计量经济学（第2版）课件：向量自回归

ECONOMETRICS

教学目的和要求了解向量自回归模型的基本概念掌握向量自回归模型的应用方法掌握向量自回归的EVIEWS软件实现掌握向量自回归模型的检验方法了解向量自回归模型的估计原理0304050102课

程

内

容向量自回归模型概述向量自回归模型的应用向量自回归模型的检验向量自回归模型的估计03040102文化产业是第三产业的重要组成部分，具有知识密集性强、经济附加值高、资源消耗性低等特征。理论研究和发达国家的经验表明，大力发展文化产业，不仅可以直接拉动经济增长，而且它又可以通过优化产业结构、提高整体经济效率进而间接促进经济增长；反过来，经济增长迅速、经济规模扩大，既可以为文化产业发展提供雄厚资金、又可以为文化产业发展提供需求动力。目前，文化产业作为战略新兴产业各地都在加快推进发展。在我国区域经济发展，文化产业与经济增长之间是否存在相互促进、相互制约关系？两者之间存在着怎样的动态联系？等等，这些问题需要从定量角度进行测度分析，以便为政府制定相关政策提供依据。引子：文化产业与经济增长存在相互促进关系吗？410.1.1

模型基本形式假设存在一个时序系统内包含k个时序变量，分别为y1t

，y2t

，…，ykt

。每个时序变量都受其自身的滞后项以及系统其它变量滞后项的影响，于是一个包含k元变量、

滞后期为p阶的VAR(p)模型的基本形式为：y1t

=

y10

+

y111y1,t

−

1

+

.

.

.

+

y11py1,t

−p

+

.

.

.

+

y1k1yk,t

−

1

+

.

.

.

+

y1kpyk,t

−p

+

c1tykt

=

yk0

+

yk11y1,t

−

1

+

.

.

.

+

yk1py1,t

−p

+

.

.

.

+

ykk1yk,t

−

1

+

.

.

.

+

ykkpyk,t

−p

+ckt其中，yit表示第个方程的内生变量；yi0表示第i个方程的常数项；yijk表示第i个方程第j个内生变量滞后k期的系数；cit表示VAR(p)模型中第i个方程的随机扰动项且满足经典假定，但各个方程之间的随机扰动项可以存在同期相关性，即当t=q时，Cov

(cqt,cpt)=G

；当p

≠q时，Cov(cqt,cpt)=0。y2t

=

y20

+

y211y1,t

−

1

+

.

.

.

+

y2kpy1,t

−p

+

.

.

.

+

y2k1yk,t

−

1

+

.

.

.

+

y2kpyk,t

−p

+c2t10.1

向量自回归

(VAR)

模型概述5...现记Y为内生变量列向量，T为系数矩阵，c

为随机扰动项列向量，于是上式可以表示为：

Yt

=

T0+T1Yt−

1

+

.

.

.

