（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+巩固训练+随堂检测11 圆的方程（教师版）

第页第11讲圆的方程知识讲解圆的标准方程，其中圆心坐标为，半径为圆的一般方程（）配方可得：，圆心坐标为，半径为表示圆的充要条件点与圆的位置关系已知点，圆的方程为：若，点在圆内若，点在圆上若，点在圆外直线与圆的位置关系直线，圆代数关系，其中为联立方程根的个数，几何关系，其中为圆心到直线的距离圆与圆的位置关系设圆的半径为，设圆的半径为，两圆的圆心距为若，两圆外离，若，两圆外切，若，两圆内切若，两圆相交，若，两圆内含，若，同心圆两圆外离，公切线的条数为4条；两圆外切，公切线的条数为3条；两圆相交，公切线的条数为2条；两圆内切，公切线的条数为1条；两圆内含，公切线的条数为0条；弦长公式设，，则或：圆上一点到圆外一点的距离的最值圆上一点到圆上一点的距离的最值圆上一点到直线距离的最值过圆内一点的最长弦和最短弦最长弦：直径；最短弦：垂直于直径考点一、圆的标准方程【例1】已知的顶点，，，则其外接圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先设圆的方程为，根据题意，列出方程组求解，即可求出结果.【详解】设的外接圆的方程为，因为的顶点，，，所以，解得，因此即为所求圆的方程.故选：A.【变式1】已知圆心为的圆与直线相切，则该圆的标准方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由圆心到切线的距离等于半径，求出圆的半径，即可得到本题答案.【详解】因为圆心为的圆与直线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以该圆的标准方程是．故选：A【变式2】求过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由圆心在直线x﹣2y﹣2＝0上，可设圆心C（2b+2，b），再根据圆心到两点A（0，4）、B（4，6）的距离相等，求出b的值，即得圆心和半径，从而求得圆的标准方程．【详解】设圆心坐标为C（2b+2，b），由圆过两点A（0，4），B（4，6），可得|AC|=|BC|，即，解得，可得圆心为（4，1），半径为5，则所求圆的方程为．故选：D．考点二、圆的一般方程【例2】若圆：过坐标原点，则实数的值为（

）A．2或1 B．-2或-1 C．2 D．-1【答案】C【分析】根据圆的一般方程的定义，结合过原点列方程即可求解.【详解】∵表示圆，∴∴.又圆过原点，∴，∴或（舍去）；.故选:C.【变式3】已知方程表示圆，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意得到，再解不等式即可.【详解】因为方程表示圆，所以，解得.故选：D【变式4】已知点是圆上的动点，则的最大值为（

）A． B． C．6 D．5【答案】A【分析】根据圆的标准方程，设x、y的参数方程，利用辅助角公式及正弦型函数的性质求最值即可.【详解】由，令，则，所以当时，的最大值为.故选：A考点三、直线与圆的位置关系【例3】已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则

A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出【详解】由题可得圆心为，半径为2，则圆心到直线的距离，则弦长为，则当时，取得最小值为，解得.故选：C.【变式5】若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.【详解】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为.由题意可得，可得，解得或，所以圆心的坐标为或，圆心到直线的距离均为；圆心到直线的距离均为圆心到直线的距离均为；所以，圆心到直线的距离为.故选：B.【变式6】（多选）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（

）A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切【答案】ABD【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心到直线l的距离，若点在圆C上，则，所以，则直线l与圆C相切，故A正确；若点在圆C内，则，所以，则直线l与圆C相离，故B正确；若点在圆C外，则，所以，则直线l与圆C相交，故C错误；若点在直线l上，则即，所以，直线l与圆C相切，故D正确.故选：ABD.考点四、圆与圆的位置关系【例4】已知圆与圆，则圆与圆的位置关系为（

）A．相交 B．外切 C．外离 D．内含【答案】B【分析】确定两圆的圆心和半径，由圆心间的距离与半径的关系即可得解.【详解】圆化成标准方程为，圆心，半径为，圆，圆心，半径为，，圆与圆的位置关系为外切，故选：B【变式7】已知圆和交于A，B两点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得相交弦所在直线方程，然后根据圆的弦长的求法求得.【详解】将和相减得直线，点到直线的距离，所以．故选：B【变式8】圆：与圆：公切线的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】首先根据题意得到两圆相外切，即可得到答案.【详解】根据题意，圆：，即，其圆心为，半径；圆：，即，其圆心为，半径，两圆的圆心距，所以两圆相外切，其公切线条数有3条．故选：C．考点五、圆中的最值问题综合【例5】已知直线上的两点，且，点为圆上任一点，则的面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】找到圆上的点到直线距离的最大值作为的高，再由面积公式求解即可.【详解】把圆变形为，则圆心，半径，圆心到直线的距离，则圆上的点到直线的距离的最大值为，又，∴的面积的最大值为．故选：A．【变式9】已知圆与直线，P，Q分别是圆C和直线l上的点且直线PQ与圆C恰有1个公共点，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】，的最小值为圆心到直线的距离，可求的最小值.【详解】圆化为标准方程为，则圆C的圆心为，半径，则，直线PQ与圆C相切，有，因为点Q在直线l上，所以，则．即的最小值是.故选：A【变式10】在平面直角坐标系内，已知，，动点满足，则（）的最小值是（

