得的值为.21.治理垃圾是市改善环境的重要举措.去年市产生的垃圾量为100万吨，通过扩大宣传､环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续6年，每年的垃圾排放量比上一年减少10万吨，从第7年开始，每年的垃圾排放量为上一年的.（1）写出市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数的表达式；（2）设为从今年开始年内的年平均垃圾排放量.如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由.解：（1）设治理年后，市的年垃圾排放量构成数列.当时，是首项为，公差为-10的等差数列，所以；，当时，数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，所以，治理年后，市的年垃圾排放量的表达式为；（2）设为数列的前项和，则.由于，，由（1）知，时，，所以为递减数列，时，，所以为递减数列，且，所以为递减数列，于是，因此.所以数列为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，故认为现有的治理措施是有效的.22.在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，过点作垂直轴的直线交双曲线的渐近线分别于两点，且是面积为的等边三角形.（1）求双曲线的标准方程；（2）若点在直线上，点在双曲线上，且焦点在以线段为直径的圆上，分别记直线的斜率为，求的值.解：（1）是面积为的等边三角形，，，又，故双曲线的标准方程为；（2）设点的坐标为，设点的坐标为，由点在双曲线上，有，又由点在以线段为直径的圆上，可得，由，有，有，可得，又由，有，故的值为.广东省茂名市高州市2023-2024学年高二上学期期末教学质量监测数学试题注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区战内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工签，笔远清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章~第五章5.2.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数，则函数在处的瞬时变化率为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A【解析】由，可得.故选：A.2.抛物线的焦点坐标是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】抛物线标准方程为，其焦点坐标为故选：C.3.已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】由直线平面，得，则，所以.故选：D4.如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（）A B. C. D.【答案】B【解析】由该花瓶横截面圆的最小直径为，有，又由双曲线的离心率为，有，可得双曲线的方程为，代入，可得，故该花瓶的高为.故选：B.5.已知等差数列的前项和为，则数列的公差是（）A. B.2 C.3 D.5【答案】B【解析】，则，又，则，所以数列公差为，故选：B.6.已知直线与圆相交于两点，且,则实数（）A.或 B. C.或 D.【答案】A【解析】圆，即的半径为，圆心为，因为，所以点到直线的距离为，所以，解得或.故选：A.7.在数列中，，则的前2022项和为（）A.1771 B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，而，所以数列是以4为周期周期数列，所以的前2022项和.故选：C.8.如图，已知椭圆的左､右焦点分别为，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于两点，，，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设椭圆的焦距为，有，在中，由余弦定理有，有，可得，有.在中，由余弦定理有，可得.故选：B.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知两条平行直线，直线，直线，直线之间的距离为，则的值可以是（）A.-8 B.-6 C.2 D.4【答案】BC【解析】根据题意得直线可化为，直线之间的距离，所以，即或.故选：BC.10.已知为等差数列，满足为等比数列，满足，则下列说法正确的是（）A.数列的首项为4 B.C. D.数列的公比为【答案】BCD【解析】对于A项，设的公差为，由可得不能确定的值，故A项错误；对于B项，，故B项正确；对于C，D两项，设的公比为，由可得：则于是故C项正确；D项也正确.故选：BCD.11.如图，在直三棱柱中，为上一点，为上一点，，则（）A.直线和为异面直线B.异面直线与的夹角为C.D.【答案】BD【解析】因为，由已知得，所以在内，，所以，所以四点共面，故A不正确；因为，所以为异面直线与所成的角.因为，所以为等腰直角三角形，故B正确；因为，所以与相似，因为，所以.，故C不正确；因为，故D正确.故选：BD12.已知抛物线，点是抛物线准线上的一点，过点作抛物线的切线，切点分别为，，直线，的斜率分别为，，则下列说法正确的是（）A.直线恒过定点 B.C. D.的面积最小值为【答案】ACD【解析】设，，，因为，所以，，所以在点处的切线方程为，即，同理可得，在点处的切线方程为，所以，，故直线的方程为，直线恒过定点，故A选项正确；由，得，所以，，所以，，故B选项错误，C选项正确；，点到直线的距离，所以的面积，所以，故D选项正确．故选：ACD．三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在各项均为正数的等比数列中，，则__________.【答案】3【解析】.故答案为：314.曲线在点处的切线的倾斜角为__________.【答案】【解析】由，则，即切线斜率为1，倾斜角为.故答案为：.15.已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，过作的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则__________.【答案】【解析】如图，因为，所以，因可得：，即：，代入点，得：，又.故答案为：.16.正四面体的棱长为6，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，的面积为__________.【答案】【解析】由正四面体的棱长为6，则其高为，则其体积为，设正四面体内切球的半径为，则，解得，如图，取的中点为，则，显然，当的长度最小时，取得最小值，设正四面体内切球的球心为，可求得，则球心到点的距离，所以内切球上的点到点的最小距离为，是的中点，三点共线，，在中，边上的高为..故答案为：四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.17.已知数列的前项和为.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.解：（1）且，有，当时，有，两式相减得，当时，由，适合，所以.（2）由（1）知，，所以.18.已知椭圆的长轴长为4，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3．（1）求椭圆C的标准方程；（2）倾斜角为45°的直线l过椭圆的左焦点并交椭圆于M，N两点（O为坐标原点），求的面积．解：（1）根据题意得，∴椭圆C的标准方程为；（2）直线l的倾斜角为45°，可得斜率，左焦点为，l的方程为，直线与椭圆联立，显然，设，，，O到的距离，的面积为．19.已知点在圆上，直线平分圆.（1）求圆的标准方程；（2）求过点且与圆相切直线方程.解：（1）点在圆上，且直线平分圆，线段的中垂线过圆心，此中垂线与直线的交点即为圆心，线段的中点坐标为，斜率，则线段的中垂线方程为：，即，由，解得，即圆心坐标为，圆'C的半径，所以圆的标准方程为.（2）过点且与圆相切的直线，①当切线的斜率不存在时，直线与圆相切，②当切线的斜率存在时，设切线的方程为，整理为，有，解得，可得切线方程为，整理为，由①②知，过点且与圆相切的直线方程为或.20.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面平面.（1）当时，证明：平面；（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值.解：（1）如图，过点作的平行线，与相交于点，连接，，，四边形是平行四边形，，又平面平面平面；（2）如图，取的中点的中点，连，，平面平面，平面平面面，所以平面，，，由两两垂直，以为坐标原点，向量方向分别为轴方向建立如图