+

Tp

Yt

−p

+

ct

。

这就是ooo(o)模型的基本形式。⋅

y1,

⋮yk1ppp1121yy⋅y1,t

−p

+⋯+cktttccy12p

⋯y1kp⋮⋱⋮将同期的滞后内生变量用矩阵反映：y22p

⋯y2kpyk2p

⋯

ykkp进一步将上式改写成矩阵形式：模型基本形式y1,t

−p⋮y1,t−1⋮y1k1y2k1⋮ykk1y121y221⋮yk21y111y211⋮yk11y111y211⋮yk11y10y20

=

⋮y10y20

=

⋮+⋯+y1ty2t⋮ykty1ty2t⋮yktyk,t

−py2,t

−pyk,t−

1y2,t−1c1tc2t⋮ckt⋯⋯⋱⋯yk1py11py21pyk0yk0⋅⋅+++6⋮(1)它是基于时序变量的数据关系结构而非经济理论为主导设定模型的，在模型设定时主要考虑包含哪些变量和滞后期长度。(2)它将每一个内生变量视为系统中所有内生变量滞后期值的函数来构造模型，是将单变量自回归模型推广到多变量的情形，即一般自回归模型的联立形式，或者说相当于简化式的经典联立方程模型。(3)它对参数不施加零约束，即参数估计值无论显著与否均被保留在模型中(不进行t检验)。(4)它不存在模型识别问题，每个方程均可看作独立的方程进行估计。(5)由于假定不存在自相关，所以各个方程中的解释变量均可视为前定变量，从而可以直接利用OLS法得到每个方程参数的一致估计量；实际应用中，可以通过增加滞后变量阶数来消除或弱化随机扰动项的自相关性问题。(6)它反映变量之间的动态变化关系，可以方便地用于经济发展预测，避免利用一般回归模型进行预测时需事先确定解释变量在预测期数值的难题。(7)它可用以进行脉冲响应分析和方差贡献分析，以揭示当对某一内生变量施加冲击时系统内各内生变量响应的路径及程度。(8)当滞后阶数较高时，由于待估计参数个数较多，为保证模型估计的稳健性，所要求的样本容量较大。7VAR模型的特点从VAR模型的特点可以看出，相对于经典联立计量经济模型，VAR模型具有较多的优势，但在建立模型时必须首先明确如下三个前提条件。10.1.2

VAR模型成立的前提条件81.变量平稳性由于VAR模型是时间序列模型，为了避免出现伪回归问题，应该在建模之前考虑各个变

量的平稳性，只有在各时序变量列具有平稳性方可建立VAR模型。时序变量的平稳性可以在建立VAR建模之前利用ADF

法进行单位根检验(具体参见第九章)，也可以在VAR模型进行估计后再对时序变量进行平稳性检验。若时序变量非平稳，则需采取差分后处理方式再建立VAR模型。变量平稳性92.

因果关系在进行VAR模型设定时，虽然不是以经济理论为主导选择内生变量，但需要该基于变量间的相关性并利用格兰杰因果关系检验法确定哪些变量可以作为内生变量，且要求各内生变量之间必须具有双向因果关系(即统计上的相关关系)。当然，在VAR模型的解释变量中也可以添加外生变量，但外生变量必须与相应方程中的内生变量存在单向因果关系。因果关系103.滞后阶数确定恰当的内生变量滞后阶数是建立VAR模型重要条件之一。若滞后阶数过小，则随机

扰动项的自相关性就可能比较严重，则会导致参数估计值缺乏有效性；若滞后阶数选择过大，就会产生较多的待估参数，在有限样本容量下就会产生较大的估误差。滞后阶数11当确定好VAR模型的最优滞后阶数后(如何选择合适的VAR模型滞后阶数将在10.3.3节中介绍)，就可以采用OLS法或极大似然估计法对每个方程的参数进行估计。VAR模型中的第i个方程为：yit

=

yi0

+

yi11y1,t

−

1

+

.

.

.

+

yik1yk,t

−

1

+

.

.

.

+

yi1py1,t

−p

+

.

.

.

+

yikpyk,t−p

+

cit10.2

向量自回归模型的估计12将其改写为矩阵形式：yi0yi11Yi=1

y1,t−1y2,t−1.

.

.

yk,t−1.

.

.

yk,t−p

×

.

.

.+eit=Xiyi+

eityik1...yikp其中Yi表示第i个方程的被解释变量，向量yi即为VAR模型第i个方程的待估计参数矩阵。对上述简化方程Yi

=

Xiyi+

eit采用OLS方法进行估计，可得到一致的待估参数：yi

=向量自回归模型的估计(X′

iXi)

−

1X′

iYi。yi121300…

Xk最终VAR模型的简约形式可以表示为Y=X几+bt

。当样本容量足够大时，可以使用完全信息法对模型进行估计，最终得到参数的一致且有效估计量：几=(X,X)-1X,Y。对于包含k个内生变量p阶滞后的简约形式VAR模型而言，需要估计的参数个数为k+pk2个。当满足基本假设时，在大样本下，yi是yi的一致估计量。利用单方程的简化形式，可以将VAR模型的数据形式表述为：Yk

=Xkyk

+

ektY=[Y1

Y2

.