）A． B．2 C．4 D．16【答案】C【分析】由题意求出点P的轨迹方程，则可以看成圆上动点与定直线上动点的距离，求得其最小值，即可求得答案.【详解】因为，，动点满足，则，整理得，可以看成圆上动点与定直线上动点的距离，其最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径2，即，因此，的最小值是，故选：C.【基础过关】一、单选题1．若直线是圆的一条对称轴，则（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】首先得到圆心坐标，即可得到圆心在直线上，从而求出参数的值.【详解】圆的圆心为，因为直线是圆的一条对称轴，所以圆心在直线上，所以，解得.故选：A2.已知圆，直线，则圆C与直线l（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．相交且直线过圆C的圆心【答案】B【分析】根据题意只需判断圆心到直线的距离与半径比较大小即可判断．【详解】由可得，故圆心，半径，则圆心到直线的距离，故直线与圆C相切．故选：B3.若直线与圆：相交于，两点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出直线过的定点并判断与圆的位置关系，再求出垂直于经过该定点的圆的直径的弦长作答.【详解】直线，即恒过定点，而，即点在圆内，因此当且仅当时，最小，而圆的圆心，半径，，所以.故选：B

4.直线与圆相切，则的最大值为（

）A．16 B．25 C．49 D．81【答案】C【分析】利用圆与直线的位置关系得出的方程，根据方程分析利用表示的几何意义求解即可.【详解】由直线与圆相切可得：圆心到直线的距离等于圆的半径，即，故，即点在圆O上，的几何意义为圆上的点与点之间距离的平方，由圆心为，因为，所以点在圆外，所以点到点的距离的最大值为圆心到的距离与圆半径之和，即，所以的最大值为.故选：C.5.过点且被圆所截得的弦长为的直线的方程为.【答案】【分析】首先将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，由弦长求出圆心到直线的距离，分析可得直线的斜率存在，设直线方程为，利用点到直线的距离公式求出，即可得解.【详解】圆，即，圆心为，半径，若弦长，则圆心到直线的距离，显然直线的斜率存在，设直线方程为，即，所以，解得，所以直线方程为.故答案为：6.抛物线的准线与圆相交于A、B两点，则．【答案】2【分析】首先求抛物线的准线方程，再根据直线与圆相交的弦长公式，即可求解.【详解】的准线方程为，圆心到直线的距离为，所以弦长.故答案为：27.圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的标准方程为．【答案】【分析】设圆心坐标为，利用点到直线距离公式和两点距离公式求解即可.【详解】设圆心坐标为，因为圆与直线相切于点，所以，可得：，解得，所以所求圆的圆心为，半径，所以所求圆的方程为.故答案为：.8.已知直线与圆，过直线上的任意一点向圆引切线，设切点为，若线段长度的最小值为，则实数的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，则，可得，而的最小值是圆心到直线的距离，然后列方程可求出实数m的值.【详解】圆，设，则，则，，则，所以圆心到直线的距离是，，得，．故选：A．9.（多选）已知直线：，：，圆C：，下列说法正确的是（

）A．若经过圆心C，则B．直线与圆C相离C．若，且它们之间的距离为，则D．若，与圆C相交于M，N，则【答案】AC【分析】将圆心代入直线的方程，求得k，判断A；求得直线过圆内一定点，判断B；利用平行线间的距离公式可判断C；根据圆的几何性质可求得，判断D.【详解】对于A，因为圆心在直线上，所以，解得，A正确；对于B，因为直线恒过点，且，即点在圆C内，所以与圆C相交，B错误；对于C，因为，则，故与之间的距离，所以，C正确；对于D，时，直线：，即，因为圆心到直线的距离，所以，D错误，故选：AC.10.已知点在圆上，点、，则（

）A．点到直线的距离小于B．点到直线的距离大于C．当最小时，D．当最大时，【答案】ACD【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.【详解】圆的圆心为，半径为，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；如下图所示：当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，，，由勾股定理可得，CD选项正确.故选：ACD.课后训练1.已知圆的圆心为，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据中点坐标公式求出直径两端点的坐标，然后求出半径，再求出圆的方程即可.【详解】设直径的两个端点分别，圆心C为点由中点坐标公式，得，解得∴半径，∴圆的方程是即故选：A.2.若圆经过点，，且圆心在直线：上，则圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求解的中垂线方程，然后求解圆的圆心坐标，求解圆的半径，然后得到圆的方程.【详解】圆经过点，，可得线段的中点为，又，所以线段的中垂线的方程为，即，由，解得，即，圆的半径，所以圆的方程为.故选：A.3.若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则．【答案】【分析】设直线的方程为，则点，利用直线与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.【详解】设直线的方程为，则点，由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，则，解得或，所以，因为，故.故答案为：.4.若点在圆C：的外部，则实数k的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】由题意可得，解不等式组即可得实数k的取值范围.【详解】因为点在圆C：的外部，所以，解得.故实数k的取值范围是.故选:C.5.（多选）已知点在圆上，点、，则（