.

.

Yk],

X=l11：0X{Y2

=

X2y.2

+

e2t向量自回归模型的估计几

=[y1y2…

yk],Y1=X1y1+

e1te2t

…

ekt],

|：00bt

=[e1t0X2：0…1410.3.1平稳性检验变量序列的平稳性可以根据向量自回归过程的特征根进行判别。为便于说明问题，下面先对一

阶向量自回归过程变量序列的平稳性检验原理进行介绍。对于VAR(1)模型：y121

⋯y1k1y221

⋯y2k1⋮⋱

⋮用y

阵形示yt

T1yYktk−11

+

，k,t

行移

并使用滞后算子表达，

则为

(

I

−

T1

L

)

Yt

=

t。不难发现，I−T1

L=0即为一阶向量自回归过程的特征方程，可根据其特征根的取值范围来判断变量序列的平稳性。若所有特征方程的特征根均大于1(即所有特征根均位于单位圆外)，则该向量自回归过程的变量序列是平稳的，或者说VAR模型具有平稳性；反之，变量序列是不平稳的，或者说VAR模型不具有平稳性。10.3

向量自回归模型的检验y1,t−1⋮y2,t−1y111y211⋮y1ty2t⋮

1t

2t⋮×15+=实际应用中，通常特征方程I−T1L=0转换为T1

−入I=0。此时，若特征方程的所有特征根均小于1(即全在单位圆内)时，向量自回归过程将上述一阶向量自回归过程推广到高阶，VAR(p)模型用滞后算子的形式表示为(I−此时暂时忽略T0，向量自回归模型VAR(p)简化为牵(L)Yt

=ct，继续对VAR模型进行变换：的变量序列平稳；反之，不平稳。T1L−T1L2

−...−TpLp

Yt

=T0

+ct。令牵(L)=I−T1L−T1L2

−...−TpLp，若牵(L)可逆，那么可以将向量自回归模型转换为向量移动平均过程VMA(∞)

：

Yt

=

牵−

1

(L)ct。平稳性检验16这样可将p阶向量自回归模型转换成了VAR(1)模型：Y=Y

−

1

+。因此，检验VAR(p)模型的平稳性就范围即可判断VAR过程的平稳性。t∗t∗t∗Yt

=

T1Yt−

1

+

T1Yt−

1

+

.

.

.

+

T1Yt−

1

+

etYt−p+1=

Yt−p+1将上方程组改写成矩阵形式：只相当于检验一个高维的一阶向量自回归过程的平稳性，此时只需要判断特征方程−入I=0的所有根的取值

⋮0T2平稳性检验Yt−1=

Yt−1T1I=⋮0YtYt−1⋮Yt−p+1Tp

0

⋮0Yt−1Yt−2⋮Yt

−pet0⋮0×17+I⋮无论是建立一般回归模型还是建立向量自回归模型，均要求解释变量的变化是导致被解释变量变化的原因。VAR模型的设定形式可以用于检验这种因果关系。

Granger

(1969)提出一种判断变量间是否存在因果关系检验的方法——Granger因果检验

(Grangercausality

tests)，具体检验步骤见第9章；后Sims(1972)又进行了推广，并借

助于VAR模型将“x是否为y的Granger原因”的检验假设转换为“x的滞后项是否可以引入到y的方程中”的检验假设，两者实质上是一回事。对于二元VAR模型：10.3.2

因果关系检验yt−pyt−2yt−1xt−pxt−2xt−1y11py21py12py22py121y221y111y211y112y212y122y222y10y20e1te2t+…+ytxt18+++=当且仅当系数矩阵中的系数y12q

(q=1,2,⋯,p

)全部为0时，变量X就不是变量Y变H1:

y12q

中至少有一个不为0，q=1,2,⋯,pyt

=

y10+

y111yt−

1

+

y112yt−

2

+

⋯+y11pyt

p−

+vtRSSu

为下述无约束条件回归方程式的残差平方和：可以证明，统计量F=

~F(p,n−2p−1)。其中RSSr

为下述有约束条)p1/u/SrSSRS(Ryt

=

y10+

y111yt−

1

+

y112yt−

2

+

⋯+y11pyt

p−

+

y121xt−

1

+

y122xt−

2

+

⋯

+化的格兰杰原因(Grangercause)。因此，可以进行假设：H0:

y12q

=0，q=1,2,⋯,p件回归方程式的残差平方和：y12pxt−p

+

e1t因果关系检验19判断准则：在给定显著性水平a下，若F统计量大于临界值F(p,n−2p−1)或者F统计量的伴随概率小于显著性水平，那么就拒绝原假设H0，X是Y的格兰杰原因；反之，则接受原假设，X不是Y的格兰杰原因。同样原理，也可以检验Y是否为X的格兰杰原因。上述检验进而可以推广到多个内生变量的

情形。因果关系检验20利用VAR模型无论是进行格兰杰因果关系检验还是进行脉冲效应分析和预测误差方差分析，都要求事先确定适当的变量滞后阶数。若滞后阶数过大，虽可以使模型更能完整反映变量的动态变化特征，但每增加一阶滞后期，那么包含k个内生变量的VAR模型就需要多估计k^2个参数，那么在样本容量不充足的情况下就会损失更多的自由度；若滞后阶数过小，则可能导致VAR模型各方程扰动项存在较强的自相关性。VAR模型滞后阶数的选择主要有似然比、最终预测残误差和信息准则三种方法。10.3.3

滞后阶数选择21似然比(likelihoodratio，LR)法就是根据似然比LR统计量值判断最佳滞后阶数。似然比统计量的计算公式为：LR=−2(lnL(p)

−lnL(p+1)

)∼X2

(k2)其中，k为内生变量个数，LR统计量服从X2分布；lnL(p)

、lnL(p+1)分别表示VAR(p)、

VAR(p+1)模型的极大对数似然函数值。原假设H0为p为最佳滞后阶数。这里选择最佳滞后阶数的原则是：滞后阶数从1开始逐阶增加，

使LR值达到最大的阶数即为最佳滞后阶数。具体判断步骤为：给定显著性水平a

，当计算的LR统计量值大于X2临界值时，拒绝H0原假设，接着应进一步增大滞后阶数，直至计算的LR统计量值小于X2临界值时为止，此时的阶数p即为最佳滞后阶数。似然比检验22最终预测误差(final

prediction

error，FPE)检验就是选择使FPE达到最小的阶数p为最佳滞后阶数。FPE的计算公式为：FPE(p)

=

式中，为滞后p阶时残差的方差估计值；

n为样本容量，m为待估计参数个数。p2mmnnp2最终预测误差检验23在实证研究中，常根据不同滞后阶数的信息准则来选取VAR模型合适的滞后阶数p，这里的信息准则主要包括：AIC信息准则、SC信息准则和HQ准则。信息准则的作用是在模型的解释能力与自由度之间寻找到最优的平

衡点。信息准则法选取VAR模型合适滞后阶数的思路是：从滞后一阶开始，按照下式分别计算不同滞后阶数的AIC、SC

和HQ值，以AIC

、SC

或HQ取值最小的准则确定模型的滞后阶数。AIC=−2l/n+2m/nSC=−2l/n+mlnn/nHQ=−2l/n+2mln(ln(n))/n式中，m=k(d+pk)即为VAR模型需要估计的系数总和，k为内生变量个数，d为外生变量个数，p为滞后阶24数，n为样本容量，l为对数似然值且l=−nk(1+ln2冗)/2−nln

Z/2。其中Z为根据残差e计算的模型协方差矩阵的估计。信息准则法10.4.1

脉冲响应分析由于VAR模型反映的是变量间的动态变动关系，因而当对VAR模型中的一个内生变量随机扰动项(又称为新息)施加冲击时，必然会对整个VAR系统所有内生变量的当期值与未来值产生影响，将这种影响路径和程度用数学方法加以刻画称之为脉冲响应函数(Impulse

Response

Function,IRF)。注意的是，对随机扰动项而言是冲击(Impulse)，对内生变量而言则是对冲击的响应(response)。利用脉冲响应函数可以分析VAR模型受到某种冲击时对系统的动态影响。下面简要介绍脉冲响应函数的推导过程。设VAR

(p)模型为：Yt

=

T0

+

T1Yt−

1

+

.