）A．点到直线的距离小于B．点到直线的距离大于C．当最小时，D．当最大时，【答案】ACD【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.【详解】圆的圆心为，半径为，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；如下图所示：当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，，，由勾股定理可得，CD选项正确.故选：ACD.6.在平面直角坐标系中，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意圆的标准方程为，如图，又，所以，又由圆心到直线的距离可求出的最小值，进而求解.【详解】如下图所示：

由题意圆的标准方程为，，又因为，所以，所以，又圆心到直线的距离为，所以，所以不妨设，则，又因为在单调递增，所以当且仅当即，即当且仅当直线垂直已知直线时，有最大值.故选：A.7.（多选）已知直线，圆的圆心坐标为，则下列说法正确的是（

）A．直线恒过点B．C．直线被圆截得的最短弦长为D．当时，圆上存在无数对点关于直线对称【答案】ABD【分析】求解直线系结果的定点判断A；圆的圆心求解、判断B；求解直线被圆截的弦长判断C，利用圆的圆心到直线的距离判断D．【详解】直线，恒过点，所以A正确；圆的圆心坐标为，，，所以B正确；圆的圆心坐标为，圆的半径为2．直线，恒过点，圆的圆心到定点的距离为：，直线被圆截得的最短弦长为，所以C不正确；当时，直线方程为：，经过圆的圆心，所以圆上存在无数对点关于直线对称，所以D正确．故选：ABD．8.已知圆：的圆心到直线的距离为，则圆与圆：的公切线共有（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条【答案】B【分析】先根据题意求得，从而得到两圆的圆心和半径，进而求得圆心距等于两半径的差，得知两圆内切，即可知道公切线只有1条.【详解】圆：的圆心为，半径为a，所以圆心到直线的距离为，解得或．因为，所以.所以圆：的圆心为，半径为．圆：的标准方程为，圆心坐标为，半径，圆心距，所以两圆相内切．所以两圆的公切线只有1条.故选：B．9.若直线分别与轴，轴交于，两点，动点在圆上，则面积的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得点A、点B的坐标，进而求得，再求出圆上的点P到直线距离的最值，代入三角形面积公式即可求得结果.【详解】如图所示，

因为直线与坐标轴的交点，，则，圆的圆心C为，半径为，则圆心到直线的距离为，所以圆上的点P到直线的距离的最小值为，最大距离为，所以面积的最小值为，最大值为，即面积的取值范围为.故选：C.随堂检测1.若的三个顶点坐标分别为，，，则外接圆的圆心坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出线段的中点的坐标即得解.【详解】解：由题得是直角三角形，且.所以的外接圆的圆心就是线段的中点，由中点坐标公式得.故选：C2.已知曲线的方程，则“”是“曲线是圆”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据二元二次方程表示圆的条件、必要不充分条件的定义可得答案.【详解】，即，∴曲线是圆，∴“”是“”的必要不充分条件.故选：A.3.若圆与圆有且仅有3条公切线，则m=（

）A．14 B．28 C．9 D．【答案】A【分析】分别求出两圆的圆心及半径，再根据圆与圆有且仅有3条公切线，可得两圆外切，则，从而可得答案.【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，因为圆与圆有且仅有3条公切线，所以两圆外切，则，即，解得.故选：A.4.已知圆：，圆：，则与的位置关系是（

）A．外切 B．内切 C．相交 D．外离【答案】C【分析】算出两圆圆心的距离，然后与两圆半径之和、差比较即可.【详解】圆的圆心为，，圆的圆心为，所以所以圆与的位置关系是相交.故选:C.5.已知点，，，若点是的外接圆上一点，则点到直线：的距离的最大值为（

）A． B． C． D．14【答案】C【分析】设所求圆的方程为，根据的三个顶点分别为，，，代入求得方程，再判断直线与圆的位置关系，然后转化为点与圆的位置关系求解.【详解】解：设所求圆的方程为，因为的三个顶点分别为，，，则，解得，所以外接圆的一般方程为，其圆心为，半径为5，因为直线，即，所以点到直线的距离为，所以直线与的外接圆相离，所以点到直线的距离的最大值为.故选：.6.经过直线与圆的两个交点，且面积最小的圆的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】当所求圆的直径就是圆与直线相交的弦时，所求圆的面积最小．然后将结合图形求解圆心和半径即可求解；【详解】由题可知，当所求圆的直径就是圆与直线相交的弦时，所求圆的面积最小．圆，即圆，所以圆心坐标为，半径为3，弦心距，弦长为，则所求圆的半径为2,接下来求解所求圆的圆心位置P：所以，过圆的圆心和直线垂直的直线方程为：，即．最小圆的圆心为与直线的交点，解方程组可得，所求面积最小的圆方程为．故选：C．7.过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，因为，则，可得，则，，即为钝角，所以；法