.

.

+

Tp

Yt

−p

+

ct其中，Yt包含k维变量,ct被称为向量白噪声过程(vector

white

noise

process)或者“新息(innovation)向量”。2510.4

向量自回归模型的应用其中Fs

第i行、j列元素记为Fijs

，

即Fijs

=i,j=1,2,…,

k26可以将VAR

(p)改写成向量移动平均过程VMA

(∞)形式：其中，Fi

为n维方阵。et对Yt+s的边际效应可以表示为：

=

FsFs

表示相隔s期的动态乘子，其矩阵形式为：Yt

=

w

+

et+

F1et−

1+

F2et−2

+

⋯

=

w

+

0

Fiet−

iaY1,t+s

ae1taY2,t+s

Fs

=

ae1t⋮aYn,t+sae1taY1,t+saentaY2,t+saent⋮aYn,t+saentaY1,t+sae2taY2,t+sae2t⋮aYn,t+sae2t脉冲响应分析⋯

⋯⋱⋯上式即为脉冲响应函数，表示在其他扰动项在任何时期都不变的条件下，当第j个内生变量对应的扰动项在t

期受到一个单位的冲击后，第i个内生变量在t+s期所做出的响应。当向量自回归过程为平稳时，随着时间推移，

脉冲响应函数的大小会逐渐衰减直至消失，即：e人?,才+S对于含有k个内生变量的VAR模型，每个内生变量都对应着k个脉冲响应函数，因此一个VAR模型系统共含

有才2个脉冲响应函数。式(10-37)脉冲响应函数是以不同方程的扰动项不存在同期相关性为前提的，但在实际经济生活中，不同方程的扰动项往往存在同期相关性，为此需要使用Cholesky法将其进行正交化分解，分期过程

为：以VAR模型第一个方程的扰动项为基础，从第2个方程的扰动项中剔除掉与第一个方程扰动项的相关部分，得到正交化后的扰动项；从第3个方程的扰动项剔除掉与第1和第2个方程扰动项的相关部分，得到正交化后的扰动项。以此类推，从第k个方程的扰动项剔除掉与前k-1个方程扰动项的相关部分，得到正交化后的扰动项。进行Cholesky分解后的脉冲响应函数被称为正交化的脉冲响应函数，记为J!!s。!,!=1,2,…,才27脉冲响应分析1!w=0!,!=1,2,…,才e人才,才+S

e3!才J!!s

=s→∞e3!才其中，ε̃为正交化后的扰动项，此时脉冲响应函数表示在其他扰动项在任何时期都不变的条件下，当第j个内生变量对应的扰动项在t期受到一个标准差的冲击后，第i个内生变量在t+s期所做出的响应。在利用正交化脉冲响应函数进行分析变量间动态关系时需要注意：(1)脉冲响应函数依赖于VAR模型中内生变量的排序，变量顺序不同所得到的脉冲响应函数就不一样，实际应用中通常按照内生变量的外生性程度由强到弱进行排序，或者根据因果关系检验的结果进行排序。(2)VAR模型平稳是进行脉冲响应函数分析的前提；若VAR模型非平稳，则正交化脉冲响应函数就不收敛。脉冲响应分析28VAR模型的重要应用之一在于进行内生变量的动态预测。方差分解(variancedecomposition)是指把VAR模型

中每个内生变量(k个)的l步预测均方误差按其成因分解为与各方程随机扰动项相关联的k个组成部分，用以衡量每个内生变量的扰动(新息)或冲击对VAR模型系统各内生变量产生影响的相对重要性程度。对于k维VAR模型：Yt

=

T0

+

T1

Yt

−

1

+

.

.

.

+

Tp

Y